【正文】 饋系統(tǒng)中，用狀態(tài)估計(jì)值 是否要重新計(jì)算狀態(tài)反饋增益矩陣 K？ )()(? tt xx ?（ 2）當(dāng)觀測器被引入系統(tǒng)后，狀態(tài)反饋部分 是否會改變已經(jīng)設(shè)計(jì)好的觀測器的極點(diǎn)配置？ )(? tK xvu ??2022年 2月 4日 2022年 2月 4日 由以上 3式可得到帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式 ?? ?()x A x B Kx B vx G Cx A G C B K x B vy Cx? ? ?? ? ? ? ??全維狀態(tài)觀測器： ? ?()A G C B G y? ? ? ?x x u設(shè)受控系統(tǒng)能控能觀，其狀態(tài)空間表達(dá)式為 x A x B uy Cx???設(shè)狀態(tài)反饋控制律為： ?u v K x??2022年 2月 4日 構(gòu)造 2n維復(fù)合系統(tǒng)： ? ???0??? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?????? ????x A B K x BvGC A B K GC x BxxyCx定義誤差 xxx ?~ ??? ? ?[ ( ) ]()?( ) ( )()x Ax Bu A GC x Bu GC xA GC xx Ax B v K x Ax Bv BK x xA BK x BK x Bv? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?2022年 2月 4日 寫成矩陣形式為 ?00x A B K B K x BvA G C xx??? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? 若被控系統(tǒng)（Ａ，Ｂ，Ｃ）可控可觀測，用狀態(tài)觀測器估值形成的狀態(tài)反饋，其系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和觀測器設(shè)計(jì)可以分別進(jìn)行． 分離定理 系統(tǒng)基本特性 2022年 2月 4日 閉環(huán)極點(diǎn)的分離特性 de t0| || |sI A B K B KsI A G CsI A B K sI A G C? ? ????? ????? ? ? ? ?傳遞函數(shù)的不變性 1111( ) [ 0 ]00( ) *[ 0 ]00 ( )()s I A BK BK BG s Cs I A HCBs I A BKCs I A GCC s I A BK B????? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ????? ??? ?????? ????? ? ?2022年 2月 4日 例 設(shè)受控系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 1()( 6 )s ss?? ?用狀態(tài)反饋將閉環(huán)極點(diǎn)配置為 4＋ j6,4j6。并設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的狀態(tài)觀測器。（設(shè)其極點(diǎn)為 10,10) 解：（ 1）由傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)能控能觀，因此存在狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器。根據(jù)分離定理可分別進(jìn)行設(shè)計(jì)。 2022年 2月 4日 令 ? ?01K k k?01 20 0 1( ) ( ) ( 6 ) ( 6 )16s k kf s s I A b K s k s k ks???? ? ? ? ? ? ? ? ???????期望特征多項(xiàng)式 2( ) ( 4 6 ) ( 4 6 ) 8 5 2f s s j s j s s? ? ? ? ? ? ? ? ?對應(yīng)特征多項(xiàng)式 ? ?2 40K ?由對應(yīng)系數(shù)相等得 (2) 求狀態(tài)反饋矩陣 K ? ? xxx10016100????????????????yu?寫出狀態(tài)空間表達(dá)式 2022年 2月 4日 （ 3）求全維觀測器 令 ???????10ggG01210( ) ( )1 ( 6 )( 6 )sgf s ssgs g s g??? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ?I A GC22( ) ( 10) 20 100f s s s s? ? ? ? ? ?* 100( ) ( ) ,14f s f s????????G全維觀測器方程為 0 1 0 0 1 0 0 1? ? ?()1 2 0 1 4 0?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?x A G C x G y b u x y u2022年 2月 4日 MATLAB的應(yīng)用 極點(diǎn)配置 線性系統(tǒng)是狀態(tài)能控時，可以通過狀態(tài)反饋來任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)。把極點(diǎn)配置到 S左半平面所希望的位置上，則可以獲得滿意的控制特性。 狀態(tài)反饋的系統(tǒng)方程為 BvxBKAx ??? )(?Cxy ?2022年 2月 4日 在 MATLAB中，用函數(shù)命令 place( )可以方便地求出狀態(tài)反饋矩陣 K；該命令的調(diào)用格式為： K = place(A,b,P)。 P為一個行向量，其各分量為所希望配置的各極點(diǎn)。即：該命令計(jì)算出狀態(tài)反饋陣 K，使得（ AbK）的特征值為向量 P的各個分量。使用函數(shù)命令 acker( )也可以計(jì)算出狀態(tài)矩陣 K，其作用和調(diào)用格式與 place( )相同，只是算法有些差異。 例 線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 uBAxx ???其中 ?????????? ????0100016116A???????????001B要求確定狀態(tài)反饋矩陣，使?fàn)顟B(tài)反饋系統(tǒng)極點(diǎn)配置為 101 ??s 112 ??s 123 ??s2022年 2月 4日 解 首先判斷系統(tǒng)的能控性，輸入以下語句 語句執(zhí)行結(jié)果為 這說明系統(tǒng)能控性矩陣滿秩，系統(tǒng)能控，可以應(yīng)用狀態(tài)反饋，任意配置極點(diǎn)。 