【導(dǎo)讀】2．復(fù)習(xí)算法的重點應(yīng)放在讀懂程序框圖上，尤其要重視循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，的變量，例如Y＝x，表示用x的值替代變量Y的原先的取值，不能改寫為x＝Y(jié).①任何一個程序框圖都必須有起止框；②輸入框只能在開始框之后，輸出框只能放在結(jié)束框之前；③判斷框是唯一具有超過一個退出點的圖形符號；解析第1次運行后，x＝5×3－2＝13＜200，第2次運行后，x＝13×3－2＝37. ＜200，第3次運行后，x＝37×3－2＝109＜200，第4次運行后，x＝109×3－2. 解析∵1＜3，∴x＝1＋3＝4.第一步，輸入x0，y0及直線方程的系數(shù)A，B，C.第二步，計算Z1＝Ax0＋By0＋C.第三步，計算Z2＝A2＋B2.認(rèn)真分析問題，聯(lián)系解決此問題的一般數(shù)學(xué)方法；綜合考慮此類問題中可能涉及的各種情況；將解決問題的過程劃分為若干個步驟；閱讀下圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)。log2x，x≥2，2－x，x＜2.如圖表示的是給定x的值，求其對應(yīng)。解析a＝1＜10，a＝12＋2＝3＜10，a＝32＋2＝11＞10.

　　

【正文】 考 重點考查的內(nèi)容之一，此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例從特例入手，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律． (2)數(shù)列是定義在 N*上的函數(shù)，這與數(shù)學(xué)歸納法所運用的范圍是一致的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納原理實質(zhì)上是一致的，數(shù)列中有不少問題常用數(shù)學(xué)歸納法解決． 【訓(xùn)練 4】 由下列各式 1＞ 12， 1＋ 12＋ 13＞ 1， 1＋ 12＋ 13＋ 14＋ 15＋ 16＋ 17＞ 32， 1＋ 12＋ 13＋ ? ＋ 115＞ 2， 1＋ 12＋ 13＋ ? ＋ 131＞ 52， ? ，你能得到怎樣的一般不等式，并加以證明． 答案 猜想：第 n 個不等式為 1＋ 12＋ 13＋ ? ＋ 12n－ 1＞ n2(n∈ N*)． (1)當(dāng) n＝ 1 時， 1＞ 12，猜想正確． (2)假設(shè)當(dāng) n＝ k(k≥ 1 且 k∈ N*)時猜想正確， 即 1＋ 12＋ 13＋ ? ＋ 12k－ 1＞ k2， 那么，當(dāng) n＝ k＋ 1 時， 1＋ 12＋ 13＋ ? ＋ 12k－ 1＋ 12k＋ 12k＋ 1＋ ? ＋ 12k＋ 1－ 1＞ k2＋ 12k＋ 12k＋ 1＋ ? ＋ 12k＋ 1－ 1＞ k2＋ 12k＋ 1＋ 12k＋ 1＋ ? ＋ 12k＋ 1＝ k2＋ 2k2k＋ 1＝k2＋12＝k＋ 12 . 即當(dāng) n＝ k＋ 1 時，不等式成立． ∴ 對于任意 n∈ N*，不等式恒成立． 閱卷報告 20—— 由于方法選擇不當(dāng)導(dǎo)致失誤 【問題診斷】 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題時，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，由 n＝ k 到 n＝ k＋ 1 時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項，其難點在于歸納假設(shè)后，如何推證對下一個正整數(shù)值命題也成立 . 【防范措施】 把歸納假設(shè)當(dāng)做已知條件參加推理 .明確對下一個正整數(shù)值命題成立的目標(biāo)，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q達到這個目標(biāo)，這里可以使用綜合法，也可以使用分析法，甚至可以再次使用數(shù)學(xué)歸納法 . 【 示例 】 ? 在數(shù)列 {an}、 {bn}中， a1＝ 2， b1＝ 4，且 an， bn， an＋ 1成等差數(shù)列， bn，an＋ 1， bn＋ 1成等比數(shù)列 (n∈ N*)． (1)求 a2， a3， a4及 b2， b3， b4，由此猜測 {an}， {bn}的通項公式，并證明你的結(jié)論； (2)證明： 1a1＋ b1＋ 1a2＋ b2＋ ? ＋ 1an＋ bn＜ 512. 