【導(dǎo)讀】為一個確定的數(shù).jiaij得到下列式子：1112. aaaa稱為一個二階行列式，稱為一個三階行列式，它如何進行運算呢？教材上有類似于二階。素的余子式及代數(shù)余子式的概念.)1(，稱ijA為元素ija的代數(shù)余子式.性質(zhì)3互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號.以后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為D.a，利用這個元素可以把這一列其它兩個非零元素化為0，然。后按第二列展開.列式的特點是它的每一行元素之和均為ba3?（我們把它稱為行和相。，再將后三行都減去第一行：。，則原行列式的值為零，以把第一列的（－1）化為零.

　　

【正文】 例 12 設(shè)有三階矩陣???????????010100002A 和 ?????????????260010001B ，試判斷 BA, 是否相似？若相似，求出可逆矩陣 P ，使得 APPB 1?? 。 例 13 設(shè)矩陣 A 與 B 相似，其中????????????11322002xA ， ????????????yB00020001 ， 1）求 x 和 y 的值； 2）求可逆矩陣 P ，使得 APPB 1?? 。 題型 5 與方陣的對角化相關(guān)的命題 例 14 設(shè)??????????????aaaA225410201 ，問 A 能否對角化。 例 15 設(shè) n 階矩陣 A 滿足 OEAA ??? 232 ，證明 A 相似于一對角矩陣。 例 16 判斷矩陣???????????????020212022A 是否可以對角化？ 例 17 設(shè) n 階可逆矩陣 A 可對角化，證明： A 的伴隨矩陣也可對角化。 題型 6 有關(guān)實對稱矩陣的命題 例 18 已知 3,6 321 ??? ??? 是實對稱矩陣 A 的特征值，且對應(yīng)于332 ???? 的特征向量為 T)1,0,1(2 ??? ， T)1,2,1(3 ??? ，求 A 對應(yīng)于61?? 的特征向量及矩陣 A 。 題型 7 利用特征值與相似矩陣求行列式 例 19 設(shè) T)1,0,1( ??? ，矩陣 nA T ,??? 為正整數(shù)，則 nAaE?＝ 。 例 20 已知三階矩陣 A 的特征值為 1，－ 1， 2，設(shè) EAAB ??? *2* 3)( ， 試求（ 1）矩陣 B 的特征值及其相似標(biāo)準(zhǔn)形； （ 2）行列式 B 及 EA 3*? 。 題型 8 利用相似對角化求方陣的冪 例 21 三階矩陣 A 的特征值分別為 3,1,1 321 ???? ??? ，對應(yīng)的特征向量依次為：????????????0111?，????????????1112?，????????????1103?，又向量????????????023? ， （ 1） 將 ? 用 321 , ??? 線性表示； （ 2）求 nA n (? 為正整數(shù)）。 IV 本章小結(jié) 重點難點： 求矩陣的特征值和特征向量； 已知矩陣的特征值或特征向量，反求矩陣中的參數(shù)； 矩陣可相似對角矩陣的判定及化矩陣為對角矩陣。 第六章 二 次 型 I 考試大綱要求 考試內(nèi)容：二次型及其矩陣；標(biāo)準(zhǔn)二次型和規(guī)范二次型；二次型的秩；矩陣的合同變換和合同等價；慣性定理；用正交變換和配方法把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)二次型；正定二次型和正定矩陣。 考試要求： 1）掌握二次型及其矩陣 ，了解二次型的秩的概念，了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化的概念以及慣性定理。了解矩陣的合同變換和合同等價。 2）掌握用正交變換和配方法把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)二次型的方法。 3）了解正定二次型和正定矩陣及其性質(zhì)和判別法。 II 重要知識點 一、二次型及其矩陣表示 二次型的定義：以數(shù)域 P 中的數(shù)為系數(shù)，關(guān)于 的二次齊次多項式 稱為數(shù)域 上的一個 元二次型，簡稱二次型。 二次型的矩陣表示 設(shè) 階對稱矩陣 則 元二次型可表示為下列矩陣形式： 其中 。對稱矩陣 稱為二次型的系數(shù)矩陣，簡稱為二次型的矩陣。矩 陣 的秩稱為二次型 的秩。 二次型與非零對稱矩陣一一對應(yīng)。即，給定一個二次型，則確定了一個非零的對稱矩陣作為其系數(shù)矩陣；反之，給定一個非零的對稱矩陣，則確定了一個二次型以給定的對稱矩陣為其系數(shù)矩陣。 線性變換 設(shè) 和 為兩組變量，關(guān)系式 其中 為實數(shù)域 (或復(fù)數(shù)域 )中的數(shù)，稱為由 到 線性變換，簡稱線性變換。 