【正文】 = r， X2 = r2， 則原方程變換為 s = a + b X1 + c X2 c0 冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型與對數(shù)變換法 例如 ， CobbDauglas生產(chǎn)函數(shù) ：冪函數(shù) Q = AK?L? Q：產(chǎn)出量， K：投入的資本； L：投入的勞動 方程兩邊取對數(shù)： ln Q = ln A + ? ln K + ? ln L 復雜函數(shù)模型與級數(shù)展開法 方程兩邊取對數(shù)后，得到： ??? ??? eLKAQ 1)( 21 ??? ??(?1+?2=1) Q:產(chǎn)出量， K：資本投入， L：勞動投入 ?：替代參數(shù)， ? ?2：分配參數(shù) ??? ??? ???? ?? )( 211 LKLnL n AL n Q例如 ， 常替代彈性 CES生產(chǎn)函數(shù) 將式中 ln(?1K? + ?2L?)在 ?=0處展開臺勞級數(shù) ,取關于 ?的線性項，即得到一個線性近似式。 多元線性回歸模型的預測 一、 E(Y0)的置信區(qū)間 二、 Y0的置信區(qū)間 對于模型 βXY ?? ? 給 定 樣 本 以 外 的 解 釋 變 量 的 觀 測 值X0=(1,X10,X20,… ,Xk0)， 可以得到被解釋變量的預測值： βX ?? 00 ?Y 它可以是總體均值 E(Y0)或個值 Y0的預測。 另一方面 ，兩個統(tǒng)計量之間有如下關系： 222212221222122212212?)2(?)2(?)2(?)2(?txnexnexnenexneyFiiiiiiiiii????????????????????????????????????????????在 中國居民人均收入 消費支出 二元模型 例中 ，由應用軟件計算出參數(shù)的 t值： 6 5 3 0 210 ??? ttt給定顯著性水平 ?=，查得相應臨界值： (19) =。 給定顯著性水平 ?，可得到臨界值 F?(k,nk1)，由樣本求出統(tǒng)計量 F的數(shù)值，通過 F? F?(k,nk1) 或 F≤ F?(k,nk1) 來拒絕或接受原假設 H0，以判定原方程 總體上的線性關系是否顯著成立。 調(diào)整的可決系數(shù) （ adjusted coefficient of determination） 在樣本容量一定的情況下，增加解釋變量必定使得自由度減少，所以 調(diào)整的思路是 :將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個數(shù)對擬合優(yōu)度的影響 : )1/()1/(12?????nT S SknR S SR其中： nk1為殘差平方和的自由度， n1為總體平方和的自由度。 ⒈ 最小樣本容量 樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量的數(shù)目（包括常數(shù)項） ,即 n ≥ k+1 因為， 無多重共線性要求：秩 (X)=k+1 滿足基本要求的樣本容量 ? 從統(tǒng)計檢驗的角度 ： n?30 時， Z檢驗才能應用； nk≥8時 , t分布較為穩(wěn)定 ? 一般經(jīng)驗認為 : 當 n≥30或者至少 n≥3(k+1)時，才能說滿足模型估計的基本要求。 矩方法 是 工具變量方法 (Instrumental Variables,IV)和 廣義矩估計方法 (Generalized Moment Method, GMM)的基礎 ? 在 矩方法 中關鍵是利用了 E(X’?)=0 ? 如果某個解釋變量與隨機項相關，只要能找到 1個工具變量，仍然可以構成一組矩條件。????????????????????????????????????????????3 9 4 6 8 4 0 01 5 6 7 4111 2121 iiinn YXYYYYXXX ???YX可求得： ????????????? ?)( 1EXX于是 ： ???????? ???????????????????????????????3964840015674???21E??β?正規(guī)方程組 的另一種寫法 對于 正規(guī)方程組 βXXYX ????βXXeXβXX ?? ?????于是 0eX ?? 或 (*)或（ **）是多元線性回歸模型 正規(guī)方程組的另一種寫法。 )1(212221212111111???????????????knknnnkkXXXXXXXXX???????X1)1(210???????????????????kk?????β121??????????????nn????μ用來估計總體回歸函數(shù)的 樣本回歸函數(shù) 為 ： kikiiii XXXY ???? ????? 22110 ????? ?其 隨機表示式 : ikikiiii eXXXY ?????? ???? ???? 22110 ? ei稱為 殘差 或 剩余項 (residuals)，可看成是總體回歸函數(shù)中隨機擾動項 ?i的近似替代。