【正文】 畫(huà)出電子運(yùn)動(dòng)的軌跡； （ 4）求電子打到熒光屏上的位置坐標(biāo) x 和金屬板間電勢(shì)差 U 的函數(shù)關(guān)系。 解析 :（ 1）電子在電場(chǎng)中加速由動(dòng)能定理有 U0e＝ mv02/2解得 v0= meU/20。 （ 2）要使電子不穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域，應(yīng)有 R＝ mv/eBd，又 Ue＝ mv2/2，聯(lián)立解得 UeB2d2/2m。 （ 3）由于兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等方向相反，則兩段軌跡關(guān)于交點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。 （ 4）設(shè)電子運(yùn)動(dòng)的半徑為 r，由軌跡圖可得，電子打在熒光屏上的位置 x＝ 2r－ 2 22 dr ? ，又 r＝ mv/eB， eU＝ mv2/2， 聯(lián)立以上三式解得 x＝ 2（ emU2 － 2222 BedemU ? ） /eB。 (U≥d2eB2/2m)。 第五課時(shí) 帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（一） 一、 高考攻略 （一）帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的基本分析 復(fù)合場(chǎng)。 所謂復(fù)合場(chǎng)是指某一空間同時(shí)存在電場(chǎng)、磁場(chǎng)、重力場(chǎng)，或者同時(shí)存在三種場(chǎng)中的兩種場(chǎng)。 基本分析方法： 帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于電場(chǎng)、磁場(chǎng)設(shè)計(jì)的靈活性，質(zhì)點(diǎn)受力的復(fù)雜性，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)具有多形式、多階段、多變化等特點(diǎn)。這類(lèi)問(wèn)題的解答，是對(duì)受力分析、運(yùn)動(dòng)分析、動(dòng)態(tài)分析、臨 界點(diǎn)的挖掘以及不同運(yùn)動(dòng)形式對(duì)應(yīng)不同物理規(guī)律的把握等的綜合考察。主要把握四個(gè)觀點(diǎn)。 （ 1）力的觀點(diǎn)。 在力學(xué)中我們知道力是物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程發(fā)展、變化的原因，在分析質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，同樣要把握住“力以及力的變化”這一根本。一般而言，重力大小方向不變（有時(shí)明確要求不計(jì)重力）；勻強(qiáng)電場(chǎng)中帶電質(zhì)點(diǎn)受電場(chǎng)力大小方向都不變；洛侖茲力隨帶電質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變而發(fā)生變化，但洛侖茲力方向總垂直于磁場(chǎng)和速度所確定的平面；有彈力和摩擦力的情況下，要特別注意，速度變化時(shí)引起洛侖茲力變化，洛侖茲力變化引起彈力變化，再又引起摩擦力變化，進(jìn) 而引起合外力的變化，出現(xiàn)一系列變加速運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，臨界點(diǎn)經(jīng)常在這一動(dòng)態(tài)過(guò)程發(fā)生轉(zhuǎn)折時(shí)出現(xiàn)。 （ 2）運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)。 帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中可以設(shè)計(jì)出多階段、多形式、多變化、具有周期性的豐富多彩的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。在分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)，主要把握住以下幾個(gè)方面：①全面把握質(zhì)點(diǎn)的受力以及力的變化特點(diǎn)（力的觀點(diǎn)）。②始終抓住力和運(yùn)動(dòng)之間相互促進(jìn)、相互制約的關(guān)系。在全面把握質(zhì)點(diǎn)受力以及力的變化特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合每一運(yùn)動(dòng)階段的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，綜合考察力的變化和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化之間的相互制約、相互促進(jìn)的關(guān)系。