金融分析期權(quán)定價的連續(xù)模型-資料下載頁
2025-08-21 06:39本頁面
【導(dǎo)讀】對于指標(biāo)集的每一個t，X就是一。在時刻t的狀態(tài)。若T是一個可數(shù)集，則稱X為。先考慮一個確定性的情形。設(shè)股票價格以不變的增長率連續(xù)變化，即。每單為時間股價增長。對于不確定的情形，通常假設(shè)在上式右邊增。這樣股票上的瞬時回報率就受兩種因素。第一項，經(jīng)過時間dt股票回報率。隨機變量z的性質(zhì)具有兩個特點：。當(dāng)，（）也可寫為：。z為一個維納過程,也稱為布朗。（）描述的股票價格過程稱為幾何布朗運。上述幾何布朗運動為擴散過程的特殊情形：。伊藤引理設(shè)X是滿足（）的某資產(chǎn)價格，對（）式兩邊從0到t積分得：。對上式求均值和方差有：。股票價格的對數(shù)仍服從正態(tài)分布：。設(shè)期權(quán)的生命期為T（年），把T分為n個小。以定出與之相匹配的二項式模型中的u,d,q.該組合在瞬時時間區(qū)間dt上的價值改變?yōu)椋?。則該投資組合的回報率必須等于無風(fēng)險利率，否則就會存在套利機會。將引理dS和df上，則有。衍生證券為歐式看漲期權(quán)，記期權(quán)的價格為
【正文】 這些證券都有期權(quán)的特征，從而有助于對公司證券的理解。 一、 股票和純貼現(xiàn)債券 ? 考慮一個其資本由 股票和純貼現(xiàn)債券 組成的公司， 純貼現(xiàn)債券 是在到期日之前不支付利息，而在到期日支付債券面值 FV的證券。 ? 在 t = 0，公司價值為 : ? 其中 S0是 t = 0時公司發(fā)行的股票的總價值，B0是 t = 0時公司發(fā)行的純貼現(xiàn)債券的總價值。 000 BSV ??? 在 t = T時，股票的價值將為 ? （公司的股票就好象一個歐式看漲期權(quán)，其標(biāo)的資產(chǎn)是公司的價值 V，執(zhí)行價格是公司的債券的面值，到期日是債券的到期日。） ? 債權(quán)人在 t=T時的支付為 ? （債權(quán)人已成功的收購了整個公司，但同時寫了一個執(zhí)行價為 FV的歐式看漲期權(quán)給股東） ),0m a x ( FVVS TT ??),m in ( FVVB TT ?TTTT VFVVVB ??? ),m i n ( ),0m i n ( TT VFVV ??? ),0m a x ( FVVV TTT ??? ? 有風(fēng)險的純貼現(xiàn)債券 B也滿足 BlackScholes方程 ： ? 終端條件為： B(V， 0) = min(V， FV) = V – max (0， V – FV )。 222221VBV???0???????? BrBVBVr ff ?? 利用 call的定價公式，就可以推得在開始時刻有風(fēng)險的純貼現(xiàn)債券 B的價值： )()(),( 21 hVNhNFV eFVVB fr ?? ? ?????? )21()l n ( 21???frFVVh， ???? )21()l n ( 22????frFVVh ? 1. 公司價值 V的增加，減少了違約的概率，從而增加了風(fēng)險債券 B的價值。 ? 2. 債券的到期日 ?越長，或無風(fēng)險利率 r越高，降低了承諾支付的現(xiàn)值 FVer?，從而減少了債券的價值。 ? 3. 增加承諾的支付值 FV，就增加債券的價值。 ? 4. 公司的波動度 ?越高，違約 (ST ? FV ) 的概率越大，從而減少了債券的價值。 ? 如果把債券支付改寫為： ? 債權(quán)人可以得到一個無風(fēng)險的支付 FV，但寫了一個歐式看跌期權(quán)給股東。 FVFVVFVB TT ??? ),m i n ( ),0m i n ( FVVFV T ??? ),0m a x ( TT VFVFV ???二 貸款擔(dān)保（ loan guarantee） ? 貸款擔(dān)保是在公司價值 VT小于承諾支付 FV時，由擔(dān)保者支付不足部分 (FV – VT)，如果公司價值 VT ? FV，則擔(dān)保者支付為零。 