【正文】 O＝ ∠ OBN. 在 △ AOC 和 △ NOB 中 ， ???∠ AOC＝ ∠ NOB，OC＝ OB，∠ ACO＝ ∠ NBO， ∴△ AOC≌△ NOB(ASA)． ∴ ON＝ OA＝ 1. ∴ N 點坐標為 (0， － 1)． 設(shè)直線 m 解析式為 y＝ kx＋ d. 把 B， N 兩點坐標代入 ， 得?????3k＋ d＝ 0，d＝－ 1. 解得?????k＝ 13，d＝－ 1.∴ 直線 m 解析式為 y＝ 13x－ 1. 故存在滿足條件的直線 m， 其解析式為 y＝ 13x－ 1. 拓展類型 其他問題 1． (2022巴中 )如圖 ， 在平面直角坐標系中 ， 拋物線 y＝ mx2＋ 4mx－ 5m(m＜ 0)與 x 軸交于點 A， B(點 A 在點 B 的左側(cè) )， 該拋物線的對稱 軸與直線 y＝ 33 x 相交于點 E， 與 x 軸相交于點 D， 點 P 在直線 y＝ 33 x 上 (不與原點重合 )， 連接 PD， 過點 P 作 PF⊥ PD 交 y 軸于點 F， 連接 DF. (1)如圖 ① 所示 ， 若拋物線頂點的縱坐標為 6 3， 求拋物線的解析式； (2)求 A， B 兩點的坐標； (3)如圖 ② 所示 ， 小紅在探究點 P 的位置時發(fā)現(xiàn)：當點 P 與點 E 重合時 ， ∠ PDF 的大小為定值 ， 進而猜想：對于直線 y＝ 33 x 上任意一點 P(不與原點重合 )， ∠ PDF 的大小為定值．請你判斷該猜想是否正確 ， 并說明理由． 解： (1)∵ y＝ mx2＋ 4mx－ 5m， ∴ y＝ m(x2＋ 4x－ 5)＝ m(x＋ 5)(x－ 1)． 令 y＝ 0， 則 m(x＋ 5)(x－ 1)＝ 0. ∵ m≠ 0， ∴ x＝－ 5 或 x＝ 1. ∴ A(－ 5， 0)， B(1， 0)． ∴ 拋物線的對稱軸為 x＝－ 2. ∵ 拋物線的頂點坐標為 (－ 2， 6 3)， ∴ － 9m＝ 6 3， 即 m＝－ 2 33 . ∴ 拋物線的解析式為 y＝－ 2 33 x2－ 8 33 x＋ 10 33 . (2)由 (1)可知： A(－ 5， 0)， B(1， 0)． (3)如圖所示 ， ∵ OP 的解析式為 y＝ 33 x， ∴∠ AOP＝ 30176。 .∴∠ PBF＝ 60176。 . ∵ PD⊥ PF， FO⊥ OD， ∴∠ DPF＝ ∠ FOD＝ 90176。 . ∴∠ DPF＋ ∠ FOD＝ 180176。 .∴ 點 O， D， P， F 共圓． ∴∠ PDF＝ ∠ PBF.∴∠ PDF＝ 60176。 . 2． 如圖 ， 拋物線 y＝ ax2＋ bx＋ c 的頂點為 D， 與 y 軸交于點 C， 直線 CD 的解析式為 y＝ 3x＋ 2 3. (1)求 b， c 的值； (2)過點 C 作 CE∥ x 軸交拋物線于點 E， 直線 DE 交 x 軸于點 F， 且 F(4， 0)， 求拋物線的解析式； ( 3)在 (2)條件下 ， 拋物線上是否存在點 M， 使得 △ CDM≌△ CEA？若存在 ， 求出點 M 的坐標；若不存在 ， 請說明理由． 解： (1)∵ 直線 CD 的解析式為 y＝ 3x＋ 2 3， ∴ C(0， 2 3)． ∴ c＝ 2 3. 設(shè)直線 CD 交 x 軸于點 A， ∴ A(－ 2， 0)． ∴ OAOC＝ 22 3＝ 33 . ∴∠ OCA＝ 30176。 ， 過點 D 作 DM⊥ y 軸于點 M， ∴∠ DCM＝ 30176。， CM＝ 3DM， 設(shè)拋物線的頂點橫坐標為 h， 則 CM＝ 3h， ∴ D(h， 2 3＋ 3h)． ∴ y＝ a(x－ h)2＋ 2 3＋ 3h. ∵ C(0， 2 3)， ∴ 2 3＝ ah2＋ 2 3＋ 3h. 解得 h1＝ 0(舍 )， h2＝－ 3a . ∴ y＝ a(x＋ 3a )2＋ 2 3＋ 3h＝ ax2＋ 2 3x＋ 3a＋ 2 3＋ 3h. ∴ b＝ 2 3. (2)作拋 物線的對稱軸交 x 軸于點 B(如圖 )， ∵∠ DCM＝ 30176。 ， ∴∠ CDB＝ 30， 由拋物線的對稱性 ， 可得 △ DCE 為等邊三角形． ∵ CE∥ x 軸 ， ∴△ DAF 為等邊三角形． ∴ 點 B 為 AF 中點． ∵ A(－ 2， 0)， F(4， 0)， ∴ B(1， 0)． 