實錄 (1)由條件得 2bn＝ an＋ an＋ 1， a2n＋ 1＝ bnbn＋ 1. 由此可得 a2＝ 6， b2＝ 9， a3＝ 12， b3＝ 16， a4＝ 20， b4＝ 25. 猜測 an＝ n(n＋ 1)， bn＝ (n＋ 1)2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： ① 當(dāng) n＝ 1 時，由上可得結(jié)論成立． ② 假設(shè)當(dāng) n＝ k(k≥ 1 且 k∈ N*)時，結(jié)論成立， 即 ak＝ k(k＋ 1)， bk＝ (k＋ 1)2， 那么當(dāng) n＝ k＋ 1 時， ak＋ 1＝ 2bk－ ak＝ 2(k＋ 1)2－ k(k＋ 1)＝ (k＋ 1)(k＋ 2)， bk＋ 1＝ a2k＋ 1bk＝ (k＋ 2)2， 所以當(dāng) n＝ k＋ 1 時，結(jié)論也成立． 由 ①② ，可知 an＝ n(n＋ 1)， bn＝ (n＋ 1)2對一切正整數(shù)都成立． 錯因 第二問由于不 等式的右端為常數(shù)，結(jié)論本身是不能用數(shù)學(xué)歸納法證明的，可考慮用放縮法證明，也可考慮加強不等式后，用數(shù)學(xué)歸納法證明． (2)當(dāng) n＝ 1時 1a1＋ b1＝16＜512 假設(shè) n＝ k(k∈ N*)時不等式成立 即 1a1＋ b1＋ 1a2＋ b2＋ ? ＋ 1ak＋ bk＜ 512 當(dāng) n＝ k＋ 1 時 1a1＋ b1＋1a2＋ b2＋ ? ＋1ak＋ bk＋1ak＋ 1＋ bk＋ 1＜512＋1ak＋ 1＋ bk＋ 1 到此無法用數(shù)學(xué)歸納法證明． 正解 (1)用實錄 (1) (2)證明： 1a1＋ b1＝ 16＜ 512. n≥ 2 時，由 (1)知 an＋ bn＝ (n＋ 1)(2n＋ 1)＞ 2(n＋ 1)n. 故 1a1＋ b1＋ 1a2＋ b2＋ ? ＋ 1an＋ bn ＜ 16＋ 12??? ???12 3＋ 13 4＋ ? ＋ 1n?n＋ 1? ＝ 16＋ 12??? ???12－ 13＋ 13－ 14＋ ? ＋ 1n－ 1n＋ 1 ＝ 16＋ 12??? ???12－ 1n＋ 1 ＜ 16＋ 14＝ 512. 綜上，原不等式成立． 第 5 講 復(fù) 數(shù) 【高考會這樣考】 復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件以及復(fù)數(shù)的代數(shù)運算是高考的熱點，并且一般在前三題的位置，主要考查對復(fù)數(shù)概念的理解以及復(fù)數(shù)的加減乘除四則運算，難度較?。? 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．復(fù)習(xí)時要理解復(fù)數(shù)的相關(guān)概念如實部、虛部、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)等，以及復(fù)數(shù)的幾何意義． 2．要把復(fù)數(shù)的基本運算作為復(fù)習(xí)的重點，尤其是復(fù)數(shù)的四則運算與 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)等．因考題較容易，所以重在練基礎(chǔ)． 基礎(chǔ)梳理 1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)復(fù)數(shù)的概念 形如 a＋ bi(a， b∈ R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中 a， b 分別是它的實部和 虛部． 若 b＝ 0，則 a＋ bi 為實數(shù)，若 b≠ 0，則 a＋ bi 為虛數(shù)，若 a＝ 0 且 b≠ 0，則 a＋ bi 為純虛數(shù)． (2)復(fù)數(shù)相等： a＋ bi＝ c＋ di? a＝ c 且 b＝ d(a， b， c， d∈ R)． (3)共軛復(fù)數(shù)： a＋ bi 與 c＋ di 共軛 ? a＝ c； b＝－ d(a， b， c， d∈ R)． (4)復(fù)數(shù)的模 向量 OZ→ 的模 r 叫做復(fù)數(shù) z＝ a＋ bi(a， b∈ R)的模，記作 |z|或 |a＋ bi|，即 |z|＝ |a＋ bi|＝ a2＋ b2. 