【正文】 組距式數(shù)列計算眾數(shù)示例 收入組別 人均收入（元） 頻數(shù)（人） 1 2 3 4 5 6 2 000元以下 2 000～ 4 000元 4 000～ 6 000元 6 000～ 8 000元 8 000～ 10 000元 10 000以上 23 43 68 32 24 10 合 計 － 200 其眾數(shù)的近似值為： ? ? ? ?6 8 4 34 0 0 0 2 0 0 0 4 8 1 9 . 6 7( )6 8 4 3 6 8 3 2oM?? ? ? ?? ? ? 元表 48 某 地區(qū)的人均月收入調(diào)查數(shù)據(jù) 三、均值、中位數(shù)和眾數(shù)的比較 （一）均值、中位數(shù)和眾數(shù)的數(shù)量關(guān)系 對稱分布 時， 三者合而為一。 左偏分布 時，說明數(shù)據(jù) 存在極小值 ，必然拉動 均值向極小值一方靠 ，則從左至右依次是 均值、中位數(shù)和眾數(shù)。 右偏分布 時，說明數(shù)據(jù) 存在極大值 ，必然拉動 均值向極大值一方靠 ，則從左至右依次是 眾數(shù)、中位數(shù)和均值。 三、均值、中位數(shù)和眾數(shù)的比較 (二 ) 均值、眾數(shù)和中位數(shù)的特點及應(yīng)用場合 **均值 是 對數(shù)值型數(shù)據(jù) 的 計算 ，利用了全部數(shù)據(jù)信息，具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì)，是實際中 應(yīng)用最廣泛 的集中趨勢測度值。 **中位數(shù) 是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，其特點是 不受數(shù)據(jù)極端值 的影響，主要適合于作為 順序數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值 。 **眾數(shù) 是一組 數(shù)據(jù)分布的峰值 ，它也是一種位置代表值， 不受極端值 的影響， 主要適合于作為 分類數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值 。 第 三 節(jié) 數(shù)據(jù)分布離散程度的測定 一、極差 （一）概念： 又稱全距，是數(shù)據(jù)中最大值和最小值之差。記為 。 （二）計算 ： 表示數(shù)據(jù)的最大值； 表示數(shù)據(jù)的最小值。 極差＝最大組的上限－最小組的下限 若存在開口組 ,則 : 最大組的上限＝前一組的上限＋組距 最小組的下限＝下一組的下限－組距 R H L??RHL其中 : (三 )修正極差 :修正極差 (modified range)是去掉極端值后的極差 ，又稱 四分位全距 (IQR， inter quartile range )，是 中間 50％的數(shù)據(jù)的間距 ，即數(shù)據(jù)分布中 第 25個和第 75個百分位數(shù)的間距 ，也即 第 1個和第 3個四分位數(shù)的間距 。 ： 其中， Q3表示第 3個四分位數(shù)，即第 75個百分位數(shù)； Q1表示第 1個四分位數(shù)，即第 25百分位數(shù)。 31I Q R Q Q??? ? ? ?3 75 1100 2NQX ?? ??????? ? ? ?1 25 1100 2NQX ?? ??????二、平均差 （一）概念 平均差 (mean absolute deviation， MAD)是 各數(shù)據(jù)對平均數(shù)的離差絕對值的平均數(shù) 。 （二）樣本平均差的計算公式 ： ： 1niiiXXMADn????11niiiniiM X fM A Df??????三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差 (一 )概念 方差 (variance)是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。 標(biāo)準(zhǔn)差 (standard deviation)是方差的平方根，又稱“ 均方差 ”。 (二 )比較與評價 ，均為各個數(shù)據(jù)對其平均數(shù)的平均離差。但平均差采用求絕對值消除正負(fù)離差 ,標(biāo)準(zhǔn)差采用平方法消除正負(fù)離差， 在數(shù)學(xué)處理上標(biāo)準(zhǔn)差比平均差更為科學(xué)合理 。 要的指標(biāo) 。 [例 49]某電腦公司銷售量分組數(shù)據(jù)如表 47，計算銷售量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差 表 47某電腦公司銷售量分組數(shù)據(jù) （三）總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差計算示例 按銷售量分組 ( 臺 ) 組中值(iM) 頻數(shù)(if) iM ?? ? ? 2iiMf ?? 