【正文】 ? 很多老師更喜歡用第三種方法來解決類似問題，但這對于部分學(xué)生有一定難度。 從算術(shù)到代數(shù) 例子：雞兔同籠問題 ? 代數(shù)方法： 量的分析 鉛筆每支 4元、鋼筆每支 7元 （ 1） 鉛筆的數(shù)量、鋼筆的數(shù)量 （ 2） 鉛筆和鋼筆的總量 10支 （ 3） 一共擁有 46元 （ 4） ? 其中 (1)(3)(4)是已知量 ,(2)是未知量 .這些在討論問題過程中都是不變的。 從算術(shù)到代數(shù) 例子：雞兔同籠問題 等量關(guān)系 ? 讓學(xué)生用自然語言敘述等量關(guān)系 等量關(guān)系 1：鉛筆、鋼筆的數(shù)量之和是 10支。 等量關(guān)系 2：買鉛筆和鋼筆的費(fèi)用之和是 46元。 設(shè)未知數(shù)、列方程 ? 第一種列方程方式：設(shè)未知量鉛筆的支數(shù)為 x， ? 利用等量關(guān)系 1：鋼筆的數(shù)量為 10x, ? 這樣，利用等量關(guān)系 2，有： 4x+7(10x)=46 。 從算術(shù)到代數(shù) 例子：雞兔同籠問題 ? 第二種列方程方式： 設(shè)鉛筆的支數(shù)為 x，鋼筆的支數(shù)為 y，則 x + y=10 （利用等量關(guān)系 1） 4x+7y=46 （利用等量關(guān)系 2） 解方程。 從算術(shù)到代數(shù) 例子：雞兔同籠問題 代數(shù)方法特征： ? 分析規(guī)律 ? 表示規(guī)律 ? 解決問題 從算術(shù)到代數(shù) 算術(shù)、代數(shù)方法特征 算術(shù)方法 ? 基本特征：算 ——數(shù)（加 —減、乘、除） ? 基本特征：用“術(shù)” ——算（有規(guī)律地算） ? 基本特征：不同的算法 —— 不同的計(jì)算途徑或程序 ? 基本特征：解決一個一個的具體問題 通過“術(shù)”和“算”解決的問題是算術(shù)問題。 通過“術(shù)”和“算”體現(xiàn)邏輯思維 —演繹。 從算術(shù)到代數(shù) 算術(shù)、代數(shù)方法特征 代數(shù)方法 ? 基本特征：用字母代替數(shù) ? 基本特征：用字母表示規(guī)律 量之間的相等關(guān)系、不等關(guān)系、函數(shù)關(guān)系 ? 基本特征：通過字母的運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律 ——解決問題 ? 基本特征：不同的算法 —— 不同的計(jì)算途徑或程序 ? 基本特征：一類一類地解決問題 從算術(shù)到代數(shù) 算術(shù)、代數(shù)方法特征 代數(shù)方法 通過字母的運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律解決的問題是代數(shù)問題。 通過運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律體現(xiàn)邏輯思維 —演繹。 ? 算術(shù)方法與代數(shù)方法 共性： 通過“算”和“算律”解決問題 通過“算”和“算律”體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯思維 不同： “算數(shù)” ——“算字母” 解決具體問題 ——解決一類問題 從算術(shù)到代數(shù) 算術(shù)、代數(shù)方法特征 結(jié)構(gòu) （三）統(tǒng)計(jì)與概率 ? 統(tǒng)計(jì) ? 數(shù)據(jù)分析全過程 ? ——收集數(shù)據(jù)：給定數(shù)據(jù)、收集數(shù)據(jù)（全部、抽樣） ? ——描述數(shù)據(jù)：運(yùn)用統(tǒng)計(jì)圖、表 ? ——提取數(shù)據(jù)信息：計(jì)算特征數(shù)，理解其實(shí)際意義（集中趨勢、離散程度），結(jié)合實(shí)際發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息 ? 運(yùn)用信息、討論問題 ? ——運(yùn)用數(shù)據(jù)分析提供信息討論問題：樣本與總體關(guān)系初步理解 ? 統(tǒng)計(jì)實(shí)際應(yīng)用 ? ——初步識別統(tǒng)計(jì)問題 ? ——根據(jù)實(shí)際需求決定收集數(shù)據(jù)的方案 ? ——使用數(shù)據(jù)分析過程討論實(shí)際問題 結(jié)構(gòu) （三）統(tǒng)計(jì)與概率 ? 