[理學(xué)]考研定積分應(yīng)用詳解-資料下載頁
2024-12-08 01:20本頁面
【正文】 橢圓 ??? ( 0 2 )t ??? 的周長 . 21 siny a t??c o sxt?2 2 2 20 ( sin ) ( 1 ) ( c o s ) dt a t t?? ? ??2 220 1 c o s da x x????12ss??故原結(jié)論成立 . 2 220 1 c o s da t t????37 試用定積分求圓 22( 5 ) 1 6y xx ? ? ? 繞 軸 旋 轉(zhuǎn)o xy454?上 半圓為 下 22( 5 1 6 )x? ? ??402V ?? ??dx2160 ??求體積 : 解 : 方法 1 利用對稱性 而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S . 方法 2 用柱殼法 dV ?2 y? 2x? dy?914V ?? ?21 6 ( 5 ) dy y y??454? o xyy?4 202 2 0 1 6 dxx????5 4 s i nyt??令例 8. 38 o xy454?上 半圓為 下 解 : ?求側(cè)面積 : 402?22 ( 5 1 6 )x? ?? 21dyx???上S?402? ?22 ( 5 1 6 )x? ?? 21dyx???下280??224022 ( 5 12 6 ) ([ 1)16xxx?? ?? ? ????2222 ( 5 1 6 ) 1 ( ) ] d16xxxx??? ? ? ??22 ( ) 1 ( ) d .bx aA f x f x x? ????0 24 1 d16160 xx??? ?試用定積分求圓 22( 5 ) 1 6y xx ? ? ? 繞 軸 旋 轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S . 例 8. 39 2116 d yy???? ?解：如圖 2116lim dbbyy?? ??? ?11lim ( ) bb y?? ? ??? ??21 dyV x y???? ?4, 1 , 0xy y x y? ? ?求 由 所 圍 圖 形 繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 而 成 的立體的體積 . xyo114xy ?例 9. 43?2( 1 1 3 2) 1y x x x? ? ?曲 線 , 直 線 及 軸 所年 數(shù) 圍 的 平 面 圖 形 .x繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 所 成 的 旋 轉(zhuǎn) 體 的 體 積 為40 例 10. 在 x≥0 時為連續(xù)的非負(fù)函數(shù) , 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 , 證明 : ( ) 2 ( ) .V t f t??? ?證 : 利用柱殼法 d 2 ( ) ( ) dV t x f x x???則 0( ) 2 ( ) ( ) dtV t t x f x x????02 ( ) dtt f x x?? ?02 ( ) dt x f x x?? ?0( ) 2 ( ) dtV t f x x?? ? ? 2 ( )tf t?? 2 ( )tf t??( ) 2 ( )V t f t??? ?故 x tdxx?xyo()y f x?t41 思考 : 求曲線 231yx? ? ?與 x 軸圍成的封閉圖形 繞直線 y＝ 3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積 . (94 考研 ) 解： 利用對稱性 , y ?? ??01x??2 2,x ?12x??24,x?故旋轉(zhuǎn)體體積為 V? 234? ?? 12202 [ 3 ( 2) ] dxx?? ? ??1 2203 6 2 ( 1 ) dxx??? ? ??44815 ??在第一象限 2 2212 [ 3 ( 4 ) ] dxx?? ? ??21BCAxoy342 回顧： 變力沿直線所作的功 二、定積分在物理上的應(yīng)用 設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 x ? a 移動到 力的方向與運(yùn)動方向平行 , 求變力所做的功 . xa bx xx d?在其上所作的功元素為 d ( ) dW F x x?因此變力 F(x) 在區(qū)間 上所作的功為 ( ) d .baW F x x? ?解： 43 0 1 x 解 : 設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇? ( ) ,f x k x?第一次 錘擊時所作的功為 11 0 ( ) dw f x x? ? ,2k?例 1. 用鐵錘將一鐵釘擊入木板 ,設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成 正比 , 在擊第一次時 ,將鐵釘擊入木板 1厘米 ,如果 鐵錘 每次錘擊 鐵釘 所作的功相等 ,問錘擊第 二 次時 ,又將鐵釘擊入多少？ h 設(shè)兩次擊入的總深度為 厘米 h2 0 ( ) dhw f x x? ?0 dh k x x??? 22kh依題意知 : 212ww??21 222kkh ??? 2,h ?解 得 ：( 2 1 ) .cm?故第二次擊入的深度為 P292第 5題 44 謝 謝 大 家！再見 例 2. 設(shè)有一長度為 l, 線密度為 ?(x) 的細(xì)直棒 , 求該棒的質(zhì)量 m及平均密度 . 解： 建立坐標(biāo)系如圖 . l[ , d ]x x x?細(xì)棒上小段 對應(yīng)的質(zhì)量微元為 : d m ? ( ) dxx? m??xO xdxx?0 ( ) dl xx??平均密度為： 01 ( ) dl xxl??? ?
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