【導(dǎo)讀】一種統(tǒng)計(jì)分析方法。變異后的剩余變異提供了試驗(yàn)誤差的無偏估計(jì)。方差是平方和除以自由度的商。察值，其數(shù)據(jù)分組如表。組別觀察值(yij，i=1，2，…，n)總和平均均方。為對(duì)照，每處理各得4個(gè)苗高觀察值，其結(jié)果如表，試分解其自由度和平方和。F分布下一定區(qū)間的概率可從已制成的統(tǒng)計(jì)表查出。狀則僅決定于參數(shù)v1和v2。曲線是嚴(yán)重傾斜成反向J型；當(dāng)v1≥3時(shí)，曲線轉(zhuǎn)為偏態(tài)(圖)。變數(shù)y遵循正態(tài)分布N(，)，s12和s22彼此獨(dú)立。

　　

【正文】 處 理 平 均 數(shù) 與對(duì)照的差數(shù) 對(duì) 照 赤 霉 素 ** 動(dòng) 力 精 吲 哚 乙 酸 * 硫 酸 腺 嘌 吟 馬 來 酸 二、組合內(nèi)有重復(fù)觀察值的兩向分組資料的方差分析 設(shè)有 A、 B兩個(gè)試驗(yàn)因素， A因素有 a個(gè)水平， B因素有 b個(gè)水平，共有 ab個(gè)處理組合，每一組合有 n個(gè)觀察值，則該資料有 abn個(gè)觀察值。如果試驗(yàn)按完全隨機(jī)設(shè)計(jì)，則其資料類型如表 。 A因素 B因素 總和 平均 B1 B2 … Bb Ti A1 y111 y121 … y1b1 T1 y112 y122 … y1b2 y11n y12n … y1bn A2 y211 y221 … y2b1 T2 y212 y222 … y2b2 y21n y22n … y2bn Aa ya11 ya21 … yab1 Ta ya12 ya22 … yab2 ya1n ya2n … yabn 總和 Tj T1 T2 … Tb T 平均 … 表 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的二因素試驗(yàn)，每處理組合有重復(fù)觀察值的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) (i=1， 2， … ， a； j=1,2， … ， b； k=1,2， … ， n) jy 1 y 2 y by yayiy1y2y? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ??表 ： i j kijjii j ky ?????? ????? )( (637) 上式的 為總體平均； 和 分別為因素 A和 B的效應(yīng)； 為 A B互作； 為隨機(jī)誤差，遵循分布 N(0， )。 上式說明表 ( )可分解為 A因素效應(yīng) 、 B因素效應(yīng) 、 A B互作 和試驗(yàn)誤差 四個(gè)部分。其各變異來源的自由度和平方和估計(jì)可見表。 ? i? j?ij)(?? ijk? 2???ijkyi? j?ij)(?? ijk?CnTSS ijt ?? ? 2?????? 互作素因素因 BA B A CbnTSS iA ?? ? 2CanTSS jB ?? ? 2BAijAB SSSSCnTSS ???? ? 2ABBATe SSSSSSSSSS ????? ?? CySS T 2表 表 (C=T 2/abn) 變異來源 DF SS MS 處理組合 ab－ 1 a－ 1 b－ 1 (a－ 1)(b－ 1) 試驗(yàn)誤差 ab(n－ 1) 總 變 異 abn－ 1 2AA sMS ?2BB sMS ?2ABAB sMS ?2ee sMS ? 線性模型 的假定條件隨試驗(yàn)?zāi)Ｐ投煌? 在固定模型時(shí)，滿足條件： ， ， ； 對(duì)于隨機(jī)模型時(shí)，滿足條件： 、 和 都是相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)，遵循正態(tài)分布，具平均數(shù) 0并分別有方差 、和 。 由于有兩個(gè)試驗(yàn)因素，故在兩種模型的基礎(chǔ)上可產(chǎn)生第三種模型：混合模型。混合模型的假定是一因素的效應(yīng)隨機(jī)，另一因素的效應(yīng)固定。 