概率 ——隨機(jī)現(xiàn)象基本特征與識別 ——古典概型初步 結(jié)構(gòu) 綜合與實(shí)踐 ? 數(shù)學(xué)實(shí)踐活動全過程 ——結(jié)合情景發(fā)現(xiàn)、提出問題 ——獨(dú)立或分組解決 ——設(shè)計(jì)用數(shù)學(xué)解決問題的方案 ——實(shí)施方案 ——討論或驗(yàn)證結(jié)果 ——展示解決問題全過程 ——小論文 ——報(bào)告、交流 ? 積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn) 關(guān)鍵點(diǎn) —數(shù)與代數(shù) 數(shù)與代數(shù) ? 數(shù)、字母與運(yùn)算 ——運(yùn)算對象認(rèn)識 實(shí)數(shù) ——有理數(shù) 分?jǐn)?shù) ——意義、核心性質(zhì) 負(fù)數(shù) ——意義、核心性質(zhì) 有理數(shù) ——分類、表示 關(guān)鍵點(diǎn) —數(shù)與代數(shù) 數(shù)與代數(shù) ? 數(shù)、字母與運(yùn)算 ——運(yùn)算對象認(rèn)識 實(shí)數(shù) ——無理數(shù) 概念 根數(shù)（數(shù)的有理次冪） 圓周率 關(guān)鍵點(diǎn) —數(shù)與代數(shù) 數(shù)與代數(shù) ? 數(shù)、字母與運(yùn)算 ——運(yùn)算對象認(rèn)識 字母 ——單項(xiàng)式、整式、分式、代數(shù)式 代數(shù)式的意義 代數(shù)式的值與多元函數(shù) 關(guān)鍵點(diǎn) —數(shù)與代數(shù) 數(shù)與代數(shù) ? 數(shù)、字母與運(yùn)算 ——運(yùn)算的背景 數(shù)的加、減、乘、除的運(yùn)算背景 數(shù)、字母的乘： ——意義、拓展、乘法原理、二項(xiàng)定理、二項(xiàng)分布等等 數(shù)、字母的除： ——意義、拓展、商、余數(shù)定理、等價分類、商空間等等 關(guān)鍵點(diǎn) —數(shù)與代數(shù) 數(shù)與代數(shù) ? 數(shù)、字母與運(yùn)算 ——運(yùn)算的規(guī)則 運(yùn)算規(guī)律：結(jié)合律、零與負(fù)數(shù)、交換律、分配率 加、減、負(fù)數(shù)： 1+（ 1） =0及對負(fù)號認(rèn)識 分配律 ——運(yùn)算基本規(guī)律（負(fù) 1乘負(fù) 1） 因式分解 關(guān)鍵點(diǎn) —數(shù)與代數(shù) 數(shù)與代數(shù) ? 數(shù)、字母與運(yùn)算 ——運(yùn)算的規(guī)則 運(yùn)算的順序 去括號 關(guān)鍵點(diǎn) —數(shù)與代數(shù) 數(shù)與代數(shù) ? 數(shù)、字母與運(yùn)算 ——運(yùn)算的規(guī)則 等式、不等式運(yùn)算法則 等式 ——移項(xiàng)變號 不等式 ——乘負(fù)數(shù)變不等號 關(guān)鍵點(diǎn) —數(shù)與代數(shù) 數(shù)與代數(shù) ? 數(shù)、字母與運(yùn)算 ——運(yùn)算的應(yīng)用 通性通法： 待定系數(shù) 變量替換 消元法 配方法 關(guān)鍵點(diǎn) —數(shù)與代數(shù) 數(shù)與代數(shù) ? 字母與模型（從算術(shù)到代數(shù)） 算術(shù)與代數(shù)差異 ——模型分類識別 分類、識別 關(guān)鍵點(diǎn) —數(shù)與代數(shù) 數(shù)與代數(shù) ? 字母與模型（從算術(shù)到代數(shù)） ——函數(shù)模型 變化 ——變量依賴關(guān)系 背景故事 ——每一個函數(shù) 5個背景故事 過程 關(guān)鍵點(diǎn) —數(shù)與代數(shù) 數(shù)與代數(shù) ? 字母與模型（從算術(shù)到代數(shù)） ——方程模型 背景 ——已知量與未知量的等量關(guān)系 ——列方程 解方程與運(yùn)算 過程與意義 ——不等式模型 背景 ——已知量與未知量的等量不關(guān)系 ——列不等式 解不等式與運(yùn)算 過程與意義 關(guān)鍵點(diǎn) —空間與圖形 ? 