排列組合常見題型及解題策略-資料下載頁(yè)
2025-01-06 05:38本頁(yè)面
【正文】 5+15=37 種。 變式： 欲登上第 10級(jí)樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，則不同的走法共有 ( ) （ A） 34種 （ B） 55種 （ C） 89種 （ D） 144種 答案： （ C） 十．排數(shù)問(wèn)題（注意數(shù)字“ 0”） 【 例 1】 （ 1）由數(shù)字 0， 1， 2， 3， 4， 5 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（ ） A、 210 種 B、 300 種 C、 464 種 D、 600 種 【解析】 ：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是 0， 1， 2， 3， 4 共 5 種情況，分別有 55A 個(gè)， 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 34 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3, , ,A A A A A A A A A A A個(gè)，合并總計(jì) 300 個(gè) ,選 B . （ 2）從 1， 2， 3，…， 100 這 100 個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被 4 整除的取法（不計(jì)順序）有多少種？ 【解析】 ：將 ? ?1, 2, 3 ,10 0I ? 分成四個(gè)不相 交的子集，能被 4 整除的數(shù)集 ? ?4, 8,12 , 10 0A ? ；能被 4 除余 1 的數(shù)集? ?1, 5, 9, 97B ? ，能被 4 除余 2 的數(shù)集 ? ?2, 6, ,98C ? ，能被 4 除余 3 的數(shù)集 ? ?3, 7, 11, 99D ? ，易見這四個(gè)集合中每一個(gè)有 25 個(gè)元素；從 A 中任取兩個(gè)數(shù)符合要；從 ,BD中各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從 C 中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 2 1 1 225 25 25 25C C C C??種 . 十一 ． 染色問(wèn)題 ： 涂色問(wèn)題的常用方法有：（ 1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論 。 （ 2）根據(jù)相對(duì)區(qū)域是否同色分類討論 。 （ 3）將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域涂色問(wèn)題。 【 例 1】 將一個(gè)四棱錐 S ABCD? 的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有 5 種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總 數(shù)是 _______. 【解析一】 滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。 (1)若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點(diǎn) S，再?gòu)挠嘞碌乃姆N顏色中任選兩種涂 A、 B、 C、 D 四點(diǎn)，此時(shí)只能 A 與 C、 B 與 D 分別同色，故有 125460CA? 種方法。 (2)若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點(diǎn) S，再?gòu)挠嘞碌乃姆N顏色中任選兩種染 A 與 B，由于A、 B 顏色可以交換，故有 24A 種染法；再?gòu)挠嘞碌膬煞N顏色中任選一種染 D 或 C，而 D 與 C，而 D 與 C 中另一個(gè)只需染與其相對(duì)頂點(diǎn)同色即可，故有 1 2 1 15 4 2 2 240C A C C ? 種方法。 (3)若恰用五種顏色染色，有 55 120A ? 種染色法 綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為 60+240+120=420 種。 【答案】 420. 【解析二】 設(shè)想染色按 S— A— B— C— D 的順序進(jìn)行，對(duì) S、 A、 B 染色，有 5 4 3 60? ? ? 種染色方法。 8 由于 C 點(diǎn)的顏色可能與 A 同色或不同色，這影響到 D 點(diǎn)顏色的選取方法數(shù)，故分類討論 ： C 與 A 同色時(shí)（此時(shí) C 對(duì)顏色的選取方法唯一）， D 應(yīng)與 A（ C）、 S 不同色，有 3 種選擇； C 與 A 不同色時(shí)， C 有 2 種選擇的顏色， D 也有 2 種顏色可供選擇，從而對(duì) C、 D 染色有 1 3 2 2 7? ? ? ? 種染色方法。 由乘法原理，總的染色方法是 60 7 420?? 【解析三】 可把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相鄰區(qū)域不同色問(wèn)題：如圖， 對(duì)這五個(gè)區(qū)域用 5 種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法？ 總體實(shí)施分步完成 ,可分為四大步 : ①給 S 涂色有 5 種方法 。 ②給 A 涂色有 4 種方法 (與 S 不同色 )。 ③給 B 涂色有 3 種方法 (與 A,S 不同色 )。 ④給 C,D 涂色 .當(dāng) C 與 A 異色時(shí) ,C,D 都有 2 種涂色方法 。 當(dāng) C 與 A 同色時(shí) ,C 有一種涂色方法 (與 A 同色 ),D 有 3 種涂色方法 .給 C,D 涂色共有 2 2+3=7種方法 . 由分步計(jì)數(shù)原理共有 5 4 3 7=420 種方法 [規(guī)律小結(jié) ] 涂色問(wèn)題的常用方法有：（ 1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論 。（ 2）根據(jù)相對(duì)區(qū)域是否同色分類討論 。（ 3）將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域涂色問(wèn)題。 十二 ． “至多”“至少”問(wèn)題用間接法或分類 : 十三 ． 幾何中的排列組合問(wèn)題 : 【 例 1】 已知直線 1xyab??（ ab， 是非零常數(shù)）與圓 22100xy?? 有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有 條 【解析】 ： 圓上的整點(diǎn)有： ( 6, 8) ,( 8, 6),( 10 ,0 ) ,(0 10 )? ? ? ? ? ? 12 個(gè) 212C=66 其中關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的有 4 條 不滿則條件 切線有 112C=12 ， 其中平行于坐標(biāo)軸的有 14 條 不滿則條件 664+1214=60 答案 :6
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