【導讀】1905年愛因斯坦在解釋光電效應時提出光量子概念，1913年玻爾將普朗克-愛因斯。坦量子概念用于盧瑟福模型，提出量子態(tài)觀念，成功地解釋了氫光譜。此外，利用泡利1925年提出。應的一系列實驗事實。至此形成的量子論稱為舊量子論，有嚴重的缺陷。拉克等人建立了量子力學，它與相對論成了近代物理學的兩大理論支柱。二象性的必然結果。量子力學的主要內(nèi)容：1)相關的幾個重要實驗；2)有別于經(jīng)典物理的新思想；3)解決具體問題的方法。難以解決的內(nèi)在矛盾，故有重大缺陷。（薛定諤的非難“糟。19世紀初，菲涅爾、夫瑯和費、楊氏等人通過光的干涉、衍射實驗證實光的波動性?？梢姡庠趥鞑r顯示波性，在傳遞能量時顯示粒。將物體的運動同波的傳播分開”。但并不意味著宏觀中不存在，這一觀點已為大量事實所證明。從德布羅意波的角度來看，氫原子實際上是一個德布羅意波被關在庫侖場中的情形。

　　

【正文】 ?????? ?????)(0, 0, ，舍去與波函數(shù)的單值性不符?? ?????DC BeAeii 由于 ??m 須為整數(shù)或 0，故其特解為： ?,meπΦ im φm 21021 ????,其中系數(shù)π21是按波函數(shù)的歸一化條件得到的。 這一特解得到的波函數(shù)是算符 zL? 的本征函數(shù)： mzmz ΦLΦL ?? 。于是得到玻爾的量子化條件： ?mLz ? 方程 (2) 中，令 ?cos?u ，得到新的函數(shù) )()( ???uP ，則 (2) 變?yōu)椋旱谌? 量子力學導論 第 19 頁 共 23 頁 19 )2(0)1(])1[( 222 ?????? ????PumdudPudud ? 結果 1) ??? ????? ??? lmlm lll ?? ,2,1,0, ,2,1),1(? 于是得到： mlmlml YllYLYL ,2,2,2 )1(? ???? 因此算符 2?L 的本征函數(shù)是 mlY, ，相應的本征值是 22 )1( ??? llL ，故 總角動量也 呈量子化。 結果 2) 方程 )2(? 的解為： )()( uPuP ml? 締合勒襄德多項式： )()1()( 22 uPduduuP lmmmml ?? 其中勒襄德多項式： lllll ududluP )1(!21)( 2 ?? 綜合以上有關結果，得到算符 2?L 的本征函數(shù) (為球諧函數(shù) )： ???? immllmlm ePNY )( c o s),( ? 上式中 lmN 是歸一化常數(shù)，按歸一化條件可求得)!(4 )12()!( ml lmlN lm ? ??? ? 可得到某些球函數(shù)的表達式，并得到波函數(shù)的 ? 部分的圖示 (詳見教材 )。 關于球諧函數(shù) )()()(),()(),( ??????? ???? rRYrRr 的宇稱 球諧函數(shù)作為軌道角動量的本征函數(shù)，在坐標原點的宇稱變換有重要的特性。 例如 ),().,( ?????? ??? rr ， 則可證明： ),()1(),( , ?????? mllml YY ???? 可見變換得到的新球諧函數(shù)與原函數(shù)只差一個 負號，其正負 由 l 決定。當 l 為偶數(shù)時為正， mlY,具有偶宇稱；當 l 為奇數(shù)時為負， mlY, 具有奇宇稱。又由于波函數(shù) ? 的 )(rR 部分不存在變換，所以 l的奇偶決定了 ? 的宇稱的奇偶性。 采用宇稱算符 P? 表示坐標的反演。 例如 )(r?? 具有確定的宇稱，則 )()(? rrP ?? ???? 顯然， )()(?)(? 2 rrPrP ??? ??? ??? 因此，宇稱算符 P? 對應的本征值 1??P 。