【導(dǎo)讀】需要接收端作出估計(jì)的參量集合?數(shù)的隨機(jī)矢量，用來(lái)描述。??本章的核心問題之一就是研究上述函數(shù)的構(gòu)造方法，評(píng)估所構(gòu)造估計(jì)量的優(yōu)劣。c誤差平方代價(jià)函數(shù)。設(shè)被估計(jì)的單隨機(jī)變量的先驗(yàn)概率密度函數(shù)為???∞時(shí)，檢測(cè)就變成了估計(jì)。比如，在衰落信道y=hx+w的信號(hào)檢測(cè)中，經(jīng)常對(duì)信號(hào)。先進(jìn)行估計(jì)得到x的估計(jì)值x1，然后將其量化到信號(hào)星座上的某個(gè)點(diǎn)，即檢測(cè)值x2。令偏導(dǎo)為零來(lái)求得最佳的估計(jì)量??

　　

【正文】 ?b??貝葉斯估計(jì)量 是均方一致收斂估計(jì)量 信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 70 非隨機(jī)參量函數(shù)的 CRLB 設(shè) 非隨機(jī)參量 的函數(shù) ，其估計(jì)量 是 的任意無(wú)偏估計(jì)，則有 ?? ? ? ?? ?? ?? ??????????????????????????????222ln?????????xpEgEV a r或 ? ? ? ?? ?? ?? ?????????????????????2222ln?????????xpEgEV a r當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，上述兩式取等號(hào)。 ? ?? ? ? ????? ? kp ?ln ???? x克拉美 羅 不等式 克拉美 羅不等式取等號(hào)的條件 ? ??? g? ?? ?信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 71 例 3 同例 1。 求 的無(wú)偏性和有效性，并求估計(jì)的均方誤差。 ?? b? ml??信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 72 解 ? ? ? ? ? ????? ???????? ???? Nk nknNkkxxpp12221 2e x p21??????x由于 易知 ??? Nkkml xN11??根據(jù)最大似然估計(jì)的不變性，得到 ???? Nkkmlml xNbb1?? ??? ? ?? bxNbEE Nkkml ???????? ?? 1? ?? 的無(wú)偏估計(jì)量是 ?? ml?信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 73 ? ? ? ? ? ????? ???????? ???? Nk nknNkkxxpp12221 2e x p21??????x? ?? ??????????????? ?????? ??Nk nkxp 1 222ln x? ?? ?? ???????????????????222ln??????xpEbarV ml的有效估計(jì)量是 ?? ml?? ????? Nkknx121 ?????????? ??????? ?? ??21 nNkk bNxNbb??? ?kml?? ???22nNb?? Nb n22??信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 74 LMMSE估計(jì) Model MMSE、 MAP估計(jì)：需要后驗(yàn)概率信息 ML估計(jì)：需要先驗(yàn)概率信息 若僅已知前二階距信息：觀測(cè)信號(hào)和被估計(jì)隨機(jī)矢量的均值矢量、協(xié)方差矩陣和互協(xié)方差矩陣。 采用 LMMSE估計(jì) ? ?p ? x? ?p ?x??xH θ n信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 75 LMMSE估計(jì)準(zhǔn)則 線性最小均方誤差估計(jì)準(zhǔn)則 首先，構(gòu)造的估計(jì)矢量 是觀測(cè)矢量 x的線性函數(shù)，即： 同時(shí)要求估計(jì)矢量的均方誤差最小，即為 最小，式中 表示矩陣的跡。 所以，線性最小均方誤差估計(jì)的估計(jì)規(guī)則，就是把估計(jì)量構(gòu)造成觀測(cè)量的線性函數(shù)，同時(shí)要求估計(jì)量的均方誤差最小。 ? ??a Bx?2? ? ? ? ?[ ( ) ( ) ] { [ ( ) ( ) ] }TTE T r E? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???()Tr?信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 76 LMMSE估計(jì)構(gòu)造 2? ? ? ? ?[ ( ) ( ) ] { [ ( ) ( ) ] }TTE T r E? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?BxaθBxaθθθθθ ??????????? ?? TT EE ??? ? ? ? ? ? ? ?? ?TTEE?? ??? ? ? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ?? ??????θ θ θ θ θ a B x θ a B xaa? ?? ?Bxaθ ???? E2 ? ?θx μBa ??? ?2令 0??? ? ? ? ? ?x θ θ xaB μ a μ B信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 77 LMMSE估計(jì)構(gòu)造 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?2 2 2TTTTTT T T TTT T T TT T TEETrETrEEBE E E??? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ????????? ? ? ? ?????? ???????????? ? ? ? ? ? ? ?????? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?