【正文】 21212111x???????????????k??????? 21?β 在離差形式下，參數(shù)的最小二乘估計結(jié)果為 kk XXY ??? ??? 110 ???? ?y x x x β ? ? ? ? 1 ) ( ? ?隨機誤差項 ?的方差 ?的無偏估計 可以證明，隨機誤差項 ?的方差的無偏估計量為： 11?22??????? ?knkne i ee? *二、最大或然估計 ? 對于多元線性回歸模型 ikikiii XXXY ????? ????????? 22110易知 ),(~ 2?βX iNY i? Y的隨機抽取的 n組樣本觀測值的聯(lián)合概率 )?()?(21))????((212122222211022)2(1)2(1),(),?(βXYβXYβ?????????????????????????eeYYYPLnXXXYnnnkikiiin??? 對數(shù)或然函數(shù)為 )?()?(21)2()( 2*βXYβXY ?????????n L nLLnL對對數(shù)或然函數(shù)求極大值，也就是對 )?()?( βXYβXY ???求極小值。 樣本回歸函數(shù) 的 矩陣表達 : βXY ?? ? 或 eβXY ?? ?其中 ： ???????????????k??????? 10?β???????????????neee?21e二、多元線性回歸模型的基本假定 假設(shè) 1，解釋變量是非隨機的或固定的，且各X之間互不相關(guān)（無多重共線性）。 多元線性回歸模型 一、多元線性回歸模型 二、多元線性回歸模型的基本假定 一、多元線性回歸模型 多元線性回歸模型 :表現(xiàn)在線性回歸模型中的解釋變量有多個。于是： 模型中解釋變量的數(shù)目為（ k+1） 總體回歸模型 n個隨機方程的 矩陣表達式 為 : μX βY ??其中 : ?j也被稱為 偏回歸系數(shù) ， 表示在其他解釋變量保持不變的情況下， X j每變化 1個單位時， Y的均值 E(Y)的變化 (j=1,2, …,k) 。 多元線性回歸模型的估計 一、普通最小二乘估計 *二、最大或然估計 *三、矩估計 四、參數(shù)估計量的性質(zhì) 五、樣本容量問題 六、估計實例 說 明 估計方法： 3大類方法： OLS、 ML或者 MM – 在經(jīng)典模型中多應(yīng)用 OLS – 在非經(jīng)典模型中多應(yīng)用 ML或者 MM – 在本節(jié)中， ML與 MM為選學(xué)內(nèi)容 一、普通最小二乘估計 ? 對于隨機抽取的 n組觀測值 kjniXY jii ?? ,2,1,0,2,1),( ??如果 樣本函數(shù) 的參數(shù)估計值已經(jīng)得到，則有 ： Kikiiii XXXY ???? ????? 22110 ????? ?i=1,2…n ? 根據(jù) 最小二乘原理 ，參數(shù)估計值應(yīng)該是右列方程組的解 ?????????????????0?0?0?0?210k?????????????其中 2112 )?(???????niiinii YYeQ2122110 ))????((???????? nikikiii XXXY ???? ?? 于是得到關(guān)于待估參數(shù)估計值的 正規(guī)方程組 ： ?????????????????????????????????????kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiiXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXX)????()????()????()????(221102222110112211022110????????????????????? 解該（ k+1） 個方程組成的線性代數(shù)方程組，即 可得到 (k+1) 個待估參數(shù)的估計值 $ , , , , , ? j j ? 0 1 2 ? 。 ??解此正規(guī)方程組即得參數(shù)的 MM估計量。 線性性 CYYXXXβ ???? ? 1)(?其中 ,C=(X’X)1 X’ 為一僅與固定的 X有關(guān)的矩陣。 這就給人 一個錯覺 ： 要使得模型擬合得好，只要增加解釋變量即可 。 因此 ,可通過該比值的大小對總體線性關(guān)系進行推斷 。 t統(tǒng)計量 由于 12 )()?( ??? XXβ ?C o v 其中 ?2為隨機誤差項的方差，在實際計算時，用它的估計量代替 : 11?22????????knkne i ee?i+1,i+1 i c Var 2 ) ? ( ? ? ? ki , . . . ,1,0?則設(shè)（ ,)() 11 ?? ?? kijcXX因此，可構(gòu)造如下 t統(tǒng)計量 )1(~1??1,1????????????kntkneecStiiiiiiii?????i=0,1,2,…,k ),(~? 1,12 ?? iiii cN ??? t檢驗 設(shè)計原假設(shè)與備擇假設(shè)： H1： ?i?0 給定顯著性水平 ?，可得到臨界值 t?/2(nk1)，由樣本求出統(tǒng)計量 t的數(shù)值，通過 |t|? t?/2(nk1) 或 |t|≤t?/2(nk1) 來拒絕或接受原假設(shè) H0，從而 判定對應(yīng)的解釋變量是否應(yīng)包括在模型中。 ? 提高樣本觀測值的分散度 ,一般情況下，樣本觀測值越分散， 的分母的|X’X|的值越大，致使區(qū)間縮小。 ? 如著名的 恩格爾曲線 (Engle curves)表現(xiàn)為 冪函數(shù)曲線 形式、宏觀經(jīng)濟學(xué)中的 菲利普斯曲線（ Pillips cuves）表現(xiàn)為 雙曲線 形式等。 意味著： 所建立的食品需求函數(shù)滿足零階齊次性特征。 由（ *）式 RSSR ≥ RSSU 從而 ESSR ≤ ESSU 可用 RSSR RSSU的大小來檢驗約束的真實性 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的知識： )1(~/ 22 ?? UU knR S S ??)1(~/ 22 ?? RR knR S S ??)(~/)( 22 RUUR kkR SSR SS ?? ??于是： )1,(~)1/( )/()( ????? ??? URUUURUUR knkkFknR SSkkR SSR SSF 討論： 如果約束條件無效， RSSR 與 RSSU的差異較大，計算的 F值也較大。 如何檢驗？ 假設(shè) 需要建立的模型 為 ???? ????? kk XXY ?110在兩個連續(xù)的時間序列 （ 1,2,… ， n1） 與 （ n1+1,… ，n1+n2） 中 ， 相應(yīng)的模型分別為： 1110 ???? ????? kk XXY ?2110 ???? ????? kk XXY ? 合并兩個時間序列為 ( 1,2,… ， n1 ， n1+1,… ， n1+n2 )，則可寫出如下 無約束回 歸模型 ??????????????????????????????????212121μμαβX00XYY 如果 ?=?，表示沒有發(fā)生結(jié)構(gòu)變化，因此可針對如下假設(shè)進行檢驗： H0: ?=? (*)式施加上述約束后變換為 受約束 回歸模型 (*) ??????????????????????????212121μμβXXYY （ **） 因此，檢驗的 F統(tǒng)計量為： )]1(2,[~)]1(2/[ /)( 2121???????? knnkFknnR SS kR SSR SSFUUR 記 RSS1與 RSS2為在兩時間段上分別回歸后所得的殘差平方和，容易驗證， 21 R S SR S SR S S U ??于是 )]1(2,[~)]1(2/[)( /)]([ 21212121 ?????????? knnkFknnR SSR SSkR SSR SSR SSF R參數(shù)穩(wěn)定性的檢驗步驟： （ 1）分別以兩連續(xù)時間序列作為兩個樣本進行回歸，得到相應(yīng)的殘差平方： RSS1與RSS2 （ 2）將兩序列并為一個大樣本后進行回歸，得到大樣本下的殘差平方和 RSSR （ 3） 計算 F統(tǒng)計量的值，與臨界值比較 ： 若 F值 大于 臨界值 ， 則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化，參數(shù)是非穩(wěn)定 的。 參數(shù)穩(wěn)定性檢驗 1981~1994： )l n ()l n ()l n ()?l n ( 01 PPXQ ???? RSS1= 1995~2021： 01 PPXQ ???? () () () () 1981~2021: 01 PPXQ ???? () () () () )821/()( 4/)]([ ??? ???F給定 ?=5%，查表得臨界值 (4, 13)= 結(jié)論 ： F值 臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)，表明中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求在 1994年前后發(fā)生了顯著變化。 ２、沃爾德檢驗 （ Wald test, W） 沃爾德檢驗中，只須估計無約束模型。 2nRLM ? 同樣地，如果為線性約束， LM服從一精確的 ?2分布： (*) n為樣本容量， R2為如下被稱為 輔助回歸（ auxiliary regression）的可決系數(shù) : kkR XXXe ???? ????? 22110 ????? ? 如果約束是非線性的，輔助回歸方程的估計比較復(fù)雜，但仍可按（ *）式計算 LM統(tǒng)計量的值。因此， W從總體上測量了無約束回歸不滿足約束條件的程度。 非線性約束檢驗 是建立在 最大似然原理基礎(chǔ)上的 ,有 最大似然比檢驗 、 沃爾德檢驗 與拉格朗日乘數(shù)檢驗 . 最大似然比檢驗 (likelihood ratio test, LR) 估計 :無約束回歸模型與受約束回歸模型， 方法 :最大似然法， 檢驗 :兩個似然函數(shù)的值的差異是否 “ 足夠 ” 大。 鄒氏預(yù)測檢驗 上述參數(shù)穩(wěn)定性檢驗要求 n2k。 注意 ， kU kR恰為約束條件的個數(shù)。 受約束回歸 一、模型參數(shù)的線性約束 二、對回歸模型增加或減少解釋變量 三、參數(shù)的穩(wěn)定性 *四、非線性約束 說 明 ? 在建立回歸模型時，有時根據(jù)經(jīng)濟理論需要對模型中的參數(shù)施加一定的約束條件。 一、模型的類型與變換 倒數(shù)模型、多項式模型與變量的直接置換法 例如， 描述稅收與稅率關(guān)系的 拉弗曲線 ： 拋物線 s = a + b r + c r2 c0 s：稅收； r：稅率 設(shè) X1