如速度的變化引起洛侖茲力變化，洛 侖茲力變化又引起彈力和摩擦力的變化，從而引起合外力的變化，合外力的變化又引起加速度和速度的變化，速度變化反過(guò)來(lái)又引起洛倫茲力的變化，NMS 1 S 20熒光屏ddRO 1O 2B BACQPNMS 1 S 2 0熒光屏ddBB 在這一系列變化中，力和運(yùn)動(dòng)相互促進(jìn)、相互制約。③準(zhǔn)確劃分質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不同運(yùn)動(dòng)階段、不同運(yùn)動(dòng)形式，以及不同運(yùn)動(dòng)階段、不同運(yùn)動(dòng)形式之間的轉(zhuǎn)折點(diǎn)和臨界點(diǎn)，只有明確質(zhì)點(diǎn)在某一階段的運(yùn)動(dòng)形式后，才能確定解題所用到的物理規(guī)律。④明確不同運(yùn)動(dòng)階段、不同的運(yùn)動(dòng)形式所遵循的物理規(guī)律，包括物理規(guī)律使用時(shí)所必須滿(mǎn)足的條件；設(shè)定未知量，表述原始物理規(guī)律式。⑤充分注意質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的重復(fù)性。帶電質(zhì)點(diǎn)在 磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)就可能具有周期性，如果在其運(yùn)動(dòng)空間加上與運(yùn)動(dòng)方向在同一直線上的電場(chǎng)，電場(chǎng)力就可能使帶電質(zhì)點(diǎn)減速運(yùn)動(dòng)到速度為零，然后反向加速，再次回到磁場(chǎng)中，使粒子又重復(fù)原來(lái)的運(yùn)動(dòng)。類(lèi)似的還可以在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加上擋板或與其它的質(zhì)點(diǎn)相互碰撞等也可能使帶電質(zhì)點(diǎn)回到磁場(chǎng)中重復(fù)原來(lái)的運(yùn)動(dòng)形式。分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期性，一般是先分析一個(gè)周期內(nèi)運(yùn)動(dòng)的基本軌跡，然后要考慮兩方面的周期性：①時(shí)間的周期性。即質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間和各階段運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系。②空間的周期性。即在一定的空間范圍內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)有可能多少次重復(fù)原來(lái)的運(yùn)動(dòng)形式，這也是列式的關(guān) 鍵。 （ 3）能量的觀點(diǎn)。 由于帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，除重力、電場(chǎng)力以外還有洛侖茲力參與，而洛侖茲力是隨運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變而變化，使合外力是一個(gè)變力，導(dǎo)致質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡可能是曲線，運(yùn)動(dòng)可能形式是變加速曲線運(yùn)動(dòng)，對(duì)這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)不能有效解決。但從力對(duì)物體做功的角度看，由于洛侖茲力方向始終垂直于速度方向，洛侖茲力對(duì)質(zhì)點(diǎn)不做功，從而運(yùn)用動(dòng)能定理或能量守恒的觀點(diǎn)來(lái)處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)往往又能“柳暗花明”。 （ 4）動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)。 