2． 復(fù)數(shù)的四則運算 設(shè) z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c， d∈ R)，則 (1)加法： z1＋ z2＝ (a＋ bi)＋ (c＋ di)＝ (a＋ c)＋ (b＋ d)i； (2)減法： z1－ z2＝ (a＋ bi)－ (c＋ di)＝ (a－ c)＋ (b－ d)i； (3)乘法： z1z2＝ (a＋ bi)(c＋ di)＝ (ac－ bd)＋ (ad＋ bc)i； (4)除法： z1z2＝ a＋ bic＋ di＝ ?a＋ bi??c－ di??c＋ di??c－ di? ＝ ?ac＋ bd?＋ ?bc－ ad?ic2＋ d2 (c＋ di≠ 0)． 一條規(guī)律 任意兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)時能比較大小，其他情況不能比較大?。? 兩條性質(zhì) (1)i4n＝ 1， i4n＋ 1＝ i， i4n＋ 2＝－ 1， i4n＋ 3＝－ i， in＋ in＋ 1＋ in＋ 2＋ in＋ 3＝ 0(各式中 n∈ N)． (2)(1177。i)2＝ 177。2i， 1＋ i1－ i＝ i， 1－ i1＋ i＝－ i. 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )復(fù)數(shù) － i1＋ 2i(i 是虛數(shù)單位 )的實部是 ( )． B．－ 15 C．－ 15i D．－ 25 解析 － i1＋ 2i＝－ i?1－ 2i??1＋ 2i??1－ 2i?＝ － 2－ i5 ＝－ 25－ 15i. 答案 D 2． (2020天津 )設(shè) i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) 1－ 3i1－ i ＝ ( )． A． 2－ i B． 2＋ i C．－ 1－ 2i D．－ 1＋ 2i 解析 1－ 3i1－ i ＝ 12(1－ 3i)(1＋ i)＝ 12(4－ 2i)＝ 2－ i. 答案 A 3． (2020湖南 )若 a， b∈ R， i 為虛數(shù)單位，且 (a＋ i)i＝ b＋ i，則 ( )． A． a＝ 1， b＝ 1 B． a＝－ 1， b＝ 1 C． a＝ 1， b＝－ 1 D． a＝－ 1， b＝－ 1 解析 由 (a＋ i)i＝ b＋ i，得：－ 1＋ ai＝ b＋ i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等得： a＝ 1， b＝－ 1. 答案 C 4． (2020廣東 )設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 (1＋ i)z＝ 2，其中 i 為虛數(shù)單位，則 z＝ ( )． A． 2－ 2i B． 2＋ 2i C． 1－ i D． 1＋ i 解析 z＝ 21＋ i＝ 2?1－ i??1＋ i??1－ i?＝ 2?1－ i?2 ＝ 1－ i. 答案 C 5． i2(1＋ i)的實部是 ________． 解析 i2(1＋ i)＝－ 1－ i. 答案 － 1 考向一 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 【例 1】 ?(2020安徽 )設(shè) i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) 1＋ ai2－ i 為純虛數(shù)，則實數(shù) a 為 ( )． A． 2 B．－ 2 C．－ 12 [審題視點 ] 利用純虛數(shù)的概念可求． 解析 1＋ ai2－ i ＝ ?1＋ ai??2＋ i??2－ i??2＋ i?＝ 2－ a5 ＋ 2a＋ 15 i， 由純虛數(shù)的概念知： 2－ a5 ＝ 0， 2a＋ 15 ≠ 0， ∴ a＝ 2. 答案 A 復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部、虛部滿足的方程即可． 【訓(xùn)練 1】 已知 a∈ R，復(fù)數(shù) z1＝ 2＋ ai， z2＝ 1－ 2i，若 z1z2為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù) z1z2的虛部為 ________． 