【正文】 據(jù)此可以 建立數(shù)學模型 ，對現(xiàn)象的未來發(fā)展進行 預測 ； ? 最后，測定長期趨勢，可以暫時消除原時間數(shù)列中長期趨勢的影響，以便更好地研究季節(jié)變動等。 2022/1/4 142 二、長期趨勢的測定 測定方法有修勻法和數(shù)學模型法兩種 。 一）修勻法 主要有時距擴大法和移動平均法。 時距擴大法 將原有時間數(shù)列中若干期加以合并，得出較大間隔的時距單位的數(shù)據(jù)，以消除原數(shù)列因時距過短受偶然因素和季節(jié)變動影響所引起的波動，使現(xiàn)象的發(fā)展趨勢和規(guī)律性明顯地表現(xiàn)出來。 方法：用時距擴大后的總量指標編制時間數(shù)列或平均數(shù)指標編制時間數(shù)列。 2022/1/4 143 例如：某公司 2022年各月銷售額資料 月 份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 銷售額 405 456 421 406 460 483 463 488 494 518 504 546 （萬元） 現(xiàn)將一個月擴大為一個季度 ,將各季度 3個月的銷售額相加 ,得到新的時間數(shù)列 . 季 度 1 2 3 4 銷售額（萬元） 1182 1350 1445 1568 2022/1/4 144 ?應用時距擴大法時需要注意以下幾個問題： ?擴大的時距多大為宜取決于現(xiàn)象自身的特點。對于呈現(xiàn) 周期波動的動態(tài)數(shù)列 ， 擴大的時距應與波動的周期相吻合 ；對于一般的動態(tài)數(shù)列，則要逐步擴大時距，以能夠顯示趨勢變動的方向為宜。時距擴大太大，將造成信息的損失。 ? 擴大的時距要一致，相應的發(fā)展水平才具有可比性 ?時距擴大法局限性： ?不能據(jù)以預測為來發(fā)展趨勢； ?不能滿足消除長期趨勢、分析季節(jié)變動和循環(huán)變動的需要。 2022/1/4 145 ? 二）移動平均法 ? 是指根據(jù)時間數(shù)列資料， 逐項遞推移動 ，依次計算包含一定項數(shù)的擴大時距平均數(shù)，形成一個新的時間數(shù)列，反映長期趨勢的方法。 ? 方法： 設序時項數(shù)為 n，則移動平均數(shù)為： ? n為奇數(shù)時，簡單算術平均法， ? n為偶數(shù)時，用首末折半法。 2022/1/4 146 第三節(jié) 時間數(shù)列成份分析法 例如：某企業(yè) 19982022年銷售額資料 年 份 1998 1999 2022 2022 2022 2022 2022 2022 2022 2022 銷售 10 40 100 70 40 130 100 130 190 160 額 (萬元 ) 三年移 — 50 70 70 80 90 120 140 160 — 動平均 四年移 — — 55 85 85 100 145 — — 動平均 四年移 — — 85 — — 正平均 2022/1/4 147 某種商品零售量051015202530第一年 第二年 第三年 第四年某種商品零售量051015202530第一年 第二年 第三年 第四年三項移動平均線 2022/1/4 148 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 增加值 y(萬元 ) 45 52 53 57 58 三項移動平均 yc 53 ∴ 趨勢值項數(shù) =原數(shù)列項數(shù) 移動平均項數(shù) +1 =123+1=10 某工廠某年各月增加值完成情況 單位：萬元 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 增加值 45 52 53 57 58 2022/1/4 149 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 45 52 53 57 58 四項移動平均 二項移正 yc 用四項移動平均后的資料作圖，趨勢更明顯，上升得更均勻，可見修勻的項數(shù)越多，效果越好。 (但丟掉的數(shù)據(jù)多一些 ) 仍用上例資料： 2022/1/4 150 4045505560651 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12原始資料三項移動后的趨勢四項移動后的趨勢由此可見，該廠的增加值趨勢是上升的。 圖示 2022/1/4 151 移動平均法的特點： ① 移動平均法具有平滑修勻作用，平均項數(shù)（ N）越大，對數(shù)列的修勻作用越強。 ②平均項數(shù)（ N）為奇數(shù)，只需一次移動平均，其平均值對準某一時期； N為偶數(shù)時，進行兩次移動平均， 一次是移動平均，一次是移正平均。 2022/1/4 152 ③ 若數(shù)列中包含周期變化 ， 平均項數(shù) N必須和周期長度一致， 才能消除數(shù)列中的周期波動，揭示現(xiàn)象的長期趨勢。 ④ 移動平均后，時間數(shù)列的項數(shù)比原數(shù)列項數(shù)少。 N為奇數(shù)時，新數(shù)列首尾各少 N1 / 2項； N為偶數(shù)時，首尾各少 N/2項。 ⑤移動平均沒有外推預測的功能。 2022/1/4 153 使用移動平均法應注意的問題： ? 移動平均法可以平滑修勻數(shù)列； ? 對于季節(jié)性數(shù)列，要采用 4 項或 12 項移動平均，方可平滑掉其季節(jié)波動； ? 一般的移動平均方法使原數(shù)列首尾各去除了若干項，因此不能用于外推預測； ? 當數(shù)列沒有明顯的長期趨勢、季節(jié)變動和循環(huán)變動時，可以用移動平均法進行預測，但要進行特別的計算處理。 2022/1/4 154 ? 移動平均法： ? 優(yōu)點：計算簡單，能以較多的數(shù)據(jù)反映長期趨勢變動，同時可對近一期進行預測。 ? 缺點：移動平均法形成的移動平均數(shù)列比原數(shù)列數(shù)據(jù)少。 ? 注意：序時項數(shù)不宜過多或過少。對含有周期變動的時間數(shù)列，采用的序時項數(shù)應與周期長度一致，以消除周期變動和不規(guī)則變動影響。 2022/1/4 155 第三節(jié) 時間數(shù)列成份分析法 二）長期趨勢的數(shù)學模型（趨勢方程擬合法、最小平方法） 最小平方法（最小二乘法）： 以時間變量為 t，以指標值為 Y，建立數(shù)學模型預測。 用某種趨勢線（直線或曲線）來對原數(shù)列的長期趨勢進行擬合。 其主要作用是進行外推預測。 2022/1/4 156 最小平方法是時間數(shù)列長期趨勢分析預測中的傳統(tǒng)方法。 采用此方法，必須符合兩個條件： ①時間數(shù)列的實際值與趨勢值的離差之和為 0； ②時間數(shù)列的實際值與趨勢值的離差平方和為最小值。用符號表示為： ∑(yyc)=0 ∑(yyc )2=最小值 根據(jù)以上兩個條件，列出聯(lián)立方程，估計參數(shù)，配合趨勢模型，分析預測長期趨勢 的方法 . 趨勢方程擬合法的要點是要選擇一個恰當?shù)那€形式對原數(shù)列進行擬合，但實際中的選擇很復雜。 2022/1/4 157 第三節(jié) 時間數(shù)列成份分析法 實際操作中有幾點可供參考： ①定性分析。 根據(jù)經(jīng)濟常識和現(xiàn)象的客觀性質(zhì)判斷該現(xiàn)象趨勢在一般情況下遵循什么規(guī)律發(fā)展。 ②繪制散點圖。 從散點圖的圖形形式直觀判斷現(xiàn)象發(fā)展趨勢的類型，這是一種比較常用的方法。 ③對混合趨勢形式的數(shù)列，采用分段擬合的方法 .。 2022/1/4 158 ④ 根據(jù)數(shù)列的特征加以判斷。 若數(shù)列各數(shù)據(jù)的 K次差（ K級增長量）大致為一個常數(shù)，可相應地配合 K次曲線； 一次差為一個常數(shù)，配合直線方程； 二次差相同配合二次曲線 。 數(shù)列的環(huán)比發(fā)展速度大致為一個常數(shù)，配合指數(shù)曲線等等 . 這種方法是純數(shù)學的一種判斷，理論性強，實際應用不盡如人意。 