波函數(shù)的宇稱或正或負。 第三章 量子力學導論 第 20 頁 共 23 頁 20 一般地，體系沒 外力作用時，哈密頓量在宇稱算符作用下不變。因此波函數(shù)的宇稱是運動常數(shù)，其奇偶性不隨時間而變。 對于徑向方程 (3)，必須知道 )(rV 的具體形式才能求解?？紤]氫原子的 電 子 在 庫 侖 場 中 運 動 ， 即 取 rZerV 2)( ?? ， 則 ：)4(]2 )1()(2[ 22 2222 ?????????? ERRrZerlldrdrdrdr ????? ?? 只考慮電子處于束縛態(tài)的情形，即 E為負值。但要注意，束縛電子的勢阱除庫侖勢外還有離心勢 (上式中第二項 )，兩者合成為有效勢：rZerllrV 22 22 )1()( ??? ? ?有效 (4)式不易求解，可先考察 其漸近解和極端情況。 定義：22 2?Ek ??，考慮角動量基態(tài) ( 0?l )，則 (4)變?yōu)椋? )5()22(]2)([ 22 22222 22 ????? RkRrZedrdRrdr RdRkRrZedrdrdrd ?????? ?? 當 ??r 時 有 0222 ?? RkdrRd ，知 01 ?C ，其漸近解為 krkr eCeCR ??? 21 。欲使 kreR ?~ 對所有的 r都成立， 須使 0)22(22 ?? RrZedrdRr ?? ，或122aZZek ?? ??。 1a 為第一玻爾半徑。 由此得基態(tài)能量 ??? EZE 21 。其中 eVE ?? 為玻爾基態(tài)能量。 據(jù)已有的經(jīng)驗可知能量的本征譜可表達為：??? EnZEn 2)( 現(xiàn)在 嚴格求解波函數(shù) ，對于 (4)，除引入22 2?Ek ??外再引入兩個無量綱的參量：krkZe 2,2 2 ?? ??? ? ，則徑向方程 (4)變?yōu)椋?)5(0])1(41[2 222 ?????????? RllddRd Rd ?????? 當 ??? 時 有 04122 ?? Rd Rd?，漸近解為 2???eR 。 由此可假設 (5)的解為 )()( 2 ?? ? FeR ?? ，并將其代入 (5)即得： )6(0])1(1[)12( 222 ??????????? FllddFd Fd ?????? 第三章 量子力學導論 第 21 頁 共 23 頁 21 (6)式在 0?? 處仍有奇性，一般以冪級數(shù)形式求解： jj js aF ??? ???? 0)( 上式中 s是大于 0的待定整數(shù)，以保證 r=0時的波函數(shù)的有限性。將上式代入 (6)，經(jīng)整理后有： 0])()1[()]1()(2)1)([( 1020 ???????????? ???????? ?? jsjjjsjj ajsralljsjsjs ?? 欲使上式成立， ? 的各級冪次項的系數(shù)須為 0，取展開中的零次項 ( 0?j )并使 ? 的最低冪的系數(shù)為 0，得 ：??? ???????? )題 意，舍去(),1()1()1( 不合ls lsllss 從而有： (7)02 ????jj jlρ ρaρeR( ρ( ????? (7)式與波函數(shù) 標準條件不符 ( ??? 時將趨向無限大 )，因此級數(shù)只能包含有限項 。例如當)(整數(shù)n?? 時， 01 ???? j)(s)(γ ，于是得到 22?kμZen? ，從而得到 ??? )EnZ(En 。 再令 )()( ρGρρF l? ，將 (7)式改寫為 )()( 2 ρGρeρR lρ?? 