[理學(xué)]概率統(tǒng)計(jì)3隨機(jī)向量-資料下載頁
2024-12-08 00:54本頁面
【正文】 12~ ( ) , ~ ( ) , ,X P Y P X Y??設(shè) 且 與 獨(dú) 立.Z X Y??求 的 分 布 律解 : 依題意得 : 11( ) ( 0 , 1 , 2 , . . . )!iP X i e ii ?? ?? ? ?22( ) ( 0 , 1 , 2 , . . . )!jP Y j e jj?? ?? ? ?0 , 1 , 2 , .. .k ?顯 然 Z 的 可 能 取 值 為:Z 的 分 布 律 為()P Z k? ()P X Y k? ? ?0( , )kiP X i Y k i?? ? ? ??0( ) ( )kiP X i P Y k i?? ? ? ??12120 ! ( ) !i k ikieei k i???????????12()120!! ! ( ) !ki k iiekk i k i???????????12()12()!kek???????? 12()12()!kek ???? ???? ( 0 , 1 , 2 , ... )k ?12~ ( )ZP ???即:結(jié) 論12~ ( ) , ~ ( ) , ,X P Y P X Y??若 且 與 獨(dú) 立12~ ( )X Y P ????則12, ~ ( , ) , ~ ( , ) , ,X b n p Y b n p X Y同 理 若 且 與 獨(dú) 立12~ ( , ) .X Y b n n p??則將 “ 同一類分布的獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布仍為這類分布 ”的這種性質(zhì)稱為 分布具有可加性 .因此 ,泊松分布和二項(xiàng)分布都具有可加性 . 上一頁 下一頁 返回 設(shè) (X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，具有概率密度 f(x,y)，若 Z=g(X,Y)為連續(xù)隨機(jī)變量 ,求 Z的概率密度 為求 Z的概率密度，可先求出 Z的分布函數(shù) 二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 上一頁 下一頁 返回 ( ).Zfz求解過程中，關(guān)鍵在于將事件 {Z≤z}等價(jià)地轉(zhuǎn)化為用 (X,Y)表示的事件 {g(X,Y) ≤z}={(X,Y) },其中 。 即首先找出上式右端的積分區(qū)域 Dz。如果求得了FZ(z) ,那么可通過 求出 Z的概率密度 。 上一頁 下一頁 返回 例 3：設(shè) 且 X與 Y相互 獨(dú)立，求 的概率密度。 由于 X與 Y相互獨(dú)立，于是 (X,Y)的概率密度為 解 :X和 Y的概率密度分別為 先求 Z的分布函數(shù) FZ(z) 當(dāng) z0時(shí) , FZ(z)=0 當(dāng) z≥0時(shí) , 上一頁 下一頁 返回 所以 于是可得 上一頁 下一頁 返回 的概率密度為 如果一隨機(jī)變量的概率密度為上式，稱該隨機(jī)變量服從參數(shù)為 ?的瑞利分布。由題可知，若 X,Y獨(dú)立服從同一分布 則 服從參數(shù)為 ?的瑞利分布。 設(shè) (X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f(x,y)，求 Z=X+Y的概率密度 . (1)和的分布 上一頁 下一頁 返回 令 ，則 Z的分布函數(shù)為 固定 z和 y對(duì)積分 作換元法，令 x+y=u得 于是： 由概率密度定義，即得 Z的概率密度為 由 X與 Y的對(duì)稱性，又可得 當(dāng) X與 Y相互獨(dú)立時(shí)，有 其中 分別是 X和 Y的密度函數(shù)。 上一頁 下一頁 返回 卷積公式 上一頁 下一頁 返回 例 4 設(shè) X和 Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從 N(0,1） ,求 Z=X+Y的概率分布密度 . 解 由題設(shè)知 X， Y的分布密度分別為 fX（ x） = 2221 x?eπ, ∞＜ x＜ +∞， fY（ y） = 2221 y?eπ, ∞＜ y＜ +∞. 由卷積公式知 fZ(z)= ( ) ( ) dXYf x f z x x???? ??22()221 e e d2 πx z xx??? ????? ?22()421 e e d2 πzz xx??? ? ???? ?上一頁 下一頁 返回 設(shè) t= 2zx? ，得 fZ(z) 44422222121 zztz t ???????? ??? ? eππe2 π1deeπ 即 Z服從 N（ 0， 2）分布 . 一般 ,設(shè) X,Y相互獨(dú)立 ,且 X~N(μ1,σ12),Y~N（ μ2,σ22),則 Z=X+Y~N（ μ1+μ2,σ12+σ22） .這個(gè)結(jié)論還能推廣到 n個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之和的情況，即 若 Xi~N（ μi,σi2) (i=1,2,…, n),且它們相互獨(dú)立 ,則它們的和 Z=X1+X2+…+ Xn 211,nniiii?????? ） . ~N（ 更一般地，可以證明 有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的 線性組合仍服從正態(tài)分布 . 上一頁 下一頁 返回 例 5 設(shè) X和 Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度 分別為 fX（ x） = 1 , 0 1 ,0,x????? 其 它 fY（ y） = e , 0 ,0,y y?? ??? 其 它 求隨機(jī)變量 Z=X+Y的分布密度 . 解 X， Y相互獨(dú)立，所以由卷積公式知 fZ（ z） = .)()(? ???? ? xxzfxf YX d. 由題設(shè)可知 fX(x)fY(zx)只有當(dāng) 0≤x≤1， zx＞ 0時(shí)才 不等于零 .現(xiàn)在所求的積分變量為 x， z當(dāng)作參數(shù)， 當(dāng)積分變量滿足 x的不等式組 0≤x≤1 被積函數(shù) fX(x)fY(zx)≠0. ,x＜ z時(shí)， 上一頁 下一頁 返回 當(dāng) z＜ 0時(shí)，上述不等式組無解，故 fX(x)fY(zx)=0. 當(dāng) 0≤z≤1時(shí)，不等式組的解為 0≤x≤ z＞ 1時(shí)，不等 式組的解為 0≤x≤ fZ（ z） = ()01()0e d 1 e , 0 1 ,e d e ( e 1 ) , 1 ,0 , .zz x zz x zxzxz? ? ?? ? ??? ? ? ???? ? ???????其 他下面針對(duì)參數(shù) z的不同取值范圍來計(jì)算積分 . 上一頁 下一頁 返回 上一頁 下一頁 返回 上一頁 下一頁 返回 ( 3 ) m a x ( , ) m in( , )M X Y N X Y?? 及 的 分 布上一頁 下一頁 返回 上一頁 下一頁 返回 例 7 設(shè) X,Y相互獨(dú)立 ,且都服從參數(shù)為 1的指數(shù)分布， 求 Z=max{X,Y}的密度函數(shù) . 解 設(shè) X,Y的分布函數(shù)為 F（ x） ,則 F（ x） = ?????? ?.0,0,0,1xxxe由于 Z的分布函數(shù)為 =［ F(z)］ 2 FZ(z)=P{Z≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z} 所以 ,Z的密度函數(shù)為 fZ（ z） = 2F(z)F′(z) = ?????? ??.0,0,0),1(2zzzz ee
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