【正文】 【分析】用 AAS判定 △ ABC≌△ ADC，得出 AB=AD，再利用 SAS判定 △ ABO≌△ ADO，從而得出 BO=DO． 【解答】證明：（ 1）在 △ ABC和 △ ADC中， ， ∴△ ABC≌△ ADC（ ASA）； （ 2） ∵△ ABC≌△ ADC， ∴ AB=AD． 又 ∵∠ 1=∠ 2， AO=AO， 即 ， ∴△ ABO≌△ ADO（ SAS）． ∴ BO=DO． 【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有： SSS、 SAS、 AAS、 HL． 注意： AAA、 SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角． 26． 如圖：在 △ ABC中， BE、 CF 分別是 AC、 AB 兩邊上的高，在 BE 上截取 BD=AC，在 CF 的延長線上截取 CG=AB，連接 AD、 AG． （ 1）求證： AD=AG； （ 2） AD 與 AG的位置關(guān)系如何，請 說明理由． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（ 1）由 BE 垂直于 AC， CF垂直于 AB，利用垂直的定義得 ∠ HFB=∠ HEC，由得對頂角相等得∠ BHF=∠ CHE，所以 ∠ ABD=∠ ACG．再由 AB=CG， BD=AC，利用 SAS可得出三角形 ABD與三角形 ACG全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出 AD=AG， 第 25頁（共 30頁） （ 2）利用全等得出 ∠ ADB=∠ GAC，再利用三角形的外角和定理得到 ∠ ADB=∠ AED+∠ DAE，又 ∠ GAC=∠ GAD+∠ DAE，利用等量代換可得出 ∠ AED=∠ GAD=90176。 ，即 AG與 AD垂直． 【解 答】（ 1）證明： ∵ BE⊥ AC， CF⊥ AB， ∴∠ HFB=∠ HEC=90176。 ，又 ∵∠ BHF=∠ CHE， ∴∠ ABD=∠ ACG， 在 △ ABD和 △ GCA中 ， ∴△ ABD≌△ GCA（ SAS）， ∴ AD=GA（全等三角形的對應(yīng)邊相等）； （ 2）位置關(guān)系是 AD⊥ GA， 理由為： ∵△ ABD≌△ GCA， ∴∠ ADB=∠ GAC， 又 ∵∠ ADB=∠ AED+∠ DAE， ∠ GAC=∠ GAD+∠ DAE， ∴∠ AED=∠ GAD=90176。 ， ∴ AD⊥ GA． 【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 27．（ 12分）（ 2022秋 ?墊江縣期末）如圖（ 1）， AB=4cm， AC⊥ AB， BD⊥ AB， AC=BD=3cm．點(diǎn) P在線段 AB 上以 1cm/s的速度由點(diǎn) A向點(diǎn) B運(yùn)動，同時，點(diǎn) Q在線段 BD 上由點(diǎn) B向點(diǎn) D運(yùn)動．它們運(yùn)動的時間為 t（ s）． 第 26頁（共 30頁） （ 1）若點(diǎn) Q的運(yùn)動速度與點(diǎn) P的運(yùn)動速度相等，當(dāng) t=1 時， △ ACP與 △ BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段 PC和線段 PQ的位置關(guān)系； （ 2）如圖（ 2），將圖（ 1）中的 “AC ⊥ AB， BD⊥ AB” 為改 “ ∠ CAB=∠ DBA=60176?！?，其他條件不變．設(shè)點(diǎn) Q的運(yùn)動速度為 x cm/s，是否存在實數(shù) x，使得 △ ACP與 △ BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的 x、 t的值；若不存在，請說明理由． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】動點(diǎn)型． 【分析】（ 1）利用 SAS證得 △ ACP≌△ BPQ，得出 ∠ ACP=∠ BPQ，進(jìn)一步得出 ∠ APC+∠ BPQ=∠ APC+∠ACP=90176。 得出結(jié)論即可； （ 2）由 △ ACP≌△ BPQ，分兩種情況： ①AC=BP ， AP=BQ， ②AC=BQ ， AP=BP，建立方程組求得答案即可． 【解答】解：（ 1）當(dāng) t=1時， AP=BQ=1， BP=AC=3， 又 ∵∠ A=∠ B=90176。 ， 在 △ ACP和 △ BPQ中， ∴△ ACP≌△ BPQ（ SAS）． ∴∠ ACP=∠ BPQ， ∴∠ APC+∠ BPQ=∠ APC+∠ ACP=90176。 ． ∴∠ CPQ=90176。 ， 即線段 PC與線段 PQ垂直． （ 2） ① 若 △ ACP≌△ BPQ， 則 AC=BP， AP=BQ， ， 解得 第 27頁（共 30頁） ； ② 若 △ ACP≌△ BQP， 則 AC=BQ， AP=BP， ， 解得 ； 綜上所述，存在 或 使得 △ ACP與 △ BPQ全等． 【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論思想的滲透． 28． 學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即 “SA S” 、 “ASA” 、 “AAS” 、 “SSS” ）和直角三角形全等的判定方法（即 “HL” ）后，我們繼續(xù)對 “ 兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等 ” 的情形進(jìn)行研究． 【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在 △ ABC和 △ DEF中， AC=DF， BC=EF， ∠ B=∠ E，然后，對 ∠ B進(jìn)行分類，可分為 “ ∠ B是直角、鈍角、銳角 ” 三種情況進(jìn)行探究． 【深入探究】第一種情況：當(dāng) ∠ B是直角時， △ ABC≌△ DEF． （ 1）如圖 ① ，在 △ ABC和 △ DEF， AC=DF， BC=EF， ∠ B=∠ E=90176。 ，根據(jù) HL ，可以知道 Rt△ ABC≌ Rt△ DEF． 第二種情況：當(dāng) ∠ B是鈍角時， △ ABC≌△ DEF． （ 2）如圖 ② ，在 △ ABC和 △ DEF， AC=DF， BC=EF， ∠ B=∠ E，且 ∠ B、 ∠ E都是鈍角，求證： △ ABC≌△ DEF． 第三種情況：當(dāng) ∠ B是銳角時， △ ABC和 △ DEF不一定全等． 第 28頁（共 30頁） （ 3）在 △ ABC和 △ DEF， AC=DF， BC=EF， ∠ B=∠ E，且 ∠ B、 ∠ E都是銳角，請你利用圖 ③ ，在圖 ③ 中用尺規(guī)作出 △ DEF，使 △ DEF 和 △ ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)出相應(yīng)的字母） （ 4） ∠ B與 ∠ A滿足什么關(guān)系，就可以使 △ ABC≌△ DEF？請直接寫出結(jié)論：在 △ ABC和 △ DEF中， AC=DF，BC=EF， ∠ B=∠ E，且 ∠ B、 ∠ E都是銳角，若 ∠ B≥∠ A ，則 △ ABC≌△ DEF． 【考點(diǎn)】作圖 — 復(fù)雜作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（ 1）直接利用 HL 定理得出 Rt△ ABC≌ Rt△ DEF； （ 2）首先得出 △ CBG≌△ FEH（ AAS），則 CG=FH，進(jìn)而得出 Rt△ ACG≌ Rt△ DFH，再求出 △ ABC≌△ DEF； （ 3）利用已知圖形再做一個鈍角三角形即可得出答案； （ 4）利用（ 3）中方法可得出當(dāng) ∠ B≥∠ A時，則 △ ABC≌△ DEF． 【解答】（ 1）解：如圖 ① ， ∵∠ B=∠ E=90176。 ， ∴ 在 Rt△ ABC和 Rt△ DEF中 ， ∴ Rt△ ABC≌ Rt△ DEF（ HL）， 故答案為： HL； （ 2）證明：如圖 ② ，過點(diǎn) C作 CG⊥ AB交 AB的延長線于 G，過點(diǎn) F作 FH⊥ DE 交 DE 的延長線于 H， ∵∠ ABC=∠ DEF，且 ∠ ABC、 ∠ DEF都是鈍角， ∴ 180176。 ﹣ ∠ ABC=180176。 ﹣ ∠ DEF， 即 ∠ CBG=∠ FEH， 在 △ CBG和 △ FEH中， ， ∴△ CBG≌△ FEH（ AAS）， ∴ CG=FH， 在 Rt△ ACG和 Rt△ DFH中， ， ∴ Rt△ ACG≌ Rt△ DFH（ HL）， ∴∠ A=∠ D， 第 29頁（共 30頁） 在 △ ABC和 △ DEF中， ， ∴△ ABC≌△ DEF（ AAS）； （ 3）解：如圖 ③ ， △ DEF和 △ ABC不全等； （ 4）解：若 ∠ B≥∠ A，則 △ ABC≌△ DEF． 故答案為： ∠ B≥∠ A． 【點(diǎn)評】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵． 第 30頁（共 30頁）