線性變換的矩陣表示，設(shè) 階矩陣 ，則從 到 線性變換可表示為下列矩陣形式： ，其中 ， ， 稱為線性變換的系數(shù)矩陣。 1) 當(dāng) 時，線性變換 稱為非退化的線性變換。 2) 當(dāng) 是正交矩陣 時，稱 為正交線性變換，簡稱正交變換。 3) 線性變換的乘法。 設(shè) 是由 到 的非退化的線性變換，而 是 到 的非退化的線性變換，則由 到 的非退化的線性變換為： 。 二次型 經(jīng)過非退化的線性變換 化為 (其中 ) 仍是一個二次型。 矩陣的合同關(guān)系：對于數(shù)域 上的兩個 階矩陣 和 ，如果存在可逆矩陣 ，使得 則稱 和 是合同的，記為 。 合同關(guān)系性質(zhì)： 1) 反身性： ； 2) 對稱性： ，則 ； 3) 傳遞性： ，且 ，則 。 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 1) 實數(shù)域 (或復(fù)數(shù)域 )上的任意一個二次 型都可經(jīng)過系數(shù)在實數(shù)域 (或復(fù)數(shù)域 )中的非退化線性變換化成平方和形式： 其中非零系數(shù)的個數(shù)唯一確定，等于該二次型的秩。上述形式的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。 2) 任何對稱矩陣都與一個對角矩陣合同。 3）復(fù)二次型的規(guī)范形： 任何復(fù)系數(shù)二次型都可經(jīng)過復(fù)數(shù)域 中的非退化線性變換化成如下最簡形式平方和： ，其中 唯一確定，等于該二次型的秩。上述形式的復(fù)二次型稱為復(fù)二次型的規(guī)范形。 任何復(fù)數(shù)域 C 上的對稱矩陣都合同于一個形如： 的對角矩陣，其中 的個數(shù)等于該矩陣的秩。 4）實二次型的規(guī)范形 任何實系數(shù)二次型都可 經(jīng)過實數(shù)域 中的非退化線性變換化成如下最簡形式平方和： ，其中 和 唯一確定， 為二次型的秩。上述形式的實二次型稱為實二次型的規(guī)范形， (正平方項的個數(shù) )稱為實二次型的正慣性指數(shù)， (負平方項的個數(shù) )稱為實二次型的負慣性指數(shù)， 稱為實二次型的符號差。 任何實數(shù)域 上的對稱矩陣都合同于一個形如： 的對角矩陣，其中對角線上非零元素的個數(shù)等于矩陣的秩， 的個數(shù)由對稱矩陣唯一確定，稱為它的正慣性指數(shù)。 利用正交變換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 設(shè) 是 階實對稱矩陣，按以下步驟進行： ① 解特征方程 ，求出 的全部特征值 。 ② 解齊次線性方程組 ，求出基礎(chǔ)解系，得到 重特征值的 個線性無關(guān)的特征向量。 ③ 利用施密特正交化方法，使得屬于 重特征值的 個線性無關(guān)向量組正交化，并使其單位化。 ④ 將求得的 個單位化正交特征向量組作為矩陣 的列向量，從而得到所需的正交矩陣 。 ⑤ 為對角矩陣，其對角元素為 的全部實特征值，它們在對角矩陣的排列順序，與其特征向量在 中的排列順序一致。 對于二次型 ，令 ，將二次型 化成如下形式平方和： 其中 為二次型的矩陣的全部特征值。 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 數(shù)域 上的任一個二次型都可經(jīng)過 非退化的線性替換 化為標(biāo)準(zhǔn)形，即： 。 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，而標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)不為零和系數(shù)為正的平方項的個數(shù)都是唯一確定的。 化標(biāo)準(zhǔn)形的方法： 1) 配方法。 2) 初等變換法，其要點可簡單表示為： 其中 為二次形的矩陣， 為對角矩陣，其對角元素依次為 。注意，在初等變換過程中，作完一次列變換，緊接著作一次相應(yīng)的行變換，這樣一來，矩陣 的對稱性質(zhì)始終保持不變。當(dāng) 化為對角矩陣 的同時，即可得到由變量 到 的非退化線性變換系數(shù)矩陣 。于是當(dāng)作線性變換 時，則可使二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形。 3) 正交變換法：先按 上一章利用正交矩陣化實對稱矩陣為對角矩陣的方法求得 ，使 為對角矩陣。由于 為正交矩陣， ，所以同時使 為對角矩陣。于是令正交變換 ，則二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形 ，其中 為二次型的矩陣的全部特征值。 