輸入以下語句 語句執(zhí)行結(jié)果為 2022年 2月 4日 計(jì)算結(jié)果表明，狀態(tài)反饋陣為 ? ?1 3 1 43 5 127?K注 ：如果將輸入語句中的 K=place(A,B,P) 改為 K=acker(A,B,P)，可以得到同樣的結(jié)果。 狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì) 在 MATLAB中，可以使用函數(shù)命令 acker( )計(jì)算出狀態(tài)觀測器矩陣 。調(diào)用格式 ，其中 AT 和 CT 分別是 A 和 B 矩陣的轉(zhuǎn)置。 P為一個行向量，其各分量為所希望的狀態(tài)觀測器的各極點(diǎn)。 GT為所求的狀態(tài)觀測器矩陣 G 的轉(zhuǎn)置。 ),a c k e r ( PCAG TTT ?例 線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 uBAxx ???Cx?y其中 ???????????200120001A???????????101B ? ?011?C要求設(shè)計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)觀測器，其特征值為 :－ 3, － 4, － 5。 2022年 2月 4日 解 首先判斷系統(tǒng)的能觀測性，輸入以下語句 語句運(yùn)行結(jié)果為 說明系統(tǒng)能觀測，可以設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器 2022年 2月 4日 輸入以下語句 語句運(yùn)行結(jié)果為 計(jì)算結(jié)果表明，狀態(tài)觀測器矩陣為 ????????????2 1 01 0 31 2 0G狀態(tài)觀測器的方程為 uy BGxGCAx ???? ?)(?? uy??????????????????????????????????????101210103120?221021011051030120229x2022年 2月 4日 單級倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)配置與狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì) 1. 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)配置及其 MATLAB/Simulink仿真 例 給出的單級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 uxxxxxxxx????????????????????????????????????????????????????10100110010000100001043214321????? ??????????????43210001xxxxy 首先，使用 MATLAB，判斷系統(tǒng)的能控性矩陣是否為滿秩。輸入以下程序 計(jì)算結(jié)果為 2022年 2月 4日 根據(jù)判別系統(tǒng)能控性的定理，該系統(tǒng)的能控性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能控的。因?yàn)橄到y(tǒng)是能控的，所以，可以通過狀態(tài)反饋來任意配置極點(diǎn)。 不失一般性，不妨將極點(diǎn)配置在 61 ??s ??s 73 ??s ??s在 MATLAB中輸入命令 得到計(jì)算結(jié)果為 因此，求出狀態(tài)反饋矩陣為 ? ?1 7 4 8 81 7 2 0 4 ?????K2022年 2月 4日 采用 MATLAB/Simulink構(gòu)造單級倒立擺狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的仿真模型，如下圖所示。 首先，在 MATLAB的 Command Window中輸入各個矩陣的值，并且在模型中的積分器中設(shè)置非零初值。然后運(yùn)行仿真程序。 2022年 2月 4日 得到的仿真曲線如右圖所示 從仿真結(jié)果可以看出，可以將倒立擺的桿子與豎直方向的偏角控制在 （即小球和桿子被控制保持在豎直倒立狀態(tài)）。 ?0??2022年 2月 4日 2. 狀態(tài)觀測器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置及其仿真 首先，使用 MATLAB，判斷系統(tǒng)的能觀性矩陣是否為滿秩。輸入以下程序 計(jì)算結(jié)果為 因?yàn)樵撓到y(tǒng)的能觀測性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能觀測的。因?yàn)橄到y(tǒng)是能觀測的，所以，可以設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器。而系統(tǒng)又是能控的，因此可以通過狀態(tài)觀測器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。 2022年 2月 4日 234 ??s223 ??s212 ??s 設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器矩陣，使的特征值的實(shí)部均為負(fù)，且其絕對值要大于狀態(tài)反饋所配置極點(diǎn)的絕對值。通過仿真發(fā)現(xiàn)，這樣才能保證狀態(tài)觀測器有足夠快的收斂速度，才能夠保證使用狀態(tài)觀測器所觀測到的狀態(tài)與原系統(tǒng)的狀態(tài)充分接近。不妨取狀態(tài)觀測器的特征值為： 201 ??s輸入以下命令 計(jì)算結(jié)果為 求出狀態(tài)觀測器矩陣為 ? ?T2 4 3 1 2 04 0 5 9 0278090 ???G2022年 2月 4日 如果采用 MATLAB/Simulink構(gòu)造具有狀態(tài)觀測器的單級倒立擺狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的仿真模型，如下圖所示。 2022年 2月 4日 首先，在MATLAB的Command Window中輸入各個矩陣的值，并且在模型中的積分器中設(shè)置非零初值。然后運(yùn)行仿真程序。得到的仿真曲線如右圖所示。 比較兩個仿真結(jié)果，具有狀態(tài)觀測器的單級倒立擺狀態(tài)反饋系統(tǒng)的控制效果和沒有狀態(tài)觀測器的控制系統(tǒng)的控制效果十分接近，令人滿意。