θ θ θ θθ a B x θ a B xBBθ a B x θ a B xBθ a θ a θ a x B B x θ a B xx BBθ ax θ a x xx xxa x B xx θ x信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 78 LMMSE估計(jì)構(gòu)造 Lemma ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?trtr trtr TTTTTTTdddddddd??????XAAXAXXX AXA A XXXAXX A AX信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 79 LMMSE估計(jì)構(gòu)造 ? ?? ? ? ?12 2 22200T T TT T T TxxxxE E EE E E EBC CB C C????????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ??θ xθ xx θa μ Bμ B x B xx θ xB xx x θ x μ x注意到 信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 80 LMMSE估計(jì)構(gòu)造 解得 1?? xθx CCBxxθxθxθ CCμBμa ?? 1?????所以 xCCCCμBxaθ xθxxxθxθ 11? ?? ????? ?l m s e? ?xxθxθ xCCμ ???? ? 1信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 81 LMMSE估計(jì)的物理解釋 ? ?1? l m s e ??? ? ?θ θ x x xθ μ C C x均值（先驗(yàn)） 新息（觀測(cè)提供的信息） ? ?1 1 / 2???? ? ? ? ?θ x x x θC C x C θ1 / 2? ? ? ? ?xxx x u C x1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 1? ? ?? ? ? ? ? ? ?θ θ θ θ xx θ xxθ C θ C C C C x C C x? ?11? l m s e ???? ? ? ? ? ? ? ? ?θ θ θ xx θ θ x x xθ μ θ μ C C x μ C C x? ?? ? ? ?? ?? ?1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 21 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1C ov ,C ov ,V a r V a rC ov ,? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?θ x θ θ xxθ θ x x x θ θ xxθ xθ x θ xxθ xC θ C x x C C C xC C C C x C C C x觀測(cè)量的信息 參量的信息 信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 82 LMMSE估計(jì)的性質(zhì) (1) 估計(jì)矢量是觀測(cè)矢量的線性函數(shù) (2) 線性最小均方誤差估計(jì)矢量是無(wú)偏估計(jì) lmseθ? ? ?xxθxθ xCCμ ????? 1?lmseE ????θ ? ?? ?xxθxθ xCCμ ???? ? 1E? ?? ?xxθxθ xCCμ ???? ? E1 θμ?lmseθ?所以 是 無(wú)偏估計(jì) θ ? ?? ?? ? ? ?? ?? ??111 1 1 11|? ?( ) ( )lm s eTlm s e lm s eTTTTxxxxMEEC C C CC?? ? ? ????????? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?θ θ x x x θ θ x x xθ x x x x θ xx θ xxθ θ xx θ θ xμ C C x μ C C xC C C C C C C CC C C C C????Recall ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??| | ,x H I x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 83 LMMSE估計(jì)的性質(zhì) (3)估計(jì)的誤差矢量與觀測(cè)矢量的正交性 被估計(jì)矢量 與觀測(cè)矢量 x是正交的，即 與線性最小均方誤差估計(jì)矢量 之間的誤差矢量 θlmseθ?lm seθθθ ?~ ??? ?? 0Tlm s eE ??????θ θ x ??lmse? ?lm se???x信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 84 LMMSE估計(jì)的性質(zhì) ? ?? 0Tlm s eE ?????? xθ θ μlmseθ?由于 是 無(wú)偏估計(jì) θ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?111? ?0T T Tl m se l m seTTTTEEEEE???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????xθ θ x x x xθ x θ x x x xθ x θ x x xθ θ x θ θ x μθ μ C C x μ x μθ μ x μ C C x μ x μC C C C信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 85 LMMSE估計(jì)的性質(zhì) (4)最小均方誤差估計(jì)與線性最小均方誤差估計(jì)的關(guān)系 當(dāng)觀測(cè)矢量與被估計(jì)矢量是聯(lián)合高斯分布時(shí)，最小均方誤差估計(jì)與線性最小均方誤差估計(jì)兩者相同 隨機(jī)矢量的最小均方誤差估計(jì)矢量可以是觀測(cè)矢量的非線性函數(shù)，而線性最小均方誤差估計(jì)的估計(jì)矢量一定是觀測(cè)矢量的線性函數(shù)。 信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 86 例 設(shè) M維被估計(jì)隨機(jī)矢量的均值矢量和協(xié)方差矩陣分別為 和 ， 觀測(cè)方程為 求 的線性最小均方誤差估計(jì)矢量 和估計(jì)矢量的均方誤差陣 且已知 θμ θCnHθx ??? ? 0?nE ? ? nCnn ?TE 0TE ?????θnθ lmsθ?lmsθM?lmseθ? ? ?xxθxθ μxCCμ ???? 1? ? ? ?nH θxμ x ??? EE θHμ?? ? ? ? TE ??? ? ???x x xCx μ x μ解： 由 信號(hào)檢測(cè)與估值 2017年春季 87 ? ? ? ?? ? ? ?TTTEE??? ? ?????? ? ? ? ?????x