i j kijjii j ky ?????? ????? )(0).()( ?? ?? ji ???? ? ? 0iτ ? ? 0jβi? j? ij)(??2??2??2??? 例如，若 A的效應(yīng)隨機(jī)， B的效應(yīng)固定，則滿足條件： ,而 和 皆為相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)，遵循具平均數(shù) 0，方差分別為 和 的正態(tài)分布。各種模型的期望均方見表 。 2As 22 ??? bn? 222??? ??? bnn ??22 ??? bn?2Bs 22 ??? an? 222 ??? ??? ann ?? 222 ??? ??? ann ??2ABs 22 ???? n? 22 ???? n? 22 ???? n?2es 2?2?2?表 表 變異來源 MS 期望均方 (EMS) 模型 Ⅰ ： 固定模型 模型 Ⅱ ： 隨機(jī)模型 混合模型 (A隨機(jī)， B固定 ) A 因 素 B 因 素 A B互作 試驗(yàn)誤差 0?? j? i? ij)(??2?? 2??? 由表 ，對(duì)效應(yīng)和互作進(jìn)行 F測(cè)驗(yàn)的分母需因模型的不同而不同： 在固定模型時(shí)，測(cè)驗(yàn) H0： ， H0： 和 H0： 皆以 MSe為分母； 在隨機(jī)模型時(shí)，測(cè)驗(yàn) H0： 以 MSe為分母，而測(cè)驗(yàn)H0： 和 H0： 需以 MSAB為分母； 在 A隨機(jī) B固定的混合模型中，測(cè)驗(yàn) H0： 和 H0： 以 MSe為分母，而測(cè)驗(yàn) H0： 需以 MSAB為分母。 0?i? 0?j? 0)( ?ij??02 ?τβσ02 ?τσ 02 ?βσ02 ?τσ 02 ????0?j? [例 ] 施用 A A A3 3種肥料于 B B B3 3種土壤，以小麥為指示作物，每處理組合種 3盆，得產(chǎn)量結(jié)果 (g)于表 。試作方差分析。 iT iyijTijTijT jT jy表 3種肥料施于 3種土壤的小麥產(chǎn)量（ g） (a=3,b=3,n=3,abn=27) 肥料種類 (A) 盆 土壤種類 (B) 總和 平均 B1(油砂 ) B2(二合 ) B2(白僵 ) A1 1 2 3 A2 1 2 3 A3 1 2 3 總 和 T= 平 均 (1) 自由度和平方和的分解 726207333 )4409(2..C ????282 1 9014221421 222 .C...SS T ?????? ?582023 )640854762(222.C...SS t ?????? ?381 7 933 01 2 221 1 821 6 9222.C...SS A ??? ???96333 51 3 361 3 431 4 1222.C...SS B ??? ???2419963451 7 9582 0 2 ....SS AB ????7016582 0 2282 1 9 ...SS e ???表 表 ?????? 土類肥類土類間肥類間變異來源 DF SS MS F 處理組合間 8 ** 2 ** 2 4 ** 試驗(yàn)誤差 18 總 變 異 26 (2) F測(cè)驗(yàn) 以固定模型作 F測(cè)驗(yàn)。 假設(shè) H0： , 求得 F=； 假設(shè) H0： ，求得 F=； 假設(shè) H0： , 求得 F=。 0)( ?ij?? 所以該試驗(yàn)肥類 土類的互作和肥類的效應(yīng)間差異都是極顯著的，而土類間無顯著差異。 0?i?0?j? (3) 平均數(shù)的比較 ① 各處理組合平均數(shù)的比較：肥類 土類的互作顯著，說明各處理組合的效應(yīng)不是各單因素效應(yīng)的簡(jiǎn)單相加，而是肥類效應(yīng)隨土類而不同 (或反之 )；所以宜進(jìn)一步比較各處理組合的平均數(shù)。在此用新復(fù)極差測(cè)驗(yàn)，求得： )(5 5 6039 2 80 g./. SE ??根據(jù) v =18，算得各 。 表 表 LSR值 (新復(fù)極差測(cè)驗(yàn) ) p 2 3 4 5 6 7 8 9 將表 Tij .值除以 n=3，即得各處理組合的平均數(shù)，以表 。 