一致連續(xù)性的判定定理及性質(zhì)畢業(yè)論文原稿-資料下載頁
2025-05-16 13:13本頁面
【導(dǎo)讀】連續(xù)的概念和判斷函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)的Cator定理,內(nèi)容篇幅少,幾個充分條件,充要條件及性質(zhì)與運(yùn)用.這幾種方法為教科書所忽視,但比較實(shí)用且應(yīng)用面廣泛,有必要加以詳細(xì)討論.xf在區(qū)間I上有定義.若,,,0,021Ixx????????而且還和點(diǎn)0x有關(guān),即對于不同的0x,一般來說?是不同的,這表明只要。的連續(xù)是“一致”的.（即連續(xù)可對一點(diǎn)來講,而且對于某一點(diǎn)0x,?,而一致連續(xù)必須以區(qū)間為對象,只取決于?上,由一致連續(xù)性定義將1x固定,令2x變化,即知函數(shù)??續(xù)性則反映了在整個區(qū)間上的整體性質(zhì).二者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系.證明［必要性］由定義直接可得.［充分性］采用反證法,假設(shè)??ba,內(nèi)至少存在兩點(diǎn)1x及2x,雖然。應(yīng)用魏爾斯特拉斯定理,在有界數(shù)列????nx1中存在一個收斂的子列。kknnxfxf對一切k成立相矛盾.即假設(shè)不成立.即原命。根據(jù)柯西準(zhǔn)則,極限??條件是對區(qū)間I上的任意兩數(shù)列}{nx與}{ny,當(dāng)0)(lim??這與已知條件矛盾.所以原命題成立.
【正文】 5 cbxbax ?? 時 ,則 ?? ???? bxbx 65 , 所以 ??? ???????? 22)()()()()()(6565 xfbfbfxfxfxf. 從而得證 )(xf 在 ],[ ca 上一致連續(xù) . 性質(zhì) 設(shè)函 數(shù) )(xf 在 ),[ ??a 連續(xù) ,函數(shù) )(xg 在 ),[ ??a 一致連續(xù) ,且0)()(lim ????? xgxfx ,則 )(xf 在 ),[ ??a 一致連續(xù) . 證明 0)()(lim ????? xgxfx,故 AxxaA ?????? 21 ,0? ,有 3)()(,3)()( 2211 ?? ???? xgxfxgxf . 及函數(shù) )(xg 在 ),[ ??a 一致連續(xù) ,故對上述 Axx ????? 21 ,0,0 ?? ,且 ??? 21 xx ,有 3)()( 21 ??? xgxg . 綜上 Axx ?? 21, ,且 ??? 21 xx ,有 )()()()()()()()( 22211121 xgxfxgxgxgxfxfxf ??????? . 隴南師范?？粕厴I(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 第 13 頁 共 15 頁 13 ???? ???? 333 即 )(xf 在 ),[ ??A 一致連續(xù) ,再由 Cantor 定理知 )(xf 在 ],[ Aa 上一致連續(xù) ,故 )(xf ),[ ??a 在 一致連續(xù) . 定理 5 表明：若連續(xù)函數(shù)可在無窮遠(yuǎn)處充分接近一個一致連續(xù)函數(shù) ,則其必一致連續(xù) .考慮到線性函數(shù)必一致連續(xù) ,如果某連續(xù)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處充分接近一個線性函數(shù) ,即此函數(shù)存在斜漸近線 ,則它必一致連續(xù) .即是如下推論 . 推論 設(shè)函數(shù) )(xf 在 ),[ ??a 連續(xù) ,且有斜漸近線 ,即有數(shù) b 與 c ,使 0])([lim ?????? cbxxfx ,則 )(xf 在 ),[ ??a 一致連續(xù) . 利用一致連續(xù)性定義或判斷函數(shù)一致連續(xù)性的定理來判斷某函數(shù)的一致連續(xù)性 . 例 1 判斷 ),0(,1 1)(2 ????? xxxf 的一致 連續(xù)性 . 解 ： 因?yàn)? 01 1lim 2 ????? xx ， 11 1lim 20 ??? xx 又 )(xf 在 ),0( ?? 上連續(xù) ,所以 )(xf 在 ),0( ?? 上一致連續(xù) . 本題利用定理 ， )(xf 在無限區(qū)間上連續(xù)且在端點(diǎn)極限存在，則 )(xf在此無限區(qū)間上一直連續(xù) . 例 2 證明 )(xf = xe 在 R 上非一致連續(xù) . 證明 1 :ln),1l n(),11(0,21210 Rnxnxen ???????????? ??? ,ln)11l n(ln)1l n(21 ?? ???????? ennnxx 有 021 211)1()()( ???????? nnxfxf. 隴南師范專科生畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 第 14 頁 共 15 頁 14 所以 )(xf = xe 在 R 上非一致連續(xù) . 根據(jù)一直連續(xù)性定義證得 . 證 明 2 取 Rnynx nn ???? ln),1ln ( , 且 0)11l n(l i m]ln)1[l n(l i m)(l i m ??????? ?????? nnnyx nnnnn . 但 01)1(l i m][l i m)]()([l i m ln)1l n( ??????????????? nneeyfxf nnnnnnn . 所以 )(xf = xe 在 R 上非一致連續(xù) . 此題根據(jù)判定函數(shù)一直連續(xù)性的充要條件即定理 . 例 3 判斷 )1,0(,1c os)( ?? xxexf x 的一致連續(xù)性 . 解 ：因?yàn)?xexx1coslim0?? 不存在 , 所以 )(xf = xe 在 )1,0( 內(nèi)不一致連續(xù) . 此題根據(jù)判定連續(xù)函數(shù)在有限開區(qū)間 一致連續(xù)性的方法即定理 例 4 證明： xexf ?)( 在 ),( a?? 上一致連續(xù) ,而在 ),( ??a 上非一致連續(xù) . 證明 ? 0lim ???? xx e且 axax ee ???lim. 所以 xe 在 ),( a?? 上一致連續(xù) . ???? ??? xxxx eLimee ,)( 39。 .所以 )(xf = xe 在 ),( ??a 上非一致連續(xù) . 此題根據(jù)連續(xù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的有界性來判定函數(shù)的一致連續(xù)性。此方法快捷方便，實(shí)際應(yīng)用很廣泛 . 判斷函數(shù)一致連續(xù)性的方法是多種多樣的 ,只要我們靈活多變 ,就能做到事半功倍 .所以我們要熟練掌握一致連續(xù)性的幾種判定定理 .即隴南師范?？粕厴I(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 第 15 頁 共 15 頁 15 前述的幾個充要條件 ,充分條件 .這樣對于解決一致連續(xù)性的問題才會游刃有余 . 參考文獻(xiàn) : [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 ,數(shù)學(xué)分析 [M],北京：高等教育出版社 ,20xx. [2]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系編 ,數(shù)學(xué)分析 [M],北京：高等教育出版社 ,1985. [3]錢吉林等主編 ,數(shù)學(xué)分析題解精粹 [M],上海：崇文書局 ,20xx. [4]吉米多維奇 ,數(shù)學(xué)習(xí)題集 [M],北京：人民教育出版社 ,1978. [5]裴禮文 ,數(shù)學(xué)分析中典型問題與方法 [M],北京：高等教育出版社 ,1993. [6]徐利治 ,大學(xué)數(shù)學(xué)解題法詮釋 [M],合肥：安徽教育出版社 ,1990. [7]Tom M. Analysis[M]. Beijing: China Machine Press,20xx.
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