拋物線對稱軸為直 線 x＝ 1， ∴ － b2a＝ 1. ∴ － 2 32a ＝ 1. ∴ a＝－ 3. ∴ D(1， 3 3)． ∴ y＝－ 3(x－ 1)2＋ 3 3＝－ 3x2＋ 2 3x＋ 2 3. (3)存在． 過點 C 作 CM⊥ DE 于點 N 交拋物線于點 M， 此時 ， △ CDM≌△ CEM. ∵△ CDE 為等邊三角形 ， ∴ CM 為 DE 的中垂線 ， ∴ DM＝ EM， ∴△ CDM≌△ CEM， ∵ D(1， 3 3)， E(2， 2 3)， ∴ N(32， 5 32 )． 設(shè) yCN＝ kx＋ b， 代入 (0， 2 3)， (32， 5 32 )， 得 ?????32k＋ b＝5 32 ，b＝ 2 3.∴ yCN＝ 33 x＋ 2 3. 聯(lián) 立?????y＝ 33 x＋ 2 3，y＝－ 3x2＋ 2 3x＋ 2 3，解得???x＝ 53，y＝ 23 39 . ∴ M(53， 23 39 )． 3． (2022南充模擬 )如圖 ， 已 知：拋物線 y＝ 12x2＋ bx＋ c 與 x 軸交于 A， B 兩點 ， 與 y 軸交于點 C， 經(jīng)過 B， C 兩點的直線是 y＝ 12x－ 2， 連接 AC. (1)B， C 兩點坐標分別為 B(4， 0)， C(0， － 2)， 拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 y＝ 12x2－ 32x－ 2； (2)判斷 △ ABC 的形狀 ， 并說明理由； (3)在 △ ABC 內(nèi)部能否截出面積最大的矩形 DEFC(頂點 D， E， F， G 在 △ ABC 各邊上 )？若能 ， 求出在 AB 邊上的矩形頂點的坐標；若不能 ， 請說明理由． 解： (2)△ ABC 是直角三角形．理由： 當 y＝ 0 時 ， 12x2－ 32x－ 2＝ 0， 解得 x1＝－ 1， x2＝ 4， 則 A(－ 1， 0)， ∵ AC2＝ 12＋ 22＝ 5， BC2＝ 42＋ 22＝ 20， AB2＝ 52＝ 25， ∴ AC2＋ BC2＝ AB2， ∴△ ABC 是直角三角形 ， ∠ ACB＝ 90176。 . (3)能 ．當矩形 DEFG 頂點 D 在 AB 上時 ， 點 F 與點 C 重合 ， 如圖 1， 設(shè) CG＝ x， ∵ DG∥ BC， ∴△ AGD∽△ ACB. ∴ AG： AC＝ DG∶ BC， 即 ( 5－ x)∶ 5＝ DG∶ 2 5， 解得 DG＝ 2( 5－ x)． ∴ S 矩形 DEFG＝ x(2 5－ 2x)＝－ 2x2＋ 2 5x＝－ 2(x－ 52 )＋ 52. 此時 x＝時 ， 矩形 DEFG 的面積最 大 ， 最大值為 52， 當矩形 DEFG 兩個頂點 D， E 在 AB 上時 ， 如圖 2， CO 交 GF 于點 H， 設(shè) DG＝ x， 則 OH＝ x， CH＝ 2－ x， ∵ GF∥ AB， ∴△ CGF∽△ CAB， ∴ GF∶ AB＝ CH∶ CO， 即 GF∶ 5＝ (2－ x)∶ 2， 解得 GF＝ 52(2－ x)． ∴ S 矩形 DEFG＝ x52(2－ x)＝－ 52x2＋ 5x＝－ 52(x－ 1)2＋ 52， 此時 x＝ 1 時 ， 矩形 DEFG 的面 積最大 ， 最大值為 52. 綜上所 述 ， 當矩形 DEFG 兩個頂點 D， E 在 AB 上時和當矩形 DEFG 一個頂點 D 在 AB 上最大面積相同 ， ∵ DG＝ 1， ∴ DE＝ 52 (2－ 1)＝ 52， ∵ DG∥ OC， ∴△ ADG∽△ AOC， ∴ AD∶ AO＝ DG∶ OC， 即 AD∶ 1＝ 1∶ 2. 解得 AD＝ 12. ∴ OD＝ 12. ∴ OE＝ 52－ 12＝ 2. ∴ D(－ 12， 0)， E(2， 0)． 當矩形一個頂點在 AB 上時 ， GD＝ 2( 5－ x)＝ 5， AG＝ 52 ， ∴ AD＝ 52， OD＝ AD－ OA＝ 32. ∴ D(32， 0)． 綜上 ， 在 △ ABC 內(nèi)部能截出面積最大的矩形 DEFC， 當矩形兩個頂點在 A， B 上時坐標為 D(－ 12， 0)， E(2， 0)， 當矩形只有一個頂點在 AB 上時 ， 坐標為 D(32， 0)．