【正文】 變換”變成了“帶通濾波組”。 a=1， 2， …… ， n 時(shí)濾波器組合在一起形成了小波變換。 , 1( ) ( ) ( )a b axbx x baa? ? ??? ? ?*( ) ( )aax b b x??? ? ? 圖 一維帶通濾波器組 )(~1 x?)(~2 x?()n x?)(xf),(~)(),1( 1 bxxfbW f ???2( 2 , ) ( ) ( , )fW b f x x b???( , ) ( ) ( , )fnW n b f x x b???( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( )f a a aW a b f x x b d x f x b x d x f x x b? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???Digital Image Processing 47 （ 2）二維濾波器組 （ 2D filter banks） 2DCWT可用一組二維帶通濾波器組來(lái)替代， 濾波器組的所有的輸出組成了的二維小波變換的結(jié)果， 2DCWT的結(jié)果是三維函數(shù)，存在冗余度，主要價(jià)值在圖像的分解和分析。 帶通濾波器 的沖激響應(yīng) 輸入圖像 濾波輸出 疊層 圖 二維濾波器組 ),( yxf),(),(),1(1 yxyxfbbW yxf???),(),(),2(2 yxyxfbbW yxf???),(),(),3(3 yxyxfbbW yxf???),(),(),(yxyxfbbnWnyxf ???Digital Image Processing 48 子帶濾波最初用于音頻，后來(lái)發(fā)展應(yīng)用到圖像處理領(lǐng)域。 信號(hào)頻譜＝低帶 +高帶 ? 分別處理 ? 處理后 信號(hào)頻譜＝低帶 ed+高帶 ed。 分別針對(duì)信號(hào)不同頻帶的特點(diǎn)進(jìn)行處理，比對(duì)整體信號(hào)進(jìn)行處理有效。 分解以后的子帶還可以進(jìn)一步再分解，如此進(jìn)行下去，就是小波分解方法。 （ 1）子帶分解和綜合 圖 雙子帶編碼和重建 2:1 G0(z) 分解 G0’ (z) 1:2 G1’ (z) 半長(zhǎng)度 2:1 G1(z) 1:2 H0(z) F (z) H1(z) Y (z) K1(z) K0(z) 綜合 G0’’ (z) G1’’ (z) 49 x(i)的 2抽取信號(hào) x(i)的 2插值信號(hào) （ ） （ ） 可得： （ ） （ ） 輸入和輸出的關(guān)系（參照?qǐng)D ）： （ ） )]()([21)()( 00200 zGzGzGzG ???????)]()([21)()( 11211 zGzGzGzG ???????)()]()()()([21)()]()()()([21)]()()()()[(21)]()()()()[(21)(11001100111000zFzKzHzKzHzFzKzHzKzHzFzHzFzHzKzFzHzFzHzKzY???????????????1 2 )]()([21)( 2121zXzXzX dow n ??? )()( 2zXzXup ???????oddieveniixixup 0)2/()(( ) ( 2 )d o w nx i x i? Z變換 Z變換 Digital Image Processing 50 要使 F(z)= Y(z)，方法之一是（ ）式中以下 2條件同時(shí)成立： 第 2項(xiàng)： ，保證沒(méi)有頻譜混疊； 第 1項(xiàng)： ，保證重建信號(hào)為 F(z)。 正交鏡像濾波器（ QMF， Quadrature Mirror Filter），在 0～ sN區(qū)間滿足： ① ② ③ 0)()()()( 1100 ???? zKzHzKzH2)()()()( 1100 ?? zKzHzKzH和 SN/2對(duì)稱 s 0 sN /2 H1 sN H0 圖 鏡像濾波器 )()( 00 zHzK ?)()( 01 zHzK ???)()( 01 zHzH ??第 2項(xiàng)＝ 0 第 1項(xiàng)＝ 2 H0和 H1之間 為鏡像的關(guān)系 Digital Image Processing 51 f (i) 1DFWT分解 N點(diǎn) 1DIFWT綜合 h0(i) 2:1 h1(i) 2:1 h0(i) 2:1 h1(i) 2:1 h0(i) 2:1 h1(i) 2:1 h0(i) 1:2 h1(i) 1:2 h0(i) 1:2 h1(i) 1:2 h0(t) 1:2 h1(i) 1:2 g1(2i ) g1(4i ) g1(8i ) f (i) 低 N/2點(diǎn) 低 N/4點(diǎn) 低 N/8點(diǎn) 高 N/2點(diǎn) 高 N/4點(diǎn) 高 N/8點(diǎn) 圖 Mallat快速小波變換算法 （ 2）從子帶濾波到小波變換 Mallat定義了一種采用雙子帶編碼的快速小波變換算法（ FWT）， 如上圖，又稱為“魚骨算法”（ herring bone algorithm）。 Digital Image Processing 52 第 5節(jié) 離散小波變換 （ 1）離散小波變換 （ DWT， Discret Wavelet Transform） 對(duì)小波連續(xù)變換的參數(shù) a、 b離散化，如 a=a0j， b=ka0jb0 。 離散化小波函數(shù)： （ ） 離散小波變換為： （ ） 離散小波反變換為： （ ） /2, 0 0 0( ) ( )jjjk x a a x k b?? ????/2, 0 0 0( , ) ( ) ( ) ( ) ( )jjf j kRRD W j k f x x d x f x a a x k b d x????? ? ? ???,( ) ( , ) ( )f j kjkf x C D W j k x?? ??Digital Image Processing 53 （ 2）二進(jìn)小波 （ Dyadic Wavelet） 設(shè) a0=2，則 a=2j，設(shè) b0=1，則 b=2 jk，形成二進(jìn)制平移和伸縮。 二進(jìn)小波函數(shù)： （ ） 二進(jìn)小波變換： （ ） 二進(jìn)小波反變換： （ ） 2,2( ) 2 ( 2 ) ( , )j jjk x x k j k? ? ?? ?? ? ?/222( , ) ( ) ( , ) 2 ( ) ( 2 )jjfRRD W j k f x j k d x f x x k d x????? ? ? ???22( ) ( , ) ( , )fjkf x C D W j k j k?? ??54 二進(jìn)小波基函數(shù)的示例 b=4 b=4 b=3 b=2 b=2 b=1 b=0 b=0 b=0 a=1 a=1/2 a=1/2 a=1/2 a=1/4 a=1/4 a=1/4 a=1/4 a=1/4 j=0k=0 j=1k=0 j=1k=4 j=1k=8 j=2k=0 j=2k=4 j=2k=8 j=2k=12 j=2k=16 x 0 1 2 3 4 5 圖 二進(jìn)小波示意圖 Digital Image Processing 55 （ 3）正交二進(jìn)小波 如果二進(jìn)小波函數(shù) 滿足： （ ） 則稱為正交小波集。 如果任一函數(shù) f(x)，可由正交小波基的線性組合表示，也可稱作小波級(jí)數(shù)： （ ） ??? ???????e l s emkandljmlkjmlkj 01,, ????,( ) ( )j k j kjjf x c x???? ? ? ? ? ?? ??/2, ( ) ( ) 2 ( ) ( 2 )jjj k j kc f x x f x x k d x??????? ? ? ? ? ??－ －/2, ( ) 2 ( 2 )jjjk x x k????－ －f(x)的小波系數(shù) Digital Image Processing 56 （ 3）正交小波基幾例 1） Haar正交小波基 : （ ） 2） Meyer正交小波基，其傅里葉變換為： （ ） 3）二階 Marr正交小波基 :