[工學(xué)]最小二乘曲線擬合與參數(shù)辨識-資料下載頁
2024-12-07 23:37本頁面
【正文】 ?對任何秩為 的矩陣，存在排列陣 ，使得 的 前列 線性無關(guān)，從而由 ?知： r P APr11A P F G?1 ,mrFR ??其中 1 1 1, ( ) ( )rnG R ran k F ran k G r?? ? ?111A F G P?? FG?1 ,FF?其中 11 , ( ) ( )G G P ran k F ran k G r?? ? ?因此，對任何 階矩陣總存在 滿秩 分解 mn?712..Th nR? ?二乘 解 的充要條件是 為方程組 的解。 ?。 mnA x b A R ???是方程組 的 最小 TTA A x A b?證明： 充分性 設(shè) 是 的解 ?TTA A x A b?對 ， nyR??令 yz???22A y b?22()A z b?? ? ?22 2 () TA b Az A b Az??? ? ? ? ?22A b Az?? ? ?22 2 ()TTA b Az z A A b??? ? ? ? ?22( , )x x x?22Ab???必要性 12[ , , , ]Tn? ? ? ??設(shè) 是方程組的 最小二乘解 記 , r A x b?? 則 必使 達(dá)到 極小 . ?22r由極值的 必要 條件知： ?22r?0?22 0 1 2。 , , ,irinx?????即 22211()mnk j j kkjiira x bxx ??? ????????? ????112 ()mnk i k j j kkja a x b?????? 2 ()TA A x b??0()TA A b? ??稱 為方程組 的 法方程組 TTA A x A b? A x b?推論 若 ，則方程組有 ()ran kA n n m??唯一 的最小二乘解 . 1()TTA A A b? ??713..Th 。 mnA x b A R ???方程組 必存在 最小二乘解 。 證明： 記 0()r a n k A r?? 則存在 滿秩 分解 A F G?法 方程組可寫成： T T T TG F F Gx G F b?可以驗(yàn)證 11( ) ( )T T T Tx G GG F F F b???是 法 方程組的一個(gè)解，故是原方程組的一個(gè) 最小二乘解 推論 若 ，則方程組 r a n k A r n??有 無窮 多個(gè) 最小二乘解 。 A x b?2Def 方程組 的所有 最小二乘解 中 2范數(shù)最小 A x b?者 稱為方程組的 極小 最小二乘解 。 714..Th A x b?方程組 存在唯一的 極小 最小二乘解 , 且可以表示為 11( ) ( )T T T Tx G GG F F F b???其中 為 滿秩 分解 . A F G?證明： 由定理 ， 是一個(gè)最小二乘解。 x設(shè) 是方程組的 任一 最小二乘解，下證： ?22x ??0()TA A x?? ? ?0()TTG F F G x? ??0()TTGG F F G x? ?? 0()Gx?? ? ?TTA A A b? ?TTA A x A b?22 ()xx??? ? ?22 2 ( , )x x x x??? ? ? ? ?22xx ?? ? ?22x?0?唯一性易證 例 1： 求下列方程組的 最小二乘解 1 1 1x2x3x?4?2?36?0 1?12 34?4 47?1解： 34( ) ( , )rank A rank A b? ? ?TAA ?21 23277038?38?23 43?43? TAb ?26?4928?757887697x? ? GS法或 平方根 法 解： 例 2： 求一個(gè)形如 ( 為常數(shù) )的經(jīng)驗(yàn)公 式，使它能和下表給出的數(shù)據(jù)相擬合 : by ax? ( , )ab x y 65 61 54 50 對 兩邊取對數(shù)得 by ax? l n l n l ny a b x??l n , l n , l nY y X x c a? ? ?令 Y c b X? ? ? iXiY此時(shí) 12( ) 1 , ( )x x X?? ??寫出 法方程組 TTA A x A b?其中 1 1 2 11 2 2 21 3 2 31 4 2 4( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )XXXXAXXXX?????????????????????1 88 51 55 51 23 81 83 6?????????????12344 .1 7 4 44 .1 1 0 93 .9 8 9 03 .9 1 2 0YYbYY?? ???? ???? ?????? ???? ??????4 .0 4 .3 5 1 4 1 6 .1 8 6 34 .3 5 1 4 4 .9 4 6 7 1 7 .5 1 3 9cb? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?cb? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? 247 , 31ca e b? ? ?
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