由于帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程經(jīng)常出現(xiàn)多階段、多形式的運(yùn)動(dòng)，必然存在一個(gè)階段到另 一階段的狀態(tài)連接點(diǎn)或一種運(yùn)動(dòng)形式轉(zhuǎn)化為另一種運(yùn)動(dòng)形式的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，必定伴隨著物理量由量變到質(zhì)變的飛躍，如彈力、摩擦力、加速度、速度、位移等物理量在漸變過(guò)程中出現(xiàn)極值點(diǎn)（最大值、最小值、定值、方向變化處等），而物理問(wèn)題的求解往往是求解這些臨界點(diǎn)的問(wèn)題，這就要求必須運(yùn)用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，把握力和運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系，認(rèn)真分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程的變化，挖掘出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的臨界點(diǎn)，以臨界點(diǎn)列式求解。這就是物理問(wèn)題求解的觀點(diǎn)： 分析以動(dòng)，處理以靜 。 總之分析帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的方法歸納為四句話： 受力分析是根本，運(yùn)動(dòng)分析是關(guān)鍵，把 握規(guī)律是重點(diǎn)，臨 隱 挖掘破難點(diǎn) 。 （二）帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中的主要運(yùn)動(dòng)形式 帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，從整個(gè)物理過(guò)程看可能有多種不同的運(yùn)動(dòng)形式，但分解為不同階段看主要有三種不同的運(yùn)動(dòng)形式。 直線運(yùn)動(dòng)。 ①無(wú)軌道約束情況下的直線運(yùn)動(dòng)。帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中若只受重力、電場(chǎng)力和洛侖茲力作用而作直線運(yùn)動(dòng)，必定為勻速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)受力平衡。除非質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)平形而不受洛侖茲力作用。因?yàn)橹亓碗妶?chǎng)力都為恒力，若它們的合力不能與洛侖茲力平衡，則質(zhì)點(diǎn)的速度大小、方向?qū)?huì)改變，就不可能做直線運(yùn)動(dòng)。②有軌道約束情況的直線運(yùn)動(dòng)。 帶電質(zhì)點(diǎn)所受的約束通常有平面、桿、繩、環(huán)套、圓軌道等，有約束的情況下要注意運(yùn)用動(dòng)態(tài)分析的方法，挖掘物理過(guò)程變化中的臨界狀態(tài)。 圓周運(yùn)動(dòng)。 ①帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中無(wú)軌道約束情況下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。帶電質(zhì)點(diǎn)在勻強(qiáng)磁場(chǎng)、勻強(qiáng)電場(chǎng)和重力場(chǎng)共存的復(fù)合場(chǎng)中，由于電場(chǎng)力和重力是恒力一般不提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，而是電場(chǎng)力與重力相平衡，洛侖茲力提供做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，又洛侖茲力不做功，只改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，故質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。②有軌道約束情況下的圓周運(yùn)動(dòng)。帶電質(zhì)點(diǎn)受約束做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，除受電場(chǎng)力、重力、洛侖茲力作用外，還 必定受其它力作用，如彈力、摩擦力等，此時(shí)要從受力分析入手，結(jié)合物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，確定圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。 曲線運(yùn)動(dòng)。 當(dāng)帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中所受的合力大小、方向發(fā)生變化時(shí)，質(zhì)點(diǎn)將作非勻變速曲線運(yùn)動(dòng)（變加速曲線運(yùn)動(dòng)），其軌跡不是拋物線。