線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)匯總-資料下載頁(yè)
2025-04-03 02:47本頁(yè)面
【正文】 性質(zhì) （ 1）若 A與 B相似，則 f（ A）與 f（ B）相似 （ 2）若 A與 B相似， B與 C相似，則 A與 C相似 （ 3）相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項(xiàng)式、特征方程、特征值、跡（即主對(duì)角線元素之和） 【推廣】 （ 4）若 A與 B 相似，則 AB 與 BA 相似， AT 與 BT 相似， A1與 B1相似， A*與 B*也相似 （三）矩陣的相似對(duì)角化 相似對(duì)角化定義： 如果 A 與對(duì)角矩陣相似，即存在可逆矩陣 P，使得 P1AP=Λ = ， 稱 A 可相似對(duì)角化。 注： Aα i=λ iα i（α i≠ 0，由于 P 可逆），故 P 的每一列均為矩陣 A 的特征值λ i的特征向量 相似對(duì)角化的充要條件 （ 1） A 有 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 （ 2） A 的 k重特征值有 k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 1相似對(duì)角化的充分條件： （ 1） A有 n 個(gè)不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)） （ 2） A 為實(shí)對(duì)稱矩陣 1重要結(jié)論： （ 1）若 A 可相似對(duì)角化，則 r（ A）為非零特征值的個(gè)數(shù)， nr（ A）為零特征值的個(gè)數(shù) （ 2）若 A不可相似對(duì)角化， r（ A）不一定為非零特征值的個(gè)數(shù) （四）實(shí)對(duì)稱矩陣 1性質(zhì) （ 1）特征值全為實(shí)數(shù) （ 2）不同特征值的特征向量正交 （ 3） A 可相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣 P使得 P1AP=Λ （ 4） A 可正交相似對(duì)角化，即存在正交矩陣 Q，使得 Q1AQ=QTAQ=Λ 6 二次型 （一）二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 二次型： （ 1）一般形式 （ 2）矩陣形式（常用） 標(biāo)準(zhǔn)形： 如果二次型只含平方項(xiàng)，即 f（ x1， x2，…， xn） =d1x12+d2x22+…+dnxn2 這樣的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形（對(duì)角線） 二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法： （ 1）配方法： 通過(guò)可逆線性變換 x=Cy（ C 可逆），將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。其中，可逆線性變換及標(biāo)準(zhǔn)形通過(guò)先配方再換元得到。 ★（ 2）正交變換法： 通過(guò)正交變換 x=Qy，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形λ 1y12+λ 2y22+… +λnyn2 其中，λ 1，λ 2，…，λ n 是 A 的 n個(gè)特征值， Q為 A的正交矩陣 注 :正交矩陣 Q不唯一，γ i與λ i 對(duì)應(yīng)即可。 （二）慣性定理及規(guī)范形 定義： 正慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為正慣性指數(shù)，記為 p； 負(fù)慣性指數(shù) ：標(biāo)準(zhǔn)形中負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)，記為 q； 規(guī)范形： f=z12+… zp2zp+12… zp+q2稱為二次型的規(guī)范形。 慣性定理： 二次型無(wú)論選取怎樣的可逆線性變換為標(biāo)準(zhǔn)形，其正負(fù)慣性指數(shù)不變。 注：（ 1）由于正負(fù)慣性指數(shù)不變，所以規(guī)范形唯一。 （ 2） p=正特征值的個(gè)數(shù)， q=負(fù)特征值的個(gè)數(shù)， p+q=非零特征值的個(gè)數(shù) =r（ A） （三）合同矩陣 定義： A、 B 均為 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，若存在可逆矩陣 C，使得 B=CTAC，稱A 與 B 合同 △ 總結(jié)： n階實(shí)對(duì)稱矩陣 A、 B的關(guān)系 （ 1） A、 B相似（ B=P1AP）←→相同的特征值 （ 2） A、 B 合同（ B=CTAC）←→相同的正負(fù)慣性指數(shù)←→相同的正負(fù)特征值的個(gè)數(shù) （ 3） A、 B等價(jià)（ B=PAQ）←→ r（ A） =r（ B） 注：實(shí)對(duì)稱矩陣相似必合同，合同必等價(jià) （四）正定二次型與正定矩陣 正定的定義 二次型 xTAx，如果任意 x≠ 0，恒有 xTAx＞ 0，則稱二次型正定，并稱實(shí)對(duì)稱矩陣 A是正定矩陣。 n 元二次型 xTAx正定充要條件： （ 1） A 的正慣性指數(shù)為 n （ 2） A 與 E合同，即存在可逆矩陣 C，使得 A=CTC或 CTAC=E （ 3） A 的特征值均大于 0 （ 4） A 的順序主子式均大于 0（ k 階順序主子式為前 k 行前 k 列的行列式） n 元二次型 xTAx正定必要條件： （ 1） aii＞ 0 （ 2） |A|＞ 0 1總結(jié)：二次型 xTAx正定判定（大題） （ 1） A 為數(shù)字：順序主子式均大于 0 （ 2） A為抽象：①證 A 為實(shí)對(duì)稱矩陣： AT=A；②再由定義或特征值判定 1重要 結(jié)論： （ 1）若 A是正定矩陣，則 kA（ k＞ 0）， Ak， AT， A1， A*正定 （ 2）若 A、 B均為正定矩陣，則 A+B正定
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