解析 z1z2＝ 2＋ ai1－ 2i＝ ?2＋ ai??1＋ 2i??1－ 2i??1＋ 2i? ＝ 2－ 2a5 ＋ a＋ 45 i， ∵ z1z2為純虛數(shù)， ∴ 2－ 2a5 ＝ 0， a＋ 45 ≠ 0， ∴ a＝ z1z2的虛部為 1. 答案 1 考向二 復(fù)數(shù)的幾何意義 【例 2】 ?在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 6＋ 5i，－ 2＋ 3i 對應(yīng)的點分別為 A， B，若 C 為線段AB 的中點，則點 C 對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 ( )． A． 4＋ 8i B． 8＋ 2i C． 2＋ 4i D． 4＋ i [審題視點 ] 利用中點坐標(biāo)公式可求． 解析 復(fù)數(shù) 6＋ 5i 對應(yīng)的點為 A(6,5)，復(fù)數(shù)－ 2＋ 3i 對應(yīng)的點為 B(－ 2,3)．利用中點坐標(biāo)公式得線段 AB 的中點 C(2,4)，故點 C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 2＋ 4i. 答案 C 復(fù)數(shù)的幾何意義可以讓 我們運用數(shù)形結(jié)合思想把復(fù)數(shù)、向量、解析幾何有機的結(jié)合在一起，能夠更加靈活的解決問題．高考中對復(fù)數(shù)幾何意義的考查主要集中在復(fù)數(shù)對應(yīng)點的位置、加減法的幾何意義、模的意義等． 【訓(xùn)練 2】 (2020徐州一檢 )復(fù)數(shù) 1＋ i1－ i＋ i2 012對應(yīng)的點位于復(fù)平面內(nèi)的第 ________象限． 解析 1＋ i1－ i＋ i2 012＝ i＋ (1,1)位于復(fù)平面內(nèi)第一象限． 答案 一 考向三 復(fù)數(shù)的運算 【例 3】 ?(2020上海 )已知復(fù)數(shù) z1滿足 (z1－ 2)(1＋ i)＝ 1－ i，復(fù)數(shù) z2的虛部為 2，且 z1z2是實數(shù)，求 z2. [審題視點 ] 利用復(fù)數(shù)的乘除運算求 z1，再設(shè) z2＝ a＋ 2i(a∈ R)，利用 z1z2是實數(shù)，求 a. 解 由 (z1－ 2)(1＋ i)＝ 1－ i，得 z1－ 2＝ 1－ i1＋ i＝－ i， ∴ z1＝ 2－ i. 設(shè) z2＝ a＋ 2i(a∈ R)， ∴ z1z2＝ (2－ i)(a＋ 2i)＝ (2a＋ 2)＋ (4－ a)i. ∵ z1z2∈ R. ∴ a＝ 4. ∴ z2＝ 4＋ 2i. 復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比 多項式運算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把 i 的冪寫成最簡形式． 【訓(xùn)練 3】 (2020湖北 )i 為虛數(shù)單位，則 ??? ???1＋ i1－ i 2020＝ ( )． A．－ i B．－ 1 C． i D． 1 解析 因為 1＋ i1－ i＝ ?1＋ i??1＋ i?2 ＝ i，所以原式＝ i2020＝ i4 502＋ 3＝ i3＝－ i. 答案 A 難點突破 27—— 復(fù)數(shù)的幾何意義問題 復(fù)數(shù)的幾何意義是復(fù)數(shù)中的難點，化解難點的關(guān)鍵是對復(fù)數(shù)的幾何意義的正確理解．對于復(fù)數(shù)的幾何意義的理解可以從以下兩個方面著手： (1)復(fù)數(shù) z＝ a＋ bi(a， b∈ R)的模 |z|＝ a2＋ b2，實際上就是指復(fù)平面上的點 Z 到原點 O 的距離； |z1－ z2|的幾何意義是復(fù)平面上的點 Z Z2兩點間的距離． (2)復(fù)數(shù) z、復(fù)平面上的點 Z 及向量 OZ→ 相互聯(lián)系，即 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)? Z(a，b)? OZ→ . 【示例 1】 ? (2020山東 )復(fù)數(shù) z＝ 2－ i2