這一類(lèi)問(wèn)題求解的主要思路是能量的觀點(diǎn)，應(yīng)用動(dòng)能定理、能量守恒，或動(dòng)量定理求解，而牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式聯(lián)立求解時(shí)總是顯得比較困難。 由于物理過(guò)程千變?nèi)f化，習(xí)題設(shè)計(jì)豐富多彩，質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，從整個(gè)物理過(guò)程看，可能全過(guò)程是一種運(yùn)動(dòng)形式，也可能全過(guò)程是由幾種運(yùn)動(dòng)形式在不同階段中的分 布，由此要特別注意不同運(yùn)動(dòng)階段的連接點(diǎn)（臨界點(diǎn)）的研究。還可能是不同的運(yùn)動(dòng)形式周期性的交替出現(xiàn)。運(yùn)動(dòng)形式分析的目的是劃分運(yùn) 動(dòng)階段，挖掘臨界狀態(tài)，確定各階段和臨界點(diǎn)所滿(mǎn)足的物理規(guī)律，從而更準(zhǔn)確的解答物理問(wèn)題。 二、 典型例析 （一）帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中的直線運(yùn)動(dòng) 例 1： 如圖所示，套在很長(zhǎng)的絕緣直棒上的小球，質(zhì)量為 m＝ 10－ 4kg，帶電量＋q＝ 10－ 4C，小球在棒上可以滑動(dòng)。將此棒豎直放在互相垂直勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度 E＝ 10N/C，方向水平向右，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B＝ ，方向垂直紙面向里。小球與棒間動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝ 。求小球由靜止沿棒豎直下落的最大速度（設(shè)小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所帶電量保持不變， g＝ 10m/s2）。 分析 :帶電小球沿絕緣棒下滑過(guò)程中，受豎直向下的重力，豎直向上的摩擦力，水平方向彈力、洛侖茲力及電場(chǎng)力作用。當(dāng)小球靜止時(shí)，彈力等于電場(chǎng)力，如圖（ 1）所示，此時(shí)小球在豎直方向所受摩擦力最小，合外力最大，其加速度最大；小球運(yùn)動(dòng)后，出現(xiàn)洛倫茲力，但彈力等于電場(chǎng)力與洛侖茲力之和，隨著小球運(yùn)動(dòng)速度的增加，所受洛侖茲力增大，小球在豎直方向摩擦力也隨之增大，合外力減小，小球的加速度減小，其速度仍然增加，小球作加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球加速度為零時(shí)，速度達(dá)到最大，此時(shí)的受力如圖（ 2）所示。此狀態(tài)為過(guò)程轉(zhuǎn)折的臨界點(diǎn)。以后小球作勻速運(yùn)動(dòng)。 解答 :（ 1）小球開(kāi)始下滑時(shí)，加速度最大，設(shè)為 am，其受力為圖（ 1），此時(shí)豎直方向有： mg－ f＝ mam? ① ；水平方向有： qE－ N＝ 0? ② ；又 f＝ μN(yùn) ? ③ ；由 ①②③ 聯(lián)立解得： am＝ (mg－ μqE)/m ＝ 2m/s2。 （ 2）小球沿棒豎直下滑至速度最大為 vm 時(shí)，加速度 a=0。其受力為圖（ 2），此時(shí)在豎直方向有： mg－ fm＝ 0? ④ ；水平方向有： qvmB＋ qE－ Nm＝ 0? ⑤ ；又 fm＝ μN(yùn) m? ⑥ ；聯(lián)立 ④⑤⑥ 解得： vm＝ (mg－ μqE)/μqm＝ 5m/s 點(diǎn)評(píng) :物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)加速度與速度方向相同時(shí)，即使加速度減小，速度也不斷增大，當(dāng)加速度減為零時(shí)，速度達(dá)到最大，此速度即為物體運(yùn)動(dòng)的收尾速度。求收尾速度問(wèn)題，一般物體受到的合外力大小隨速度發(fā)生變化，可用牛頓第二定律列出動(dòng)力學(xué)方程，然后令加速度為零，求得的瞬時(shí)速度即為收尾速度。 例 2： 空間存在水平方向互相正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為 E＝ 10 3 N/C，磁感應(yīng)強(qiáng) 度為 B＝ 1T，方向如圖所示。有一個(gè)質(zhì)量 m＝ 10－ 6kg，帶電量 q＝＋ 10－ 6C 的粒子在空間 做直線運(yùn)動(dòng)，試求其速度的大小和方向（ g＝ 10m/s2）。 分析 :先分析重力是否可以忽略。