表 表 處理組合 平均數(shù) (g) 差異顯著性 A1B1 a A A1B2 b B A1B3 b B A2B3 c C A3B2 c C A3B3 c C A3B1 c C A2B2 c C A2B1 c C ② 各肥類平均數(shù)的比較：肥類間的 F測(cè)驗(yàn)極顯著，說明 ≠0。求得肥類平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤： i?)(32033 9280 g..SE ??? 故有各肥類平均數(shù)的 LSR值于表 ，顯著性測(cè)驗(yàn)結(jié)果于表 。 表 表 LSR值 p 2 3 表 表 肥料種類 平 均 數(shù) 差 異 顯 著 性 A1 a A A3 b B A2 b B 由表 ，肥料 A1與 A A2均有極顯著的差異；但 A3與 A2無顯著差異。 綜上所述，表 ：肥料 A1 對(duì)小麥的增產(chǎn)效果最好，土類間則無顯著差異；但 A1施于油砂土(A1B1)卻比施于其他土壤上更有突出的增產(chǎn)效果 第六節(jié) 方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換 一、方差分析的基本假定 二、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換 一、方差分析的基本假定 方差分析是建立在線性可加模型的基礎(chǔ)上的。所有進(jìn)行方差分析的數(shù)據(jù)都可以分解成幾個(gè)分量之和，以例 資料 (樣本 )采用 6生長(zhǎng)素處理試驗(yàn)資料為例，該資料具有三類原因或效應(yīng)： (1)處理 (生長(zhǎng)素 )原因或效應(yīng)； (2)環(huán)境 (組 )原因或效應(yīng)； (3)試驗(yàn)誤差 (這是處理內(nèi)和環(huán)境內(nèi)的其它非可控因素的變異 )。 故其線性模型為： ijijijy ???? ???? 建立這一模型，有如下 3個(gè)基本假定： (1) 處理效應(yīng)與環(huán)境效應(yīng)等應(yīng)該具有 “可加性” (additivity) 以組合內(nèi)只有單個(gè)觀察值的兩向分組資料的線性可加模型為例予以說明，如對(duì)其取離差式，則 )()( ijjiijy ???? ????上式兩邊各取平方求其總和，則得平方和為： ? ? ????? ? 2222)( ijjiy ???? (638) 因?yàn)槿愒蚓髯元?dú)立，所以右邊有三個(gè)乘積和，即 、 和 ，皆為零值。 ??? ??? ???當(dāng)從樣本估計(jì)時(shí)，則為： 或 eBAT SSSSSSSS ???樣本平方和的可加性 : ? ????????????2222)()()()( yyyyyyayybyyjiji 對(duì)于非可加性資料，一般需作對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換或其他轉(zhuǎn)換，使其效應(yīng)變?yōu)榭杉有?，才能符合方差分析的線性模型。 有一種非可加性事例是效應(yīng)表現(xiàn)為倍加性。將倍加性數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)尺度，則又表現(xiàn)為可加性模型。如表 (不考慮誤差 ). 表 可加性模型與非可加性模型的比較 處 理 可加性 倍加性 對(duì)倍加性取對(duì)數(shù) (lg10) 1 2 1 2 1 2 A 10 20 10 20 B 30 40 30 60 (2)試驗(yàn)誤差 應(yīng)該是隨機(jī)的、彼此獨(dú)立的，具有平均數(shù)為零而且作正態(tài)分布，即 “正態(tài)性”（ normality） . 因?yàn)槎鄻颖镜?F測(cè)驗(yàn)是假定 k個(gè)樣本從 k個(gè)正態(tài)總體中隨機(jī)抽取的，所以一定是隨機(jī)性的。 ij? 如果試驗(yàn)誤差 不作正態(tài)分布，則將表現(xiàn)為一個(gè)處理的誤差趨向于作為處理平均數(shù)的一種函數(shù)關(guān)系。例