5 ～ 10 10 ～ 15 15 ～ 20 20 ～ 25 25 ～ 30 30 70 100 50 10 2 1 0 1 1 合 計 － 260 － 6 總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差計算示例 根據(jù)公式 計算可知 總體均值 為 : 總體方差 為： 總體標(biāo)準(zhǔn)差 為： if2 6 6 5 3 .8 5 0 2 5 .5 9260? ??2 5 .5 9 5 .0 6? ????? ??iiiffM?[例 410] 根據(jù)以下 資料，計算企業(yè)職工平均工資的標(biāo)準(zhǔn)差。（已知平均工資為 760元） 表 49 某企業(yè)職工工資分組數(shù)據(jù)表 月 工 資 （元） 工人數(shù)（人） f 組中值 x x x (x x) 2 (x x) 2 f 500 元以下 500~ 600 600~ 700 700~ 800 800~ 900 900~ 1000 1000 元以上 10 20 30 60 50 20 10 450 550 650 750 850 950 1050 310 210 1 10 10 + 90 + 190 + 290 96100 44100 12100 100 8100 36100 84100 961, 000 882, 000 363, 000 6, 000 405, 000 722, 000 841, 000 合 計 ∑ f = 200 4180 , 000 總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差計算示例 總體方差 為： 總體標(biāo)準(zhǔn)差 為： if2 0 9 0 02 0 00 0 0,1 8 0,42 ???)(1 4 52 0 9 0 0 元???(四 )樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差 在大多數(shù)統(tǒng)計應(yīng)用中，都針對樣本數(shù)據(jù)來分析總體數(shù)量特征。因此通常 用樣本方差來估計總體方差 ， 用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計總體標(biāo)準(zhǔn)差 。 樣本容量 用 n 表示； 樣本方差 用 S2 表示； 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 用 S 表示。 與總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差公式類似 ,區(qū)別在于分母除以 n1。 四、離散系數(shù) (一 )概念： 離散系數(shù)（ coefficient of variation）也稱變異系數(shù)， 是一組數(shù)據(jù)的 離散指標(biāo)的絕對數(shù)與其相應(yīng)的均值之比 ，是離散指標(biāo)的相對數(shù)形式。 （二）表現(xiàn)形式 有 全距系數(shù) 、 平均差系數(shù) 和 標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) 。 最常用的是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。 （三）計算公式 v? ???ssvx?總體標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) 樣本標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) 四、離散系數(shù) (四 )應(yīng)用： 用于 比較不同總體數(shù)據(jù)分布的離散程度 。[例題 411] 甲乙企業(yè)職工的年均收入分別為 20 000元和 50 000元，收入的標(biāo)準(zhǔn)差分別為 3 000和 5 000元，哪家企業(yè)職工的收入差距小一些？ [分析 ] 不同企業(yè)的年均收入不同，不能直接比較標(biāo)準(zhǔn)差，只能比較標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。 [結(jié)論 ] 乙企業(yè)職工收入差距小于甲企業(yè)。 %1520 00 030 00 ???甲甲甲 ???v甲企業(yè) 標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) 乙企業(yè) 標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) %105 0 0 0 05 0 0 0 ???乙乙乙 ???v第 四 節(jié) 數(shù)據(jù)分布偏態(tài)與峰態(tài)的測定 一、偏態(tài)及其測定 （一）偏態(tài) (skewness) 是指 數(shù)據(jù)分布的不對稱性 ，其度量值稱為 偏態(tài)系數(shù) SK。 （二）計算 未分組數(shù)據(jù) ： 分組數(shù)據(jù) ： ? ?? ? ? ?31312niin X XSKn n s??????3s 是樣本標(biāo)準(zhǔn)差的三次方。 ? ? 313kiiiM X fSKns????一、偏態(tài)及其測定 （三）偏態(tài)系數(shù)大小的說明 偏態(tài)系數(shù) SK ＝ 0 ， 說明數(shù)據(jù)為 對稱分布。 偏態(tài)系數(shù) SK ≠0 ， 說明數(shù)據(jù)為 偏態(tài)分布。 其中： SK ＞ 0 說明數(shù)據(jù)為 正偏（右偏）分布； SK ＜ 0 說明數(shù)據(jù)為 負(fù)偏（左偏）分布。 二、峰態(tài)及其測定 （一）峰態(tài) (kurtosis)是指 正態(tài)分布數(shù)據(jù) 的 平峰 或 尖峰 程度，其度量值為 峰態(tài)系數(shù) 。 （二）峰態(tài) 通常是 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比較 而言的。 若數(shù)據(jù)服從 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ，則 峰態(tài)系數(shù)＝ 0。 若數(shù)據(jù)服從 非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ，則 峰態(tài)系數(shù) ≠ 0。 當(dāng) 峰態(tài)系數(shù)＞ 0時為 尖峰分布 ，即 比正態(tài)分布更尖。 當(dāng) 峰態(tài)系數(shù)＜ 0時為 平峰分布 ，即 比正態(tài)分布偏平。 本章小結(jié) 介紹了各種均值 、 中位數(shù) 、眾數(shù)的概念和特點 ， 比較了均值 、 中位數(shù) 、 眾數(shù)的特點 ， 重點介紹其計算方法和應(yīng)用場合 。 介紹了極差 、 平均差 、 方差 、標(biāo)準(zhǔn)差 、 離散系數(shù)的概念和計算方法 。 重點是方差 、標(biāo)準(zhǔn)差及標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的計算 。 簡單介紹了偏態(tài)和峰態(tài)的基本概念及測定方法。 END 第 五 章 時 間 序 列 分 析 本章學(xué)習(xí)目的 ?了解 時間序列的概念 、 種類 、 因素構(gòu)成和編制原則 。 ?掌握 水平指標(biāo)和速度指標(biāo)的計算方法 、 應(yīng)用條件及指標(biāo)間的相互關(guān)系 。 ?掌握 長期趨勢的分析測定方法 。 本章重難點提示 ?重點： 時間序列水平指標(biāo)和速度指標(biāo)的計算 、 最小平方法預(yù)測長期趨勢 。 ?難點： 季節(jié)比率法分析季節(jié)變動 、 最小平方法預(yù)測長期趨勢 。 學(xué)習(xí)目的及重難點提示 第 一 節(jié) 時 間 序 列 概 述 （ 一 ） 定義 現(xiàn)象在不同時間上的一系列指標(biāo)值按時間先后排列形成的數(shù)列 ， 又稱 動態(tài)數(shù)列 。 （ 二 ） 構(gòu)成要素 現(xiàn)象所屬的時間 指標(biāo)數(shù)值 （ 三 ） 與分配數(shù)列的區(qū)別 一、時間序列的概念及構(gòu)成要素 表 51 1985～ 1991年我國原煤產(chǎn)量 單位：億噸 時間序列示例 年 份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 原煤 產(chǎn)量 （ 一 ） 絕對數(shù)時間序列： 由 絕對指標(biāo) 排列形成 。 ：由 時期指標(biāo) 排列形成 。 特點： （ 1） 時期數(shù)列中各 指標(biāo)值可以相加 。 （ 2） 時期數(shù)列中 各指標(biāo)值大小與時間間隔正相關(guān) 。 （ 3） 時期數(shù)列通過 連續(xù)登記 獲取數(shù)據(jù) 。 ： 由 時點指標(biāo) 排列形成 。 特點： （ 1） 時點數(shù)列中各 指標(biāo)值不能相加 。 （ 2） 時點數(shù)列中各 指標(biāo)值大小與時間間隔無關(guān) 。 （ 3） 時點數(shù)列通過 間斷登記 獲取數(shù)據(jù) 。 二、時間序列的種類 （ 二 ） 相對數(shù)時間序列 ： 由 相對指標(biāo) 排列形成 。 特點 ： 兩個絕對數(shù)數(shù)列相比形成 。 不可直接相加 。 （ 三 ） 平均數(shù)時間序列： 由 平均指標(biāo) 排列形成 。 特點 ：不同時期的平均指標(biāo)數(shù)值 不可直接相加 。 二、時間序列的種類 基本原則 —— 可比性原則 具體原則 長短應(yīng)當(dāng)一致 。 保持一致 。 經(jīng)濟內(nèi)容 保持一致 。 計算方法和計量單位 保持一致 。 三 、時間序列的 編制原則 第 二 節(jié) 時 間 序 列