粒子的重力 mg＝ 10－ 5N，電場(chǎng)力 F1＝ Eq＝ 23 10－ 5N。因重力與電場(chǎng)力的大小處在同一數(shù)量級(jí)，故重力不能忽略。再看粒子是否受到洛侖茲力。若粒子平行于磁感線方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，不受洛侖茲力，但這樣一來(lái)，粒子的運(yùn)動(dòng)方向與重力和電場(chǎng)力的合力方向垂直，它不可能做直線運(yùn)動(dòng)，與題 設(shè)情景不符，故粒子一定受到洛侖茲力?？梢?jiàn)，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)共受到三個(gè)力：重力 mg，方向豎直向下；電場(chǎng)力 F1=Eq，方向水平向右；洛侖茲力 F2的大小方向與速度的大小方向有關(guān)，只要確定了洛侖茲力的大小和方向，就可確定速度的大小和方向。 那么是否存在這樣一種情形：洛侖茲力與重力平衡，粒子沿電場(chǎng)方向做直線運(yùn)動(dòng)呢？如果有，其受力如圖（ 1）所示，這種情形是不可能存在的，原因是隨粒子速度 v的變化，洛侖茲力 F2=qvB的大小也將變化，從而豎直方向的平衡被打破，粒子不可能作直線運(yùn)動(dòng)?？梢?jiàn)粒子不可能做變速直線運(yùn)動(dòng)，而只能做勻速直線 運(yùn)動(dòng)。且重力 mg、電場(chǎng)力 F洛倫茲力 F2三力平衡。 解答 :粒子的受力如圖（ 2）所示，由圖可得： tanα ＝ qE/mg＝ 3 ；則： α ＝ 600，F(xiàn)2＝ mg/cos600。因?yàn)椋?F2⊥v ，所以 θ ＝ α ＝ 600， qvB＝ mg/cos600=2mg。由此可得： v＝ 2mg/qB＝ 20m/s。即粒子將以 20m/s 的速度，與電場(chǎng)方向成 600角斜向上做勻速直EBfmgNF電圖（ 1）fmmgNmF電F洛圖（ 2）EBF2mgF1V圖 （ 1）F2mgF1αθV圖 （ 2） 線運(yùn)動(dòng)。 點(diǎn)評(píng) :本題只給定粒子在復(fù)合場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)，首先需要討論在復(fù)合場(chǎng)中力的作用下，只能做勻速直線運(yùn)動(dòng)，并由此確定重力、電場(chǎng)力 以及洛侖茲力三個(gè)力大小和方向的關(guān)系，再進(jìn)一步確定帶電粒子速度的大小和方向。 例 3： 一帶電量為＋ q、質(zhì)量為 m 的小球，從一傾角為θ的光滑斜面上由靜止開(kāi)始下滑。斜面處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向平行于斜面且垂直于紙面向外，如圖所示，求小球在斜面上滑行的速度范圍和最大距離。 分析 :以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，其受力情況為：重力、大小為 mg，方向豎直向下；支持力 N，方向垂直斜面向上；洛侖茲力 F 洛 ，方向垂直斜 面 向上；受力如圖（ 1）。 小球在離開(kāi)斜面之前，小球受沿斜面方向 的 力不變，則加速度 a不變，小球作勻加速直線運(yùn)動(dòng) 。沿斜面方向有： mgsinθ ＝ ma。沿垂直于斜面方向有： N＋ F 洛 ＝ mgcosθ 。由 F 洛 ＝ qvB，知 F 洛 隨著小球運(yùn)動(dòng)速度的增大而增大，當(dāng) F 洛 增大到使 N＝ 0時(shí)，小球?qū)⒚撾x斜面（臨界狀態(tài)）。此時(shí)小球的受力圖如圖（ 2）。以后小球作變加速曲線運(yùn)動(dòng)。 解答 :小球沿斜面作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為 a＝ gsinθ ；當(dāng)小球剛離開(kāi)斜面時(shí)，彈力 N＝ 0，受力如圖（ 2），設(shè)此時(shí)小球在斜面上運(yùn)動(dòng)速度的最大值為 vm，沿斜面的位移為 sm。此狀態(tài)下沿垂直斜面方向有：F 洛 ＝ qvmB＝ mgcosθ ，解得： vm＝ mgcosθ/qB 。則小球在斜面上滑 行的速度范圍是： 0＜ v≤mgcosθ/qB 。 小球在斜面上勻加速運(yùn)動(dòng)的最大距離為： sm＝ vm2/2a＝ m2gcos2θ/2q 2B2sinθ 。 點(diǎn)評(píng) :這是一道較為典型的電荷在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的綜合題，解這類(lèi)題時(shí)，首先應(yīng)從分析受力情況和運(yùn)動(dòng)情況著手，抓住 F洛 隨著 v的增大而增大這一動(dòng)態(tài)過(guò)程，挖掘出 N＝ 0這一臨界狀態(tài)的條件，從而判斷出小球在斜面上運(yùn)動(dòng)的最大速度。求小球在斜面上運(yùn)動(dòng)的最大距離，還