高中數(shù)學(xué)2-2-1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程-資料下載頁(yè)
2025-01-06 16:31本頁(yè)面
【正文】 分 )已知 B、 C是兩個(gè)定點(diǎn)， |BC|＝ 8，且 △ ABC的周長(zhǎng)等于 A的軌跡方程． 題型 三 與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題 【 例 3】 [規(guī)范解答 ] 以過(guò) B、 C兩點(diǎn)的直線為 x軸，線段 BC的垂直平分線為 y軸，建立直角坐標(biāo)系 . 2分 課前探究學(xué)習(xí) 課堂講練互動(dòng) 由 |BC|＝ 8，可知點(diǎn) B(－ 4， 0)， C(4， 0)． 由 |AB|＋ |AC|＋ |BC|＝ 18，得 |AB|＋ |AC|＝ 10， 6分 因此，點(diǎn) A的軌跡是以 B、 C為焦點(diǎn)的橢圓，這個(gè)橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之和 2a＝ 10； 8分 但點(diǎn) A不在 x軸上．由 a＝ 5， c＝ 4，得 b2＝ a2－ c2＝ 25－ 16＝ 9. 10分 所以點(diǎn) A 的軌跡方程為 x 225 ＋y 29 ＝ 1 ( y ≠ 0 ) . 12 分 【 題后反思 】 利用橢圓的定義求軌跡方程，是先由條件找到動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件，看其是否符合橢圓的定義，再確定橢圓的方程．特別注意點(diǎn) A不在 x軸上，因此 y≠0. 課前探究學(xué)習(xí) 課堂講練互動(dòng) 已知?jiǎng)訄A M過(guò)定點(diǎn) A(－ 3， 0)，并且內(nèi)切于定圓 B：(x－ 3)2＋ y2＝ M的軌跡方程． 解 設(shè)動(dòng)圓 M的半徑為 r，則 |MA|＝ r， |MB|＝ 8－ r， ∴ |MA|＋ |MB|＝ 8，且 8|AB|＝ 6， ∴ 動(dòng)點(diǎn) M的軌跡是橢圓，且焦點(diǎn)分別是 A(－ 3， 0)， B(3，0)，且 2a＝ 8， ∴ a＝ 4， c＝ 3， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 16－ 9＝ 7. 【 變式 3】 ∴ 所求動(dòng)圓圓心 M 軌跡方程是 x216 ＋y 27 ＝ 1. 課前探究學(xué)習(xí) 課堂講練互動(dòng) 在本節(jié)內(nèi)容中，最常見(jiàn)的分類討論是因焦點(diǎn)的位置不確定而引起的討論． 橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為 A(2， 0)，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． [思路分析 ] 題目沒(méi)有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置，進(jìn)行分類討論． 方法技巧 分類討論思想在橢圓中的應(yīng)用 【 示 例 】 課前探究學(xué)習(xí) 課堂講練互動(dòng) 方法點(diǎn)評(píng) 本題要求根據(jù)橢圓上的點(diǎn)和長(zhǎng)短軸之間的關(guān)系求標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和思考問(wèn)題的全面性；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)，給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的位置，是不能確定橢圓的形狀的，因而要考慮兩種情況． 解 ① 當(dāng) A ( 2 ， 0 ) 為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)， a ＝ 2 ， b ＝ 1 ，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方 程為：x24＋ y2＝ 1 ； ② 當(dāng) A ( 2 ， 0 ) 為短軸端點(diǎn)時(shí)， b ＝ 2 ， a ＝ 4 ， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x24＋y216＝ 1. 綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24＋ y2＝ 1 或x24＋y216＝ 1.
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