等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)-資料下載頁
2025-05-12 17:18本頁面
【正文】 6月 16日星期三 [ 解析 ] ( 1 ) ∵ 對(duì)任意的正整數(shù) n, 2 S n ＝ a n ＋ 1 ① 恒成立， 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， 2 a 1 ＝ a 1 ＋ 1 ，即 ( a 1 － 1)2＝ 0 ， ∴ a 1 ＝ 1. 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)，有 2 S n － 1 ＝ a n － 1 ＋ 1. ② ① 2－② 2得 4an＝ an2－ an－ 12＋ 2an－ 2an－ 1， 即 (an＋ an－ 1)(an－ an－ 1－ 2)＝ 0. ∵ an0， ∴ an＋ an－ 10， ∴ an－ an－ 1＝ 2， ∴ 數(shù)列 {an}是首項(xiàng)為 1，公差為 2的等差數(shù)列， ∴ an＝ 1＋ (n－ 1) 2＝ 2n－ 1. 高二 必修 5數(shù)學(xué) 廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2021年 6月 16日星期三 ( 2 ) ∵ an＝ 2 n － 1 ， ∴ bn＝1? 2 n － 1 ?? 2 n ＋ 1 ?＝12????????12 n － 1－12 n ＋ 1， ∴ Bn＝ b1＋ b2＋ b3＋ … ＋ bn ＝12 ????????1 －13＋12 ????????13－15＋12 ????????15－17＋ … ＋12????????12 n － 1－12 n ＋ 1 ＝12????????1 －12 n ＋ 1＝n2 n ＋ 1. 高二 必修 5數(shù)學(xué) 廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2021年 6月 16日星期三 『 變式探究 』 1. 已知在正整數(shù)數(shù)列 { an} 中，前 n 項(xiàng)和 Sn滿足： Sn＝18( an＋ 2)2， ( 1 ) 求證： { an} 是等差數(shù)列； ( 2 ) 若 bn＝12an－ 30 ，求數(shù)列 { bn} 的前 n 項(xiàng)和的最小值． 高二 必修 5數(shù)學(xué) 廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2021年 6月 16日星期三 [ 解析 ] ( 1 ) 證明： ∵ Sn＝18( an＋ 2)2， ① ∴ Sn － 1＝18( an － 1＋ 2)2 ( n ≥ 2) ． 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn － 1＝18( an＋ 2)2－18( an － 1＋ 2)2， 整理得 ( an＋ an － 1)( an－ an － 1－ 4) ＝ 0. ∴ an－ an － 1＝ 4 ，即 { an} 為等差數(shù)列． 高二 必修 5數(shù)學(xué) 廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2021年 6月 16日星期三 ( 2 ) 解： ∵ S1＝18( a1＋ 2)2.∴ a1＝18( a1＋ 2)2. 解得 a1＝ 2. ∴ an＝ 2 ＋ 4( n － 1) ＝ 4 n － 2 ， ∴ bn＝12an－ 30 ＝12(4 n － 2) － 30 ＝ 2 n － 3 1 . 令 bn0 得 n 312， ∴ S15為前 n 項(xiàng)和的最小值． 故 S15＝ b1＋ b2＋ … ＋ b15＝ 2 ( 1 ＋ 2 ＋ … ＋ 1 5 ) － 15 31 ＝－ 225.
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