高等代數(shù)--第四章矩陣的對(duì)角化-資料下載頁
2024-10-16 06:33本頁面
【正文】 ?? ?1 , , ,ii i k??3）因?yàn)? 兩兩不同，所以根據(jù)這一 節(jié)定理 10，向量組 還是兩兩正交的 . 它們的個(gè)數(shù)等于矩陣的階數(shù) n. 就這樣，正交矩陣 T也就求出了。 rrkrk ???? ,, 1111 1 ???r?? ,1 ?? 例 對(duì)稱矩陣： ? 求正交矩陣 T使 成對(duì)角形 。 ???????????????????0111101111011110A1T A T?? 解 先求 A的特征值。由 ? 求屬于 1的線性無關(guān)的特征向量 )3()1(111110010101110111111111111||32?????????????????????????????????????? AE ? 正交化得 ? 單位化得 )1,31,31,31()0,1,21,21()0,0,1,1(321????????)1,0,0,1()0,1,0,1()0,0,1,1(321???????)123,121,121,121()0,62,61,61()0,0,21,21(321????????屬于 3的線性無關(guān)的特征向量為 )1,1,1,1(4 ????? 單位化得 ? 則正交矩陣 )21,21,21,21(4 ???????????????????????????????211230021121620211216121211216121T? 使 11113T A T???????????????? 例 求一正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形： ? 解 ：二次型的矩陣 ? f x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?12 22 32 1 2 1 3 2 34 4 4 4 8A ??? ????????????1 2 22 4 42 4 4? A的特征多項(xiàng)式為 ? ? A的特征值是 。 | | ( ),A E? ?? ?? ? ?? ?? ? ?????? ?1 2 22 4 42 4 492? ? ?1 2 30 9? ? ?,? 對(duì)于 , ? ? 從而可取兩相互正交的特征向量 ? ?1 2 0? ? ,A E? ??? ?????????????????????????1 2 22 4 42 4 41 2 20 0 00 0 0p1011???????????p2411????????????? 對(duì)于 ? 取特征向量 ? 將上述相互正交的特征向量單位化，得 ? 3 9?A E? ?? ?? ? ?????????????? ?? ????????????8 2 22 5 42 4 52 4 50 9 90 0 0p3122? ??????????? ? 則在正交線性替換 ?101212????????????????????243 213 213 2?????????????????????3132323? ????????????????? ? 將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型 239 yf ?xxxyyy123123043 2131213 2231213 223??????????? ??????????????????????????????BACK 若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形介紹 ? 若爾當(dāng)塊 ? 若爾當(dāng)形矩陣 ? 矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 ? 根據(jù)特征值、特征向量寫出矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 若爾當(dāng)塊 ? 定義 10 設(shè) 為一復(fù)數(shù)，則 0? 00000111J??????????????????? 稱為若爾當(dāng)塊 認(rèn)識(shí)下列若爾當(dāng)塊 ? ?42102??????100100iii?????????????0 1 0 00 0 1 00 0 0 10000????????????結(jié)論 : 對(duì)于一個(gè)若爾當(dāng)塊 00000111kkJ???????????????????? 是它的 k 重特征值，對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征 向量只有一個(gè) 0?? ?1 , 0 , , 0 T? ?若爾當(dāng)形矩陣 若爾當(dāng)形矩陣：由若干個(gè)若爾當(dāng)塊組成的 準(zhǔn)對(duì)角矩陣 . 例如 2 1 0 0 0 00 2 0 0 0 00 0 4 0 0 00 0 0 1 00 0 0 0 10 0 0 0 0Jiii????????? ??????? ??????2 0 0 00 4 0 00 0 00 0 0 0i???????? ?????1T A T J? ?定理 12： 即存在 n 階可逆矩陣 , 使得 這個(gè)若爾當(dāng)形矩陣 J 除去其中若爾當(dāng)塊的 排列次序不計(jì)外 , 是被矩陣 A 唯一確定的 ,稱 J 為矩陣 A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 任一 n階復(fù)矩陣 A都與一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣 J相似 1234????????????例如 任意一個(gè) 4 階復(fù)矩陣 A一定與 下列若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形之一相似 矩陣 A有四個(gè)線性無關(guān)的特征向量 , 11231????????????????矩陣 A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量 , 1122101????????????????111211????????????????矩陣 A有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量 , 矩陣 A有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量 , 1111111???????????????
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