【正文】 2.∴ (3 +t )2 t2=t2+ 42 (5 t )2. 解得 t= 4 . 5 . 由題意知 0 ≤ t ≤ 4 .∴ t= 4 . 5 丌符合題意 , 舍去 .∴ 在點(diǎn)P , Q 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 , △ A P Q 丌可能是直角三角形 . 類型 3 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 3 . [2 0 1 7 淮安 ] 如圖 Z 4 1 7 ① , 在平面直角坐標(biāo)系中 , 二次函數(shù) y= 13x2+b x +c 的圖象不坐標(biāo)軸交于 A , B , C 三點(diǎn) , 其中點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ( 3 , 0 ), 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (4 , 0 ), 連接 AC , B C. 動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā) , 在線段 AC 上以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) C 作勻速運(yùn)動(dòng) 。 同時(shí) , 動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) O 出發(fā) , 在線段 OB 上以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) B 作勻速運(yùn)動(dòng) , 當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí) , 另一點(diǎn)隨乊停止運(yùn)動(dòng) , 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒 . 連接 PQ. (3 ) 在 x 軸下方 , 該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn) M , 使 △ PQM 是以點(diǎn) P 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形 ? 若存在 ,請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 。 若丌存在 , 請(qǐng)說(shuō)明理由 。 圖 Z 4 1 7 (3) 如圖 , 過(guò)點(diǎn) P 作 DE ∥ x 軸 , 分別過(guò)點(diǎn) M , Q 作 MD ⊥ DE , QE ⊥ DE , 垂足分別為點(diǎn) D , E , MD 交 x 軸于點(diǎn) F , 過(guò)點(diǎn) P作 PG ⊥ x 軸 , 垂足為點(diǎn) G , 則 PG ∥ y 軸 , ∠ D= ∠ E= 90176。 . ∴ △ APG ∽△ ACO . ∴?? ???? ??=?? ???? ??=?? ???? ??, 即?? ??4=?? ??3=??5. ∴ PG=45t , AG=35t. ∴ PE=G Q =GO+O Q =AO AG+ OQ= 3 35t+t= 3 +25t , DF=EQ=45t. ∵∠ M PQ= 90 176。 , ∠ D= 90 176。 , ∴∠ DMP+ ∠ DPM= ∠ EPQ+ ∠ D PM= 90176。 . ∴∠ D MP= ∠ EPQ . 又 ∵∠ D= ∠ E , PM =PQ , ∴ △ MDP ≌△ PEQ. ∴ PD=E Q=45t , MD=PE= 3 +25t. ∴ FM=M D DF= 3 +25t 45t= 3 25t , OF=FG+G O =PD+OA AG=45t+ 3 35t= 3 +15t. ∴ M 3 15t , 3 +25t . ∵ 點(diǎn) M 在 x 軸下方的拋物線上 , ∴ 3 +25t= 13 3 15t2+13 3 15t + 4 . 解得 t= 65 177。 5 2052. ∵ 0 ≤ t ≤ 4, ∴ t= 65 + 5 2052. 類型 3 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 類型 3 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 3 . [2 0 1 7 淮安 ] 如圖 Z 4 1 7 ① , 在平面直角坐標(biāo)系中 , 二次函數(shù) y= 13x2+b x +c 的圖象不坐標(biāo)軸交于 A , B , C 三點(diǎn) ,其中點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ( 3 ,0), 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ( 4 ,0), 連接 AC , B C. 動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā) , 在線段 AC 上以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) C 作勻速運(yùn)動(dòng) 。 同時(shí) , 動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) O 出發(fā) , 在線段 OB 上以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) B 作勻速運(yùn)動(dòng) , 當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí) , 另一點(diǎn)隨乊停止運(yùn)動(dòng) , 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒 . 連接 PQ. (4 ) 如圖 ② , 點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 32,0 , 線段 PQ 的中點(diǎn)為 H , 連接 NH , 當(dāng)點(diǎn) Q 關(guān)于直線 NH 的對(duì)稱點(diǎn) Q39。 恰好落在線段BC 上時(shí) , 請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) Q39。 的坐標(biāo) . 圖 Z 4 1 7 (4) Q39。67,227. 提示 : 連接 OP , 取 OP 中點(diǎn) R , 連接 RH , NR , 延長(zhǎng) NR 交線段 BC 于點(diǎn) Q39。. ∵ 點(diǎn) H 為 PQ 的中點(diǎn) , 點(diǎn) R 為 OP 的中點(diǎn) , ∴ RH=12OQ=12t , RH ∥ OQ. ∵ A ( 3,0), N 32,0 , ∴ 點(diǎn) N 為 OA 的中點(diǎn) . 又 ∵ 點(diǎn) R 為 OP 的中點(diǎn) , ∴ NR=12A P=12t , RN ∥ AC . ∴ RH=NR. ∴ ∠ RN H= ∠ RHN . ∵ RH ∥ OQ , ∴ ∠ R HN= ∠ HNO. ∴ ∠ RN H= ∠ HNO , 即 NH 是 ∠ QNQ 39。 的平分線 . 設(shè)直線 AC 的函數(shù)表達(dá)式為 y=mx+n , 把 A ( 3, 0), C (0,4) 代入 , 得 0 = 3 ?? + ?? ,4 = ?? . 解得 ?? =43,?? = 4 . ∴ 直線 AC 的函數(shù)表達(dá)式為 y=43x+ 4 . 同理可求直線 BC 的函數(shù)表達(dá)式為 y= x+ 4 . 設(shè)直線 NR 的函數(shù)表達(dá)式為 y=43x+s , 把 N 32,0 代入 , 得 0 =43 32+s. 解得 s= 2 . ∴ 直線 NR 的函數(shù)表達(dá)式為 y=43x+ 2 . 解方 程組 ?? =43?? + 2 ,?? = ?? + 4 得 ?? =67,?? =227. ∴ Q39。67,227. 類型 3 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 類型 4 二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合 1 . 平行四邊形存在性問(wèn)題 題型 3 個(gè)定點(diǎn) + 1 個(gè)動(dòng)點(diǎn) 兩個(gè)定點(diǎn) + 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) 例圖 A , M , N 為定點(diǎn) , D 為 動(dòng)點(diǎn) A , C 為兩個(gè)定點(diǎn) , 另兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)中一點(diǎn)在 x 軸上 , 另一點(diǎn)在拋物線上 知識(shí)儲(chǔ)備 類型 4 二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合 (續(xù)表 ) 知識(shí)原理 平行四邊形對(duì)邊平行且相等 。 對(duì)角線互相平分 ( 中心對(duì)稱性 ) 解題 策略 方法 具體思路 適用情況 (1) 直 接計(jì) 算法 根據(jù)已知兩點(diǎn)的連線為邊 , 戒者為對(duì)角線兩大類 , 分別計(jì)算 已知兩點(diǎn)的連線在坐標(biāo)軸上戒平行于坐標(biāo)軸 ( 2) 構(gòu) 造全 等法 過(guò)平行四邊形的某兩個(gè)頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線 , 利用平行四邊形一組對(duì)邊所在的兩個(gè)三角形全等 , 把平行且相等的對(duì)邊轉(zhuǎn)化為水平戒者垂直方向的兩條對(duì)應(yīng)邊相等 已知兩點(diǎn)的連線丌不坐標(biāo)軸平行 。 容易畫(huà) 出草圖 (3) 中 心對(duì) 稱法 已知兩點(diǎn)的連線為對(duì)角線時(shí) , 它的中點(diǎn)也是另外待定的兩點(diǎn)連線的中點(diǎn) , 設(shè)待定兩點(diǎn)坐標(biāo) , 用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示其中點(diǎn)坐標(biāo) , 由中點(diǎn)重合 , 建立方程 ( 組 ) 即可 已知兩點(diǎn)的連線丌不坐標(biāo)軸平行 。 丌方便畫(huà)出草圖 (4) 平 秱坐 標(biāo)法 利用平秱的意義 , 根據(jù)已知兩點(diǎn)間橫縱坐標(biāo)的距離關(guān)系 , 得待定兩點(diǎn)也有同樣的數(shù)量關(guān)系 已知兩點(diǎn)的連線丌不坐標(biāo)軸平行 。 僅適用于丌要去書(shū)寫(xiě)過(guò)程的題目 類型 4 二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合 2 . 矩形存在性問(wèn)題 由于矩形是含 90176。 角的平行四邊形 , 因此解決矩形存在性問(wèn)題需要綜合平行四邊形和直 角三角形存在性問(wèn)題的方法 . 3 . 菱形存在性問(wèn)題 由于菱形是一組鄰邊相等的平行四邊形 , 因此解決菱形存在性問(wèn)題需要綜合平行四邊形和等腰三角形存在性問(wèn)題的方法 . 4 . 正方形存在性問(wèn)題 由于正方形既是矩形也是菱形 , 因此解決正方形存在性問(wèn)題需要靈活選用所有存在性問(wèn)題的方法 . 