2022/1/4 159 判斷趨勢類型 繪制散點圖 分析數(shù)據(jù)特征 當數(shù)據(jù)的一階差值趨近于一常數(shù)時，可以配合直線方程。 當數(shù)據(jù)的二階差 值 趨近于一常數(shù)時，可以配合二次曲線方程。 當數(shù)據(jù)的環(huán)比發(fā)展速度趨近于一常數(shù)時，可配合指數(shù)曲線方程。 2022/1/4 160 直線趨勢方程： btay ??曲線趨勢方程： taby ?2ctbtay ???2022/1/4 161 趨勢線擬合法的基本程序 判斷趨勢類型 計算待定參數(shù) 利用方程預測 2022/1/4 162 直線方程 當現(xiàn)象的發(fā)展，其逐期增長量大體上相等時。 該方程的一般形式為： cy a b t??2022/1/4 163 ? 當現(xiàn)象的數(shù)量變化近似呈線性趨勢時 ， 利用最小平方法 (又稱最小二乘法 )配合的趨勢直線是一條最優(yōu)擬合直線 。 ? 設趨勢直線是： ? yc=a+bt ? 最小平方法的基本原理要求實際值 y(數(shù)列中各項的值 )與理論值 (估計值 )yc之間的離差平方和最小。即： ? ? 最小值??? 2cyyyc 因變量，代表所研究現(xiàn)象的預測值 t 自變量，代表時間的序號 a、 b為方程參數(shù) 2022/1/4 164 ? ? ????? 22 )()(),( btayyybaQ c令 由極值的必要條件有： ? ??????? 0)1)((2 btayaQ? ??????? 0))((2 tbtaybQ整理得如下標準方程組：（ n為時間數(shù)列的項數(shù)） ???????? ? ?? ?2tbtatytbnay??????????? ?? ? ?tbyattnyttynb 22)(2022/1/4 165 ? 由于對時間 (如年份 )的編碼具有一定的靈活性 ，因此 ， 適當?shù)亟o時間編碼 ， 使 Σt=0， 標準方程組可得到簡化 ， 由此得到簡捷計算法 。 ? 若項數(shù) n是奇數(shù) ， 則取中間時間為 0， 編碼如下： ? …4， 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3， 4， … ? 若項數(shù) n為偶數(shù) ， 則取中間位置為 0， 中間兩項分別取 1， 1， 編碼如下： ? …7， 5， 3， 1， 1， 3， 5， 7， … ? 如果作上述編碼，則標準方程組可化為： ????????????2ttybnya2022/1/4 166 ? 例：某火車站 1995～ 2022年客流量如表 516所示 ， 試利用最小平方法配合趨勢直線 。 并預測該火車站 2022年的客流量 。 ? 表 516 某火車站客流量 單位：萬人 年 份 1995 1996 1997 1998 1999 2022 編號 t 5 4 3 2 1 0 客流量 y 378 463 514 557 579 627 年 份 2022 2022 2022 2022 2022 編號 t 1 2 3 4 5 客流量 y 640 653 711 780 846 2022/1/4 167 ? 解：因數(shù)列項數(shù)為 11， 是奇數(shù)項 。 對年份 1991～ 2022作如下編碼： 5， 4， 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3， 4， 5 ?則由公式 ()和 ()有： ????????????????11044521167482ttybnya于是得到趨勢直線： yc=+ 據(jù)此趨勢直線 ， 可以得出結論： 1995～ 2022年間該火車站客流量呈增長趨勢 。 2022年 ， t=7,該火車站客流量是： yc =+ 7=(萬人 ) 2022/1/4 168 例： 2022年 ——2022年糧食產(chǎn)量資料如下 ：求直線趨勢方程 ,并預測 2022年糧食產(chǎn)量 年份 2022 2022 2022 2022 2022 2022 糧食產(chǎn)量(萬噸 ) 2022/1/4 169 年份 時間代碼 t 糧食產(chǎn)量 y 2022 1 1 2022 2 4 2022 3 9 2022