投資學屠新曙著第三章-資料下載頁
2025-05-09 22:27本頁面
【正文】 48 相關系數 ? 為了更好地說明問題 ， 我們可以用相關系數來衡量兩種證券的相關程度 。 ? 相關系數 是反映兩個隨機變量分布之間相互聯系的指標 ，它是一個標準化的計量單位 ， 取值區(qū)間為 [1， +1]， 可以更直觀地反映兩個隨機變量之間的相互關系 。 ? 證券 i與證券 j的相關系數 ρij為： （ ） ? 由公式（ ），例 5中證券 A、 B的相關系數是： jiijij ???? ? ??????BAABAB ????49 ? 當兩種證券間的相關系數是 +1時，表示它們的收益具有 完全的正相關性 ，不僅變動方向一致，而且變動程度也相同，此時證券組合的風險是個別風險的加權平均。 ? 當兩種證券間的相關系數是 1時，表示它們的收益具有 完全的負相關性 ，即變動程度相同但方向相反，這意味著兩種證券的風險可以相互抵消，此時證券組合的風險小于個別風險的和。 ? 當兩種證券間的相關系數是 0時，說明證券之間的收益變動 完全不相關 ，它們的收益變動方向和幅度都互不關聯，此時證券組合有利于降低風險。 50 證券組合的風險 ? 假設在一個證券組合中 ， 有 n種證券 。 證券 i（ i=1,2,… ,n）的風險用 σi表示 ， 它在這個組合中的權重記為 xi。 ? 我們用 σp表示證券組合的風險 ， 用組合中各種證券的權重組成的向量 ? 表示證券組合的權重向量 。 證券組合的風險公式為 （ ） ? 其中 ， σij是證券 i與證券 j的協方差 ， σp是證券組合的風險 ?????????????nxxxX?21211 1??????? ? ?? ?ninjijjip xx ??51 ? 因為 ，所以公式（ 39）可以寫為 （ ） ? 因為協方差矩陣 jiijij ???? ?211 1??????? ? ?? ?ninjjiijjip xx ??????????????????nnnnnn????????????????21222211121152 ? 所以公式（ 39）可以改寫為 （ ） ? 其中， 稱為證券組合的方差。 ? 是權重向量 X的轉置向量 ? 由于協方差矩陣 是正定對稱矩陣，所以公式（ 311）是一個關于權重向量 X的正定二次型。 ? ? ? ? XXxxxxxx TTnnp ???? ,, 21212 ???? ?nxxx , 21 ??2p?53 例 6：假設股票 A、 B、 C的協方差矩陣為： 現有一個證券組合，在這個證券組合中，股票 A、 B、 C的權重分別是： 那么，由公式（ 38），我們可知這個證券組合的風險為： 而由協方差矩陣可知，證券 A、 B、 C的風險分別是： %、 %、 % 所以證券組合的風險比任何一種證券的風險都小很多。 ????????????????????? ??? CBA xxx? ? ? ?? ? % 00 2121 ????? Tp?54 思考題： ? 1. 下表是有關股票 A、 B、 C收益率的信息，請計算 a）每只股票的預期收益率； b）每只股票的風險； c）三只股票間的些方差矩陣； d）每兩只股票間的相關系數。 ? 2. 協方差衡量的是什么？如果兩種證券之間的些方差為負，表示什么？ ? 3. 證券 A、 B的收益率序列如下表，如果預期收益率按樣本均值計算，請計算 a）每只股票的樣本方差和風險； b） A、 B股票間的些方差和相關系數。 概率 股票收益率 A B C 24% 18% 10% 1% 12% 16% 12% 8% 4% 2% 2% 7% 10% 13% 21% 第 ?年 1 2 3 4 5 6 年收益率 A － % % % － % － % % B 2% % % － % % % 55 ? 4. 證券 A和 B的預期收益率分別是 13％和 5％，它們的風險分別是 10％和 18％，它們之間的相關系數是 。李衛(wèi)購買了 30000元的證券 A，并買空了 10000元的證券 B，他的投資組合的預期收益率和風險各是多少？ ? 5. 給定三種證券的方差 — 協方差矩陣如下，每一成員證券所占組合的百分比分別是 、 、 ，計算組合的標準差。 ? 6. 王平擁有三種證券，估計有如下的收益率的聯合概率分布： 如果王平的資金有 20％投資于證券 A， 50％投資于 B， 30％投資于 C，計算組合的預期收益率和風險。 ??????????????????179215112215312211112211459結果 A B C 概率 1 10 10 0 2 0 10 10 3 10 5 15 4 20 10 5 56 ? 7. 如果一個組合的預期收益率等于各成員證券的預期收益率的加權平均，為什么一個組合的風險一般不等于各成員證券的風險的加權平均？ ? 8. 何時組合的風險等于各成員證券的風險的加權平均？對于兩個證券的組合情形，證明這一數學結果。 ? 9. 考慮兩種證券 A和 B，預期收益率分別為 15％和 20％，風險分別為 30％和 40％，分別計算相關系數為： a) ； b)0； c)－ ，等權數的組合的風險。 ? 10. 三種證券的風險、相關系數分別是： a) 如果一個組合由 20％的證券 A和 80％的證券 C組成，則組合的風險是多少？ b) 如果一個組合由 40％的證券 A、 20％的證券 B和 40％的證券 C組成，則組合的風險是多少？ c) 如果要用證券 A和證券 B設計一個證券組合，投資于每種證券的一個怎樣的百分比能夠產生一個零風險的組合？ 證券 風險 相關系數 A B C A B C 12% 15% 10% 1 1 1 1 1
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