【正文】 模型 ???? ????? kk XXY ?110?????? ??????? ???? qkqkkkkk XXXXY ?? 11110(*) (**) (*)式可看成是（ **）式的 受約束回歸 ： H0： 021 ???? ??? qkkk ??? ?相應(yīng)的 Ｆ 統(tǒng)計(jì)量為 ： ))1(,(~))1(/(/)())1(/(/)(?????????????qknqFqknR S SqE S SE S SqknR S SqR S SR S SFURUUUR Ｆ 統(tǒng)計(jì)量的另一個(gè)等價(jià)式 ))1(/()1(/)(222??????qknRqRRFURU 如果約束條件為真，即額外的變量 Xk+1, …, Xk+q對(duì)Ｙ?zèng)]有解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計(jì)量較小； 否則，約束條件為假，意味著額外的變量對(duì)Ｙ有較強(qiáng)的解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計(jì)量較大。 因此，可通過(guò) F的 計(jì)算值 與 臨界值 的比較，來(lái)判斷額外變量是否應(yīng)包括在模型中。 討論： 三、參數(shù)的穩(wěn)定性 鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn) 建立模型時(shí)往往希望模型的參數(shù)是穩(wěn)定的，即所謂的 結(jié)構(gòu)不變 ，這將提高模型的預(yù)測(cè)與分析功能。 如何檢驗(yàn)？ 假設(shè) 需要建立的模型 為 ???? ????? kk XXY ?110在兩個(gè)連續(xù)的時(shí)間序列 （ 1,2,… ， n1） 與 （ n1+1,… ，n1+n2） 中 ， 相應(yīng)的模型分別為： 1110 ???? ????? kk XXY ?2110 ???? ????? kk XXY ? 合并兩個(gè)時(shí)間序列為 ( 1,2,… ， n1 ， n1+1,… ， n1+n2 )，則可寫(xiě)出如下 無(wú)約束回 歸模型 ??????????????????????????????????212121μμαβX00XYY 如果 ?=?，表示沒(méi)有發(fā)生結(jié)構(gòu)變化，因此可針對(duì)如下假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)： H0: ?=? (*)式施加上述約束后變換為 受約束 回歸模型 (*) ??????????????????????????212121μμβXXYY （ **） 因此，檢驗(yàn)的 F統(tǒng)計(jì)量為： )]1(2,[~)]1(2/[ /)( 2121???????? knnkFknnR SS kR SSR SSFUUR 記 RSS1與 RSS2為在兩時(shí)間段上分別回歸后所得的殘差平方和，容易驗(yàn)證， 21 R S SR S SR S S U ??于是 )]1(2,[~)]1(2/[)( /)]([ 21212121 ?????????? knnkFknnR SSR SSkR SSR SSR SSF R參數(shù)穩(wěn)定性的檢驗(yàn)步驟： （ 1）分別以兩連續(xù)時(shí)間序列作為兩個(gè)樣本進(jìn)行回歸，得到相應(yīng)的殘差平方： RSS1與RSS2 （ 2）將兩序列并為一個(gè)大樣本后進(jìn)行回歸，得到大樣本下的殘差平方和 RSSR （ 3） 計(jì)算 F統(tǒng)計(jì)量的值，與臨界值比較 ： 若 F值 大于 臨界值 ， 則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化，參數(shù)是非穩(wěn)定 的。 該檢驗(yàn)也被稱為 鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)（ Chow test for parameter stability）。 鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn) 上述參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)要求 n2k。 如果出現(xiàn) n2k ，則往往進(jìn)行如下的 鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn) （ Chow test for predictive failure）。 鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn)的基本思想 : 先用前一時(shí)間段 n1個(gè)樣本估計(jì)原模型，再用估計(jì)出的參數(shù)進(jìn)行后一時(shí)間段 n2個(gè)樣本的預(yù)測(cè)。 如果預(yù)測(cè)誤差較大，則說(shuō)明參數(shù)發(fā)生了變化，否則說(shuō)明參數(shù)是穩(wěn)定的。 分別以 ?、 ? 表示第一與第二時(shí)間段的參數(shù)，則 : 22222222111μγβXμβ)( αXβXμαXYμβXY???????????其中， )( βαXγ 2 ?? (*) 如果 ? =0，則 ? = ?， 表明參數(shù)在估計(jì)期與預(yù)測(cè)期相同 (*)的矩陣式： ??????????????????????????????????21n2121μμγβIX0XYY2 可見(jiàn)，用前 n1個(gè)樣本估計(jì)可得前 k個(gè)參數(shù) ?的估計(jì)，而 ?是用后 n2個(gè)樣本測(cè)算的預(yù)測(cè)誤差X2(? ?) (**) 如果參數(shù)沒(méi)有發(fā)生變化，則 ?=0， 矩陣式簡(jiǎn)化為 ??????????????????????????212121μμβXXYY (***) （ ***）式與（ **）式 ??????????????????????????????????21n2121μμγβIX0XYY2)1/(/)()1/()/()(1121?????????knR SSnR SSR SSknR SSkkR SSR SSF RUURUUR這里： KU KR=n2 RSSU=RSS1 分別可看成 受約束 與 無(wú)約束 回歸模型 ， 于是有如下 F檢驗(yàn)： 第一步 ， 在兩時(shí)間段的合成大樣本下做 OLS回歸 ，得受約束模型的殘差平方和 RSSR ； 第二步 ， 對(duì)前一時(shí)間段的 n1個(gè)子樣做 OLS回歸 ， 得殘差平方和 RSS1 ； 第三步 ， 計(jì)算檢驗(yàn)的 F統(tǒng)計(jì)量 ， 做出判斷： 鄒氏預(yù)測(cè) 檢驗(yàn)步驟： 給定顯著性水平 ?， 查 F分布表 ， 得臨界值F?(n2, n1k1)， 如果 FF(n2, n1k1) ， 則拒絕原假設(shè) ， 認(rèn)為預(yù)測(cè)期發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化 。 例 中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品人均消費(fèi)需求的鄒氏檢驗(yàn)。 參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn) 1981~1994： )l n ()l n ()l n ()?l n ( 01 PPXQ ???? RSS1= 1995~2021： 01 PPXQ ???? () () () () 1981~2021: 01 PPXQ ???? () () () () )821/()( 4/)]([ ??? ???F給定 ?=5%，查表得臨界值 (4, 13)= 結(jié)論 ： F值 臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)，表明中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品人均消費(fèi)需求在 1994年前后發(fā)生了顯著變化。 鄒氏預(yù)測(cè) 檢驗(yàn) )1314/(00 324 7/)00 324 378 ( ?????F給定 ?=5%，查表得臨界值 (7, 10)= 結(jié)論 ： F值 臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè) *四、非線性約束 也可對(duì)模型參數(shù)施加 非線性約束 ,如對(duì)模型 ????? ?????? kk XXXY ?22110 施加非線性約束 ?1?2=1,得到 受約束回歸模型 : *211101 ????? ?????? kk XXXY ? 該模型必須采用 非線性最小二乘法（ nonlinear least squares）進(jìn)行估計(jì)。 非線性約束檢驗(yàn) 是建立在 最大似然原理基礎(chǔ)上的 ,有 最大似然比檢驗(yàn) 、 沃爾德檢驗(yàn) 與拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn) . 最大似然比檢驗(yàn) (likelihood ratio test, LR) 估計(jì) :無(wú)約束回歸模型與受約束回歸模型， 方法 :最大似然法， 檢驗(yàn) :兩個(gè)似然函數(shù)的值的差異是否 “ 足夠 ” 大。 