矩陣可對角化的判定條件及應用畢業(yè)論文-資料下載頁
2025-09-28 08:17本頁面
【導讀】給出了矩陣可對角化的一些方法，并進一步介紹了可對角化矩陣在其他方面的一些應用。角化對可對角化矩陣的計算有重要意義.素可以為0或其他值.因此n行n列的矩陣nnjiaA??)(,若符合以下性質：。定義1設A是n階方陣,如果存在數(shù)?和n維非零向量X,使得。相似,B稱為A的相似矩陣.)(,是數(shù)域K上的n階方陣.稱A在數(shù)域K上可對角化，如果在。因為相似矩陣有相同的特征根，所以n???，且向量組nPPP,...,,21線性無關，由定?？臻g的維數(shù)之和等于n.部復根都屬于K，并且A的每個特征值的幾何重數(shù)等于它的代數(shù)重數(shù).
【正文】 ?????????211101012211, 321 ，）（ PPP , 由 |P|=1? 0 知矩陣 A 有 3 個線性無關的特征向量，所以 ??? APP 1 ，則 A= 1??PP =1101012211211101012211 ????????????????????????????????? = .011010223111432211211101012211???????????????????????????????????????????????? 判斷矩陣是否相似 已知 n 級矩陣 A 和 B ，存在可逆矩陣 P 使得 BAPP ??1 ，則 A 與 B 相似 . 例 設 n級方陣 A 的 n 個特征值互異，又設 n 級方陣 B 與 A 有相同的特征值，證明： A ~B . 證明：因 n 級方陣 A 的 n 個特征值互異，設為 n??? ,..., 21 ，于是存在可逆矩陣 1P 使得 ).,...,( 21111 ndiagAPP ????? 又 n??? ,..., 21 也是 B 的特征值，從而有可逆矩陣 2P 使得 ).,...,( 21212 nd ia gBPP ????? 因此 212111 BPPAPP ?? ? ，即 BPAPPP ??? 121112 ，令121 ?? PPP ，則 P 可逆且 BAPP ??1 ，故 A ~B . 在向量空間中的應用 例 設 V 是 n 維列向量空間， A 是 n 階復矩陣， ? 是任意復數(shù)，令})(|V{1 ??? AIW ??? ， }0)(|{2 ???? ??? AIVW ， 則若 A 相似于對角矩陣，有 }0{21 ?IWW . 證明：對任意 210 IWWX ? ，有 ?? )(0 AIX ?? 和 0)( 0 ?? XAI? ，所以 0)( 2 ?? ?? AI . 又因為 A 相似于對角矩陣， 0)( 0 ?? XAI? 與 0)( 2 ?? ?? AI 的解空間相同，所以 ?? 2)(0 AI ?? ， 0)(0 XAI ??? ?? ，所以 }0{21 ?IWW . 在微分方程中的應用 設 x = )(tx =??????????????)()()(21txtxtxn? ，稱??????????????????dtdxdtdxdtdxn?21為向量 )(tx 的導數(shù)，記為 ??????????????????????????????????39。39。39。39。 2121nn xxxxdtdxdtdxdtdxxdtd??，或. 由導數(shù)的運算法則可知 ,)(,39。)39。( xdtdPPxdtdPxPx ?? 或其中 P 為 n 階方陣 . 參考文獻： [1]丘維聲 . 高等代數(shù) —— 大學高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材 [M]，北京：清華大學出版社， 2020. [2]全國化工石化系統(tǒng)高校數(shù)學協(xié)作組 . 線性代數(shù) [M]，北京：化學工業(yè)出版社，2020. [3]鄭昌明，程偉，魏家林 . 實用線性代數(shù) [M]，北京：中國人民大學出版社， 2020. [4]劉仲奎， 楊永保 ， 程輝 ， 陳祥恩 . 高等代數(shù) [M]，北京：高等教育出版社， 2020. [5]郭亞梅 . 最小多項式與矩陣的對角化 [J]，河南：河南機電高等?？茖W校學報，. 說 明 ： 1. 成績評定均 采用五 級分制，即 優(yōu)、良、中、及格、不及格。 2. 評語內容包括：學術價值、實際意義、達到水平、學術觀點及論證有無錯誤等。 指導教師預評評語 指導教師 職稱 預評成績 年 月 日 答辯小組評審意見 答辯小組評定成績 答辯 委員 會終 評意 見 答辯委員會終評成績 答辯小組組長（簽字）： 年 月 日 答辯委員會主任（簽章）： 年 月 日
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