【正文】 的控制變量有多個。 表 82 四種顏色飲料的銷售量及均值 超市 ( j ) 水平 A ( i ) 無色 (A1) 粉色 (A2) 橘黃色 (A3) 綠色 (A4) 1 2 3 4 5 合計 水平均值 觀察值個數(shù) ?x1 = n1=5 ?x2= n2=5 ?x3= n3=5 ?x4= n4=5 總均值 x = 雙因素方差分析 （一個例子） 不同品牌的彩電在各地區(qū)的銷售量數(shù)據(jù) 品牌 (因素 A) 銷售地區(qū) ( 因素 B ) B1 B2 B3 B4 B5 A1 A2 A3 A4 365 345 358 288 350 368 323 280 343 363 353 298 340 330 343 260 323 333 308 298 【 例 】 有四個品牌的彩電在五個地區(qū)銷售 ， 為分析彩電的品牌 (因素 A)和銷售地區(qū) (因素 B)對銷售量是否有影響 ， 對每個品牌在各地區(qū)的銷售量取得以下數(shù)據(jù) ， 見下表 。 試分析品牌和銷售地區(qū)對彩電的銷售量是否有顯著影響 ？ 單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 觀察值 ( j ) 因素 (A) i 水平 A1 水平 A2 … 水平 Ak 1 2 : : n x11 x12 … x1k x21 x22 … x2k : : : : : : : : xn1 xn2 … xnk 單因素方差分析的步驟 ?提出假設(shè) ?構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量 ?統(tǒng)計決策 提出假設(shè) 1. 一般提法 ? H0: m1 = m2 =… = mk (因素有 k個水平 ） ? H1: m1 ， m2 ， … ， mk不全相等 2. 對前面的例子 ? H0: m1 = m2 = m3 = m4 ? 顏色對銷售量沒有影響 ? H0: m1 ， m2 ， m3， m4不全相等 ? 顏色對銷售量有影響 構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量 (計算水平的均值 ) 1. 假定從第 i個總體中抽取一個容量為 ni的簡單隨機樣本 ， 第 i個總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個數(shù) 2. 計算公式為 1( 1 , 2 , , )injijiixx i kn????式中： ni為第 i 個總體的樣本觀察值個數(shù) xji 為第 i 個總體的第 j 個觀察值 構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量 (計算全部觀察值的總均值 ) 1. 全部觀察值的總和除以觀察值的總個數(shù) 2. 計算公式為 kkiiikinjijnnnnnxnnxxi???????? ??? ??2111 1式中：構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量 (前例計算結(jié)果 ) 表 82 四種顏色飲料的銷售量及均值 超市 ( j ) 水平 A ( i ) 無色 (A1) 粉色 (A2) 橘黃色 (A3) 綠色 (A4) 1 2 3 4 5 合計 水平均值 觀察值個數(shù) ?x1 = n1=5 ?x2= n2=5 ?x3= n3=5 ?x4= n4=5 總均值 x = 構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量 (計算總離差平方和 SST) 1. 全部觀察值 與總平均值 的離差平方和 2. 反映全部觀察值的離散狀況 3. 總離差平方和 （ 總變異 ） 其計算公式為 ijx x? ?? ?? ???kinjijixxSST1 12? 前例的計算結(jié)果： SST = ()2+()2+…+ ()2 = 構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量 (計算誤差項平方和 SSW) 1. 每個水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和 2. 反映每個樣本各觀察值的離散狀況 ， 又稱 組內(nèi)離差平方和 3. 該平方和反映的是隨機誤差的大小 4. 誤差項平方和 （ 組內(nèi)變異或是組內(nèi)平方和 ） 計算公式為 ? ? 211inkji iijSS W x x??????? 前例的計算結(jié)果： SSW = 構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量 (計算水平項平方和 SSB) 1. 各組平均值 與總平均值 的離差平方和 2. 反映各總體的樣本均值之間的差異程度 ， 又稱組間平方和 3. 該平方和既包括隨機誤差 ， 也包括系統(tǒng)誤差 4. 計算公式為 ? ? ? ?221 1 1inkki i ii j iS S B x x n x x? ? ?? ? ? ?? ? ?? 