化規(guī)范形的方法： 1) 任一實二次型 都可經(jīng)過非退化線性變換 ，化為規(guī)范形，即 ，稱 為二次型的正慣性指數(shù)， 為二次型的負慣性指數(shù)。任一實二次型的規(guī)范形是由二次型的秩與正慣性指數(shù)唯一確定的。 2) 任一復(fù)二次型都可經(jīng)過非退化線性變換 ，化為規(guī)范形，即：f ，任一復(fù)二次型的規(guī)范形是由其秩唯一確定的。 二、正定 二次型和正定矩陣 基本概念 設(shè)實二次型 ，如果對于任意一組不全為零的實數(shù) 都有 (或 0，或≥ 0，或≤ 0，或符號不定 ) 則稱二次型 為正定的 (或負定的，或半正定的，或半負定的，或不定的 )。 用矩陣形式表示上述定義： 設(shè) 為 階實對稱矩陣，若對任意非零向量 ，都有 (或 0，或≥ 0，或≤ 0，或符號不定 ) ，則稱二次型 為正定的 (或負定的，或半正定的，或半負定的，或不定的 )，其矩陣 稱為正定矩陣 (或負定矩陣，或半正定矩陣，或半負定矩陣，或不定的矩陣 )。 正定二次型的判定 1）二次型 是正定的充分 必要條件是其矩陣 是正定矩陣。 2） 元二次型 是正定的充分必要條件是其正慣性指數(shù)為 ，即其規(guī)范形為 。 3）二次型 是正定的充分必要條件是其矩陣 的特征值全大于零。 4） 元二次型 是正定的充分必要條件是其順序主子式全大于零，即： 。 5）實對稱矩陣 是正定的充分必要條件是 與單位矩陣合同。 6）兩個正定矩陣的和仍為正定矩陣。 III 題型歸納及思路提示 題型 1 二次型對應(yīng)的矩陣及相關(guān)性質(zhì) 例 1 設(shè) 為 階實對稱矩陣， ， 是 中元素 的代數(shù)余子式，二次型 。 1）記 ，把 寫成矩陣形式，并證明二次型 的矩陣為 。 2）二次型 與 的規(guī)范形式是否相同？說明理由。 例 2 設(shè)實對稱矩陣 的特征值全大于 ，實對稱矩陣 的特征值全大于 ，證明： 的特征值全大于 。 題型 2 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 例 3 將二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出相應(yīng)的非奇異線性變換。 例 4 利用正交變換將二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出相應(yīng)的非奇異線性變換。 題型 3 已知二次型通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，反求參數(shù) 例 5 已知二次型 通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn) 形 ，求參數(shù) 及所用的正交變換矩陣。 例 6 設(shè)二次型 在正交變換 下化為 ， 的第三列為 。 1）求 ； 2）證明 是正定矩陣。 例 7 設(shè) ，正交矩陣 使得 是對角矩陣，并且 第一列為 ，求 和 。 題型 4 有關(guān)二次型及其矩陣正定性的判定與證明 例 8 設(shè) 是 階正定矩陣， 是 階單位矩陣，證明： 。 例 9 若二次型 是正定的，則 應(yīng)滿足的條件為 。 例 10 證明：若 是正定矩陣， ， ， 也是正定矩陣。 例 11 設(shè)為 為實對稱矩陣，則 充分大時， 為正定矩陣。 例 12 設(shè)為 為 階實對稱矩陣，且 ，證明： 為正定矩陣。 例 13 設(shè) ，證明： 元實二次型 在條件 的最大值恰為矩陣 的最大特征值。 例 14 設(shè) 為 實矩陣，且 ，證明： 為正定矩陣的充要條件是 。 例 15 設(shè) 是一個實二次型，問 滿足什么條件時，此二次型正定？ 例 16 設(shè) 是 實矩陣， 是 階單位矩陣，已知矩陣 ， 證明：當(dāng) 時，矩陣 為正定矩陣。 例 17 設(shè) ， 是兩個 階實對稱矩陣，且 為正定矩陣，證明存在一個 階可逆矩陣 使 和 同時為對角形矩陣。 例 18 設(shè) 為正定矩陣，其中 ， 分別為 階， 階實對稱矩陣， 為 矩陣。 1）計算 ，其中 ； 2）利用 1）的結(jié)果判斷矩陣 是否為正定矩陣。 IV 本章小結(jié) 重點難點： 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形； 判斷矩陣是否為正定矩陣及其性質(zhì)的證明。 與前幾章相比，本章考題出現(xiàn)的頻率相對低一些，從內(nèi)容上看主要有三個方面： 1）二次型的標(biāo)準(zhǔn)形問題； 2）用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形正、反兩方面的問題； 3）判斷矩陣是否為正定矩陣及其性質(zhì)的證明。 二次型考到的知識點多，涉及到行列式及矩陣運算、正交矩陣、正交化方法、基礎(chǔ)解系、特征值及特征向量 等方面，因此這里的題目綜合性強。