FV VT FV G O )0,m a x ( tT VFVG ??? 貸款擔(dān)保就相當(dāng)于一個在公司價值 V上的歐式put：執(zhí)行價為債券的面值 FV。 )()(),( 12 dVNdNFVeFVVG fr ???? ? ?????? )21()l n ( 21???frFVVd， ??????????? 122)21()l n (drFVVdf ? 公司的價值成了標(biāo)的資產(chǎn)，故上式的 S應(yīng)由 V代替，債券的承諾支付成了執(zhí)行價，故上式的 X應(yīng)由 FV代替。再由第一小節(jié)分析知，公司的股票相當(dāng)于 call，故上式的 C應(yīng)由公司的股票 S代替。最后由 ()知，貸款擔(dān)保相當(dāng)于一個 put，故上式的 P應(yīng)由 G代替。 ? put–call 平價關(guān)系 ： ? 由 V = S + B， VF V eSG fr ??? ? ?BF V eG fr ?? ? ? 三 優(yōu)先（ senior）債券和后償（ subordinated）債券 ? 設(shè)這兩種債券都是純貼現(xiàn)債券，到期日都是 t = T。分別記優(yōu)先債券和后償債券的面值為FVs和 FVj。現(xiàn)從債權(quán)人的角度分析后償債券。 ? 由后償債券的含義，如果公司價值 ，則后償債券持有者獲零支付；如果 則 當(dāng)時，后償債券才可能得到全部的。 ? 這兩種債券的支付如圖所示 sT FVV ?sT FVV ?sFVjFVsFVjsT FVFVV ??js FVFV ?TBVT 優(yōu)先債券 后償債券 O ? 以 Bj記后償債券的價值，由前面的分析知，優(yōu)先債券就和普通債券一樣，它的價值為 ? min (VT， FVj)， ? 而股票價為： ? 而公司總價值 VT等于三種證券的價值之和。從而有： )](,0m a x [ jsT FVFVV ??)](,0m a x [),m i n ( jsTjsTT FVFVVBFVVV ?????? 從而有： ? 從而在后償債券上的支付相當(dāng)于一個投資組合：買一個執(zhí)行價為 的歐式看漲期權(quán)，同時寫一個執(zhí)行價為 的歐式看漲期權(quán)。 )](,0m a x [),m i n ( jsTsTTj FVFVVFVVVB ?????)](,0m a x [),0m a x ( jsTsT FVFVVFVV ?????sFV)( js FVFV ?四 認(rèn)股權(quán)證（ warrants） ? 認(rèn)股權(quán)證 是由公司發(fā)行的一種證券，公司承諾在到期日之前（及到期日）的任何時刻，持證人有權(quán)以事先指定的執(zhí)行價購買公司的股票。 ? 因此，一個認(rèn)股權(quán)證很象一個 美式的看漲期權(quán) ，它們之間的唯一差別是，當(dāng)認(rèn)股權(quán)被執(zhí)行時，公司要額外發(fā)行股票，這就使得股東持有的股票價值下降。 ? 用 V記公司沒有發(fā)行認(rèn)股權(quán)證時的資產(chǎn)在一期末的價值，用 n記公司已發(fā)行的股票數(shù)， X記認(rèn)股權(quán)的執(zhí)行價。如果公司沒有發(fā)行認(rèn)股權(quán)證，則在一期末，每股的價值為： ? 公司發(fā)行了 q股認(rèn)股權(quán)證后，則在認(rèn)股權(quán)被執(zhí)行時，每股價值為： nVS ????? qn qXVS 39。nqXnqS??1? 顯然，僅當(dāng) ? 時，持證人才會執(zhí)行認(rèn)股權(quán)。上不等式等價于 S ? X，即僅當(dāng)公司在到期日的股票價格大于認(rèn)股權(quán)的執(zhí)行價時，認(rèn)股權(quán)才會執(zhí)行。 XnqXnqS???
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