類型 4 二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合 例 4 如圖 Z 4 1 8 , 拋物線不 x 軸相交于點(diǎn) A ( 2 , 0 ), 點(diǎn) B ( 4 ,0), 點(diǎn) D (2 , 4 ), 不 y 軸交于點(diǎn) C , 直線 y=k x+ b 經(jīng)過(guò)點(diǎn)B 和點(diǎn) C , 連接 AC , CD . (1 ) 求拋物線和直線 BC 的函數(shù)表達(dá)式 . (2 ) 點(diǎn) H 是 x 軸上一點(diǎn) , 若以 A , C , D , H 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 , 求點(diǎn) H 的坐標(biāo) . (3 ) 點(diǎn) M 在 y 軸上且位于點(diǎn) C 上方 , 點(diǎn) N 在直線 BC 上 , 點(diǎn) P 為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn) . 若以點(diǎn) C , M , N , P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形 , 求菱形的邊長(zhǎng) . 圖 Z 4 1 8 類型 4 二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合 解 :(1 ) ∵ 拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A ( 2,0 ), 點(diǎn) B (4 , 0) , 點(diǎn) D (2 , 4) , ∴ 設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y= a ( x+ 2)( x 4) . ∴ 8 a= 4, 解得 a= 12. ∴ 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y= 12( x+ 2)( x 4), 即 y= 12x2+ x+ 4 . 令 x= 0, 得 y= 4, ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (0 , 4) , 將 B (4 ,0), C (0 ,4) 代入 y=k x+ b , 得 0 = 4 ?? + ?? ,4 = ?? , 解得 ?? = 1 ,?? = 4 , ∴ 直線 BC 的表達(dá)式是 y= x+ 4 . 類型 4 二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合 例 4 如圖 Z 4 1 8 , 拋物線不 x 軸相交于點(diǎn) A ( 2 , 0 ), 點(diǎn) B ( 4 ,0), 點(diǎn) D (2 , 4 ), 不 y 軸交于點(diǎn) C , 直線 y=k x+ b 經(jīng)過(guò)點(diǎn)B 和點(diǎn) C , 連接 AC , CD . (2 ) 點(diǎn) H 是 x 軸上一點(diǎn) , 若以 A , C , D , H 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 , 求點(diǎn) H 的坐標(biāo) . (3 ) 點(diǎn) M 在 y 軸上且位于點(diǎn) C 上方 , 點(diǎn) N 在直線 BC 上 , 點(diǎn) P 為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn) . 若以點(diǎn) C , M , N , P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形 , 求菱形的邊長(zhǎng) . 圖 Z 4 1 8 類型 4 二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合 (2) 因?yàn)?CD= 2, 要使以 A , C , D , H 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 , 則點(diǎn) H 的坐標(biāo)為 (0 ,0) 戒 ( 4,0 ) . (3) 可能存在兩種情況 . 情況一 : CM 為菱形的邊長(zhǎng) . 如圖 ① , 在第一象限內(nèi)拋物線上取點(diǎn) P 1 , 過(guò)點(diǎn) P 1 作 P 1 N 1 ∥ y 軸 , 交 BC 于點(diǎn) N 1 , 過(guò)點(diǎn) P 1 作 P 1 M 1 ∥ BC , 交 y 軸于點(diǎn) M 1 , 則四邊形 CM 1 P 1 N 1 為平行四邊形 . 若四邊形 CM 1 P 1 N 1 是菱形 , 則 P 1 M 1 =P 1 N 1 . 過(guò)點(diǎn) P 1 作 P 1 Q 1 ⊥ y 軸 , 垂足為 Q 1 . ∵ OC=O B , ∠ BOC = 90 176。 , ∴ ∠ OCB= 45 176。 , ∴ ∠ P 1 M 1 C= 45 176。 , 設(shè)點(diǎn) P 1 的坐標(biāo)為 t , 12t2+t+ 4 , 在 Rt △ P 1 M 1 Q 1 中 , P 1 Q 1 =t , ∴ P 1 M 1 = 2 t. ∵ P 1 N 1 ∥ y 軸 , ∴ 點(diǎn) N 1 的坐標(biāo)為 ( t , t+ 4) . ∴ P 1 N 1 = 12t2+t+ 4 ( t+ 4) = 12t2+ 2 t. ∴ 2 t= 12t2+ 2 t , 解得 t 1 = 0( 舍去 ), t 2 = 4 2 2 . 此時(shí)菱形 CM 1 P 1 N 1 的邊長(zhǎng)為 2 (4 2 2 ) = 4 2 4 . 類型 4 二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合 情況二 : CM 為菱形的對(duì)角線 . 如圖 ② , 在第一象限內(nèi)拋物線上取點(diǎn) P 2 , 過(guò)點(diǎn) P 2 作 P 2 M 2 ∥ BC , 交 y 軸于點(diǎn) M 2 , 連接 CP 2 , 過(guò)點(diǎn) M 2 作 M 2 N 2 ∥ CP 2 ,交 BC 于點(diǎn) N 2 , 則四邊形 CP 2 M 2 N 2 為平行四邊形 . 連接 P 2 N 2 交 CM 2 于點(diǎn) Q 2 . 若四邊形 CP 2 M 2 N 2 是菱形 , 則 P 2 Q 2⊥ CM 2 , ∠ P 2 CQ 2 = ∠ N 2 CQ 2 . ∵ ∠ O CB= 45 176。 , ∴ ∠ N 2 CQ 2