前例的計算結(jié)果： SSB = ),2,1( kix i ?? x構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量 (三個平方和 的關(guān)系 )P259 ? ?總離差平方和 (SST)、 誤差項離差平方和(SSW)、 水平項離差平方和 (SSB) 之間的關(guān)系 ? ? ? ? ? ?22 21 1 1 1 1iinnk k kij ij i ii j i j ix x x x n x x? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?SST = SSW+ SSB 構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量 (三個平方和的作用 ) 1. SST反映了全部數(shù)據(jù)總的誤差程度； SSW反映了隨機誤差的大小； SSB反映了隨機誤差和系統(tǒng)誤差的大小 2. 如果原假設(shè)成立 ， 即 H1＝ H2 ＝ … ＝ Hk為真 ， 則表明沒有系統(tǒng)誤差 ， 組間平方和 SSB除以自由度后的 均方 與組內(nèi)平方和 SSE和除以自由度后的 均方 差異就不會太大；如果組間均方 顯著地大于 組內(nèi)均方 ， 說明各水平 (總體 )之間的差異不僅有隨機誤差 ， 還有系統(tǒng)誤差 3. 判斷因素的水平是否對其觀察值有影響 ， 實際上就是比較 組間方差 與 組內(nèi)方差 之間差異的大小 4. 為檢驗這種差異 ， 需要構(gòu)造一個用于檢驗的統(tǒng)計量 構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量 (計算均方 MS) 1. 各離差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān) ， 為了消除觀察值多少對離差平方和大小的影響 ， 需要將其平均 ， 這就是均方 ， 也稱為方差 2. 計算方法是用離差平方和除以相應(yīng)的自由度 3. 三個平方和的自由度分別是 ? SST 的自由度為 n1， 其中 n為全部觀察值的個數(shù) ? SSB的自由度為 k1， 其中 k為因素水平 (總體 )的個數(shù) ? SSW 的自由度為 nk 構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量 (計算均方 MS) 1. SSB的均方也稱 組間方差 ， 記為 MSB， 計算公式為 1SSBM S Bk??2. SSW的均方也稱 組內(nèi)方差 ， 記為 MSW， 計算公式為 SSWM S Wnk??7 6 . 8 4 5 5 2 5 . 6 1 5 241M S B ?? ?前 例 的 計 算 結(jié) 果 ：3 9 . 0 8 4 2 . 4 4 2 82 0 4M S W ?? ?前 例 的 計 算 結(jié) 果 ：構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量 (計算檢驗的統(tǒng)計量 F ) 1. 將 MSB和 MSW進行對比 ， 即得到所需要的檢驗統(tǒng)計量 F 2. 當 H0為真時 ， 二者的比值服從分子自由度為 k分母自由度為 nk 的 F 分布 ， 即 ~ ( 1 , )M S BF F k n kM S W? ? ? 4 2 6 1 5 ??F前例的計算結(jié)果：構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量 (F分布與拒絕域 ) 如果均值相等，F(xiàn)=MSB/MSW?1 a F 分布 Fa(k1,nk) 0 拒絕 H0 不能拒絕 H0 F 統(tǒng)計決策 ? ? 將統(tǒng)計量的值 F與給定的顯著性水平 a的臨界值 Fa進行比較 ， 作出接受或拒絕原假設(shè) H0的決策 ? 根據(jù)給定的顯著性水平 a， 在 F分布表中查找與第一自由度 df1＝ k 第二自由度 df2=nk 相應(yīng)的臨界值 Fa ? 若 FFa ， 則拒絕原假設(shè) H0 ， 表明均值之間的差異是顯著的 ， 所檢驗的因素 (A)對觀察值有顯著影響 ? 若 F?Fa ， 則不能拒絕原假設(shè) H0 ， 表明所檢驗的因素 (A)對觀察值沒有顯著影響 單因素方差分析表 (基本結(jié)構(gòu) ) 方差來源 平方和 SS 自由度 df 均方 MS F 值 組間 (因素影響 ) 組內(nèi) (誤差 ) 總和 SSB SSW SST k1 nk n1 MSB MSW MSB MSW 對照輸出結(jié)果的 ANOVA表 本章小結(jié) ? 抽樣推斷概述 ? 抽樣的組織方式、抽樣方法 ? ? 中心極限定理：樣本均值的分布服從正態(tài)分布 ? 參數(shù)估計 ? 抽樣平均誤差、抽樣極限誤差、概率度 ? 點估計、區(qū)間估計 本章小結(jié) ? 假設(shè)檢驗 ? 抽樣的組織方式、抽樣方法 ? 方差分析