記 L(?,?2)為一似然函數(shù) : 無(wú)約束回歸 : Max: )?,?( 2?βL受約束回歸 : Max: )~,~( 2?βL約束 ： g(?)=0 或 求極值： )(),( 2 βλβ gL ???? ? g(?):以各約束條件為元素的列向量 , ?’：以相應(yīng)拉格朗日乘數(shù)為元素的行向量 受約束 的函數(shù)值不會(huì)超過(guò) 無(wú)約束 的函數(shù)值 ，但如果 約束條件為真 ，則兩個(gè)函數(shù)值就非常 “ 接近 ” 。 ? ? ? ?22 ??~~ ?? ，L，L ββ 由此，定義 似然比 （ likelihood ratio） : 如果 比值很小， 說(shuō)明 兩似然函數(shù)值差距較大，則應(yīng) 拒絕 約束條件為真的假設(shè)； 如果 比值接近于１， 說(shuō)明 兩似然函數(shù)值很接近，應(yīng) 接受 約束條件為真的假設(shè)。 具體檢驗(yàn) 時(shí)，由于大樣本下： )(~)]?,?(ln)~,~([ l n2 222 hLLLR ??? ββ ???h是約束條件的個(gè)數(shù)。因此： 通過(guò) LR統(tǒng)計(jì)量的 ?2分布特性來(lái)進(jìn)行判斷。 在 中國(guó)城鎮(zhèn)居民人均食品消費(fèi)需求例 中，對(duì) 零階齊次性 的檢驗(yàn)： LR= 2()= 給出 ?=5%、查得 臨界值 ?(1)＝ ， LR ?(1),不拒絕原約束的假設(shè) ， 結(jié)論 :中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求函數(shù)滿足零階齊次性條件 。 ２、沃爾德檢驗(yàn) （ Wald test, W） 沃爾德檢驗(yàn)中，只須估計(jì)無(wú)約束模型。如對(duì) ????? ?????? kk XXXY ?22110 在所有古典假設(shè)都成立的條件下，容易證明 ),(~?? 2 ??2121 21 ??????? ??? N因此，在 ?1+?2=1的約束條件下 : )1,0(~1??21 ??21 Nz?????????記 )(~~ 22?? 21 Xf?? ?? ??可建立 沃爾德統(tǒng)計(jì)量 : )1(~~ )1??( 22??22121?? ???? ????W 如果有 h個(gè)約束條件，可得到 h個(gè)統(tǒng)計(jì)量z1,z2,… ,zh 約束條件為真時(shí)，可建立 大樣本 下的服從自由度為 h的漸近 ?2 分布統(tǒng)計(jì)量 : )(~ 2 hW ?ZCZ 1??? 其中， Z為以 zi為元素的列向量， C是 Z的方差 協(xié)方差矩陣。因此， W從總體上測(cè)量了無(wú)約束回歸不滿足約束條件的程度。 對(duì) 非線性約束 ，沃爾德統(tǒng)計(jì)量 W的算法描述要復(fù)雜得多。 拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn) 拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)則只需估計(jì) 受約束 模型 . 受約束回歸是求最大似然法的極值問(wèn)題 : )(),( 2 βλβ gL ???? ? ?’是拉格朗日乘數(shù)行向量，衡量各約束條件對(duì)最大似然函數(shù)值的影響程度。 如果某一約束為真，則該約束條件對(duì)最大似然函數(shù)值的影響很小，于是，相應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)的值應(yīng)接近于零。 因此，拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)就是檢驗(yàn)?zāi)承├窭嗜粘藬?shù)的值是否“足夠大”，如果“足夠大”，則拒絕約束條件為真的假設(shè)。 拉格朗日統(tǒng)計(jì)量 LM本身是一個(gè)關(guān)于拉格朗日乘數(shù)的復(fù)雜的函數(shù) ， 在各約束條件為真的情況下 ， 服從一自由度恰為約束條件個(gè)數(shù)的漸近 ?2分布 。 2nRLM ? 同樣地，如果為線性約束， LM服從一精確的 ?2分布： (*) n為樣本容量， R2為如下被稱為 輔助回歸（ auxiliary regression）的可決系數(shù) : kkR XXXe ???? ????? 22110 ????? ? 如果約束是非線性的，輔助回歸方程的估計(jì)比較復(fù)雜，但仍可按（ *）式計(jì)算 LM統(tǒng)計(jì)量的值。 最后，一般地有 :LM≤LR≤W