分類角度： 維數(shù) 直與曲 變換 ——圖形“對稱”程度 ——圖形間“一致”：重合、全等、相似 滲透用“變化”認(rèn)識圖形 ——函數(shù)圖形 關(guān)鍵點(diǎn) —空間與圖形 ? 用“變換”讓圖形“動”起來： 用“變換”描述圖形 用“變換”發(fā)現(xiàn)圖形的關(guān)系 關(guān)鍵點(diǎn) —空間與圖形 ? 數(shù)形結(jié)合 ——用代數(shù)方法討論幾何問題： 坐標(biāo)系思想 函數(shù)思想 方程思想 關(guān)鍵點(diǎn) —空間與圖形 ? “邊、角”關(guān)系： 等量關(guān)系 不等關(guān)系 邊角關(guān)系 ——三角函數(shù) 關(guān)鍵點(diǎn) —空間與圖形 ? 從“三角形”認(rèn)識圖形： 認(rèn)識 三角形： 分類、變換、數(shù)形結(jié)合、邊角關(guān)系 用“三角形”認(rèn)識其他圖形 關(guān)鍵點(diǎn) —空間與圖形 ? 從“四邊形”認(rèn)識圖形： 認(rèn)識 四邊形： 分類、變換、數(shù)形結(jié)合、邊角關(guān)系 用“四邊形”認(rèn)識其他圖形 關(guān)鍵點(diǎn) —空間與圖形 ? 從“圓”認(rèn)識圖形： 認(rèn)識 圓： 分類、變換、數(shù)形結(jié)合、邊角關(guān)系 用“圓”認(rèn)識其他圖形 關(guān)鍵點(diǎn) —空間與圖形 ? “邊、角”關(guān)系： 等量關(guān)系 不等關(guān)系 邊角關(guān)系 ——三角函數(shù) 六、一個有爭議問題 —因式分解 ? 乘法對加法的分配律 ——因式分解基礎(chǔ)之一 運(yùn)用拆項(xiàng)、零的性質(zhì) ——分組分解 ? 除 ——因式分解基礎(chǔ)之一 整除 ——余數(shù)定理 余數(shù)定理 ——方程 ——因式 ——因式分解最基本的方法 六、一個有爭議問題 —因式分解 如何看待十字相乘方法： 十字相乘理論基礎(chǔ)：韋達(dá)定理 ——方程求解 十字相乘的適用范圍 ——對方法認(rèn)識 十字相乘程序 求根公式與十字相乘的比較 因式分解的教學(xué)建議 七、綜合與實(shí)踐： 數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn) ? 綜合與實(shí)踐 ——數(shù)學(xué)應(yīng)用 可以分成三個層次來理解數(shù)學(xué)應(yīng)用，分別是：知識的背景和對實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述；對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識和在實(shí)際中的直接應(yīng)用；經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程。 綜合與實(shí)踐 ? 發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識 ? 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 ? 增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解 ? 擴(kuò)展學(xué)生的視野 ? 培養(yǎng)學(xué)生的良好品行 ? 提高學(xué)生的閱讀能力 綜合與實(shí)踐 問題 ——”綜合與實(shí)踐“的關(guān)鍵 ——選擇與學(xué)生的生活實(shí)際相關(guān)的問題，并減少對問題不必要的人為加工和刻意雕琢。 ——選擇已有的、別人做過的問題 ——選擇數(shù)學(xué)背景問題，有不同的層次，并注意問題的可擴(kuò)展性和開放性。 ——鼓勵學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題 ——教師應(yīng)該積累一批問題 綜合與實(shí)踐 ? 開拓學(xué)生視野 —— ? 自主學(xué)習(xí)能力 ——閱讀、設(shè)計(jì) ? 發(fā)現(xiàn)、提出并能分析、解決一個問題。 問題與探索 ? ？ ? ？ ? ？ ? ？ ? ？ ? ？ 謝 謝！