固定收益證券3-資料下載頁
2025-10-09 12:45本頁面
【正文】 D*=D/(1+y)為“修正久期”。式（ 43’ ）表明，債券價(jià)格變化的百分比恰好等于修正久期與債券到期收益率變化的乘積。因此，修正久期可以用來測度債券在利率變化時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)暴露程度。 ?思考：在上面的例子中， 2年期息票債券的久期為 。如果有期限為 零息票債券，兩者的利率敏感性是否相同？ *P DyP? ? ? ? ? 什么決定久期 影響利率敏感性的因素包括到期期限、息票利率和到期收益率。以下的 8個(gè)法則歸納了久期與這三個(gè)因素之間的關(guān)系。圖 42表明了這些法則。 久期法則 1：零息票債券的久期等于它的到期時(shí)間。 久期法則 2：到期日相同時(shí)，債券的久期隨著息票利率的降低而延長。 久期法則 3：當(dāng)息票利率相同時(shí)，債券的久期通常隨著債券到期期限的增加而增加，但久期的增加速度慢于到期期限的增加速度。 久期法則 4：在其他因素都不變，債券的到期收益率較低時(shí)，息票債券的久期較長。 久期法則 5：無限期債券的久期 為 。 久期法則 6：穩(wěn)定年金的久期由下式給出： 這里 ， T為支付次數(shù)， y是每個(gè)支付期的年金收益率。 1 yy?1(1 ) 1TyTyy? ??? 久期法則 7：息票債券的久期等于 這里 ， c為每個(gè)支付期的息票利率， T為支付次數(shù)， y是每個(gè)支付期的年金收益率。 久期法則 8：當(dāng)息票債券以面值出售時(shí)，法則 7可簡化為 1 1 ( )[ ( 1 ) 1 ]Ty y T c yy c y y? ? ? ??? ? ?11[1 ](1 ) Tyyy? ?? ? 債券的凸度 ? 久期的局限性 根據(jù)式（ 43’ ），債券價(jià)格變化的百分比作為到期收益率變化的函數(shù)，其圖形是一條斜率為 D*的直線。因此，當(dāng)債券收益變化時(shí)，可以這條直線對(duì)新產(chǎn)生的價(jià)格進(jìn)行估計(jì)。 例如，圖 43中的債券 A為 30年期、 8％息票利率、初始到期收益率 8％的債券，可知其初始修正久期為 。所以，當(dāng)收益上升1個(gè)基點(diǎn)時(shí)，債券價(jià)格將下跌 ＝，即 ％。也就是說，根據(jù)修正久期，可以估計(jì)債券價(jià)格將跌至 。而根據(jù)式（ 21）可以計(jì)算出此時(shí)的價(jià)格為。 然而，從圖 41以及關(guān)于債券價(jià)格的利率敏感性的 6條法則可以看到，債券價(jià)格變化的百分比與收益變化之間的關(guān)系并不是線性的，這使得對(duì)于債券收益的較大變化，利用久期對(duì)利率敏感性的測度將產(chǎn)生明顯的誤差。圖 43表明了這一點(diǎn)。債券 A和債券 B在初始處有相同的久期，相應(yīng)的兩條曲線在這一點(diǎn)相切，同時(shí)也與久期法則預(yù)期的價(jià)格變化百分比的直線相切于該點(diǎn)。這說明，對(duì)于債券收益的微小變化，久期可以給出利率敏感性的精確測度。但隨著收益變化程度的增加，對(duì)應(yīng)于債券 A和債券 B的兩條曲線與久期近似直線之間的“間隔”不斷擴(kuò)大，表明久期法則越來越不準(zhǔn)確。 從圖 43還可以看到，久期近似值總是在債券實(shí)際價(jià)格的下方。也就是說，當(dāng)收益率下降時(shí)，它低估債券價(jià)格的增長程度，當(dāng)收益率上升時(shí)，它高估債券價(jià)格的下跌程度。 債券 A和債券 B在初始處有相同的久期，但它們只是對(duì)較小的收益變化的敏感程度相同。對(duì)于較大的收益變化，債券 A比債券 B有更大的價(jià)格增長或更小的價(jià)格下跌。這是因?yàn)閭?A比債券 B具有更大的凸度。 ? 債券凸度的計(jì)算 價(jià)格 收益曲線的曲率就稱為債券的凸度（ convexity）。 凸度意味著債券的價(jià)格 收益曲線的斜率隨著收益率而變化：在較高收益率時(shí)變得平緩，即斜率是較小的負(fù)值；在較低收益率時(shí)變得陡峭，即斜率是較大的負(fù)值。 因此，凸度實(shí)際上是價(jià)格 收益曲線斜率的變化率。由式（ 43’ ）可以得 可見， D*是當(dāng)前價(jià)格下的價(jià)格 收益曲線的斜率。凸度定義為 。 1* dPDP d y??221 dPP dy? 由此定義，可得 付息周期數(shù)為 n，周期收益率為 y的債券的凸度計(jì)算公式如下： 其中， Ct為 t時(shí)刻的現(xiàn)金支付。 利用下面的公式可把分期限計(jì)算的凸度轉(zhuǎn)化為按年計(jì)算的凸度： 其中 m為每年的付息次數(shù)。 對(duì)于零息票債券，有 21( 1 )1( 1 ) ( 1 )ntttt t CP y y??????凸度2m?凸度( 分期限算)凸度( 按年算)2( 1 )( 1 )nny???零息票債券凸度 ? 考慮凸度的利率敏感性 考慮凸度后，式（ 43’）可以修正為： （ 44） 由式（ 44）可知，對(duì)于有一正的凸度的債券（不含期權(quán)的債券都有正的凸度），無論收益率是上升還是下降，第二項(xiàng)總是正的。這就解釋了 久期近似值為什么在收益率下降時(shí)低估債券價(jià)格的增長程度，而在收益率上升時(shí)高估債券價(jià)格的下跌程度。 21* ( )2P D y yP? ? ? ? ? ? ? ?凸
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