則 (6)式變?yōu)榫喓侠丈w爾方程： 0G1lnd ρdGρ1l2d ρGdρ 22 ????? )]([])([ 其解為締合勒蓋爾函數(shù)： )()( 12 ?? ??? l lnLG 歸一化的徑向波函數(shù) ： )(8 )2Z()2Z)(Ze xp (}]![2 ])!1([)2{()(1121121331 narLna rna rl)(nn lnna ZrR l lnlnl ????????? 對應于每一個本征能量值 nE ，有 n個本征函數(shù) nlR ；對應于每一個 l 值，有 )l( 12? 個本征函數(shù)lmY 。故對應于每一個 nE 值， 有 210 12 n)l(nl ?????個 lmnnlm YR?? 。能態(tài)的簡并度是 2n (未考慮電子的自旋 )。 所得能量值于玻爾理論一致。關于軌道角動量，兩種理論的基本觀點有所不同，但可借用經(jīng)典概念，把量子力學中氫的軌道角動量的“大小”視為 .n,l,)l(l 12101 ??? ?? 、電子云圖 氫原子歸一化的波函數(shù)應滿足： 122222 ???? ?? ????? ddr ds inrRd 2? 是電 子在空間分布的 幾 率密度，電子在三個坐標的 幾 率密度是獨立的，可分不同坐標來觀第三章 量子力學導論 第 22 頁 共 23 頁 22 察。故以上歸一化條件可寫成：???????????????1112222???ddsindrrR 此前已證明?212 ??，即電子的 幾 率分布是旋轉對稱的，且與磁量子數(shù) m無關。 ?sin2? 是電子出現(xiàn)在 )d,( ??? ? 中的 幾 率密度 )( ????0 ，因 ? 是 ?cos 的函數(shù)，故?sin2? 對稱于 2??? 平面。又因 ? 是決定于角量子數(shù) l 和磁量子數(shù) m 的函數(shù)，故電子在 ? 角的 幾率分布決定于量子數(shù) l 和 m。 22rR 是電子出現(xiàn)在 )drr,r( ? 中的 幾 率密度，叫徑向 必 率密度，決定于主量子數(shù) n 和角量子數(shù) l 。 徑向波函數(shù)的某些表達式及 幾率 密度圖示詳見教材。 宇稱是描述微觀粒子波函數(shù) 空間反演對稱性的物理量 。 設有某函數(shù) )r(? ，當坐標作反演變換，即 )r()r(,rr ???? ?? 時，會出現(xiàn)不同的情況 。如 )r(? 與 )r(?? 完全不同 (如 xe 與 xe? 完全不同 )，則此函數(shù)沒有反演對稱性。如 )r(? 與 )r(??僅差一個正負號，則它具有空間反演對稱性，并有一定的宇稱值。 )r()r( ???? ，有偶宇稱；)r()r( ??? ?? ，有奇宇稱。 原子波函數(shù)是有空間反演對稱性的，可證明， 凡量子數(shù) l 為偶 (奇 )數(shù)的波函數(shù)屬偶 (奇 )宇稱。 多電子體系的宇稱由 ?i il的奇偶來決定?？臻g對稱變換可用一個宇稱算符 ?? 來表示，即)r()r(? ??? ?? 。 ?? 有本征值 1? 和本征函數(shù) )r(? ，即 )r()r(? ?? ??? ，原子波函數(shù)都是 ?? 的本征函數(shù)。 （略） 以薛定諤方程為基礎而建立的波動力學和 海森堡建立的矩陣力學是量子力學的兩大理論體系，后經(jīng)薛定諤證明兩大理論等價。 這兩大理論的出現(xiàn)，通常認為是舊量子論和量子力學的分界。量子力學的理論與玻恩對波函數(shù)的解釋及海森堡不確定關系一起，形成非相對論量子力學的嚴密體系，不僅解釋了氫原子，還成功地解釋了氦原子，以及其它的原子和分子現(xiàn)象。但非相對論量子力學還有缺陷，對電子自旋等問題也無法解決。 第三章 量子力學導論 第 23 頁 共 23 頁 23 1928年狄拉克建立起來的相對論量子力學成功地解釋了電子自旋現(xiàn)象。但相對論量子力學仍不能說是完善的。