第三章 經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型：多元線性回歸模型 ? 多元線性回歸模型 ? 多元線性回歸模型的參數(shù)估計 ? 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 ? 多元線性回歸模型的預測 ? 回歸模型的其他形式 ? 回歸模型的參數(shù)約束 167。 或者說 ?j給出了 X j的單位變化對 Y均值的“直接”或“凈”（不含其他變量）影響。 k □ 正規(guī)方程組 的 矩陣形式 ?????????????????????????????????????????????????????????????????nknkknkkiikikikiiiikiiYYYXXXXXXXXXXXXXXXXn????????????????212111211102112111 111??????即 YXβX)X( ??? ?由假設 1， X’X滿秩，故有 YXXXβ ??? ? 1)(?? 將上述過程用 矩陣表示 如下 ： 即求解方程組 ： 0)?()?(? ???? βXYβXYβ? ?0)????(? ???????????? βXXββXYYXβYYβ0)???2(? ????????? βXXββXYYYβ0? ????? βXXYX得到 ： YXXXβ ??? ? 1)(?βXXYX ????于是 ： 例 ： 在 例 家庭收入 消費支出 例中 ， ????????????????????????????????????????????53650000215002150010111111)(22121 iiinn XXXnXXXXXX ????XX 39。 易知 MM估計量與 OLS、 ML估計量等價。 無偏性 βμXXXβμX βXXXYXXXβ11???????????????)()())()(())(()?(1EEEE 有效性（最小方差性） 這里利用了假設 : E(X’?)=0 其中利用了 YXXXβ ??? ? 1)(?μXXXβμX βXXX??????????11)()()(和 Iμμ 2)( ???E 五、樣本容量問題 所謂 “ 最小樣本容量 ” ，即從最小二乘原理和最大或然原理出發(fā)，欲得到參數(shù)估計量，不管其質(zhì)量如何，所要求的樣本容量的下限。 —— 但是，現(xiàn)實情況往往是，由增加解釋變量個數(shù)引起的 R2的增大與擬合好壞無關 ， 因此， R2需調(diào)整 。 (為了消除變量個數(shù)的影響，除以各自的自由度） 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學中的知識，在原假設 H0成立的條件下，統(tǒng)計量 )1/(/??? knR S SkE S SF服從自由度為 (k , nk1)的 F分布。 H0： ?i=0 （ i=0,1,2…k ） 注意： 一元線性回歸中， t檢驗與 F檢驗一致 一方面 ， t檢驗與 F檢驗都是對相同的原假設H0： ?1=0 進行檢驗 。 1)( ??XX167。 ? 但是，大部分非線性關系又可以通過一些簡單的數(shù)學處理，使之化為數(shù)學上的線性關系，從而可以運用線性回歸模型的理論方法。 問題是：有什么理由選哪一個呢？根據(jù)經(jīng)驗數(shù)據(jù)，零階齊次性成立嗎？ 167。 于是，可用計算的 F統(tǒng)計量的值與所給定的顯著性水平下的臨界值作比較，對約束條件的真實性進行檢驗。 該檢驗也被稱為 鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗（ Chow test for parameter stability）。 鄒氏預測 檢驗 )1314/(00 324 7/)00 324 378 ( ?????F給定 ?=5%，查表得臨界值 (7, 10)= 結論 ： F值 臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設 *四、非線性約束 也可對模型參數(shù)施加 非線性約束 ,如對模型 ????? ?????? kk XXXY ?22110 施加非線性約束 ?1?2=1,得到 受約束回歸模型 : *211101 ????? ?????? kk XXXY ? 該模型必須采用 非線性最小二乘法（ nonlinear least squares）進行估計。如對 ????? ?????? kk XXXY ?22110 在所有古典假設都成立的條件下，容易證明 ),(~?? 2 ??2121 21 ??????? ??? N因此，在 ?1+?2=1的約束條件下 : )1,0(~1??21 ??21 Nz?????????記 )(~~ 22?? 21 Xf?? ?? ??可建立 沃爾德統(tǒng)計量 : )1(~~ )1??( 22??22121?? ???? ????W 如果有 h個約束條件，可得到 h個統(tǒng)計量z1,z2,… ,zh 約束條件為真時，可建立 大樣本 下的服從自由度為 h的漸近 ?2 分布統(tǒng)計量 : )(~ 2 hW ?ZCZ 1??? 其中， Z為以 zi為元素的列向量， C是 Z的方差 協(xié)方差矩陣。 最后，一般地有 :LM≤LR≤W