求函數(shù)極限的若干方法畢業(yè)設(shè)計(jì)論文-資料下載頁(yè)
2024-08-28 10:17本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】的空心鄰域內(nèi)有定義，A是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任意的正數(shù)。Axf，則稱(chēng)x趨向于0x的極限。存在，且為A，記作??,a上的函數(shù)，A為定值，若對(duì)任給正數(shù)?存在正數(shù));(，則稱(chēng)。數(shù)A為函數(shù)f當(dāng)x趨于?0x)時(shí)的右(左)極限，記作))
【正文】 ??? ??????? 1025722 yxyx ． 和一元函數(shù)一樣，在使用函數(shù)定義求極限的時(shí)候，也伴隨有放縮，這時(shí)要注意是對(duì)兩個(gè)自變量的同時(shí)限制 ． 在二元函數(shù)的定義中， 要求 ),( yxP 任意方式趨于 ),( 000 yxP 時(shí)，函數(shù) ( , )f xy 都無(wú)限接近于 A ． 因此，很容易得到：若在 ? ?yxf , 的定義域內(nèi)存在兩條不同的連續(xù)曲線? ? ? ?xhyxgy ?? , ，且當(dāng) 0xx? 時(shí)， ? ? ? ? 00 , yxhyxg ?? ，但函數(shù)式 ? ?yxf , 沿著這兩條曲線逼近 ? ?00,yx 時(shí)的極限卻不同，或者一個(gè)存在，另一個(gè)不存在，則二元函數(shù) ? ?yxf ,在此點(diǎn)不存在極限 ． 例 2 求? ? ? ? 22220,0, 2lim yxyxyx ???． 解 設(shè) ? ? ? ? nxxhmxxg ?? , ，其中 nm? ， 0limlim00 ?? ?? nxmx xx． ? ? ? ? 2222220,0, 1122lim mmyx yxyx ??????, ? ? ? ? 2222220,0, 1122lim nnyx yxyx ??????, 因?yàn)?nm? ，故2222 1111 nnmm ????? ，所以該函數(shù)極限不存在 ． 2． 2 用換元法求二元函數(shù)的極限 和一元函數(shù)的代換法相似，但又有所不同，二元函數(shù)的換元法通常和幾何聯(lián)系在一起 ， 常用的是極坐標(biāo)變換 ． 即令 ?cosrx? ， ?sinry? ， 則00lim ( , )xy f x y?? 0lim ( c o s , s in )r f r r????， 即把二重極限歸結(jié)為 0?r 的一元函數(shù) ， 此類(lèi)方法一般用于解決表達(dá)式中含有 22xy? 的項(xiàng) ． 綏化學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文 15 例 3 求極限223300lim yx yxyx ????． 解 令 ?cosrx? ， ?sinry? ， 由 sin? 與 cos? 的有界性得 23330223300)c o s( s inlimlim rryx yxryx?? ??????? 0)c o s( s inlim 330 ??? ? ??rr ． 2． 3 利用二元函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限 若 一 個(gè) 函 數(shù) 在 某 點(diǎn) 連 續(xù) ， 則 可 以 直 接 將 此 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 代 入 ， 即? ? ? ? ? ? ? ?000,0, ,lim yxfyxfyx ??． 例 4 求極限? ? ? ? 221,1, 21lim yxyx ??． 解 因函數(shù)在 ??1,1 點(diǎn)的鄰域內(nèi)連續(xù) ， 故可直接代入求極限 ，即 ? ? ? ? 221,1, 21lim yxyx ??=31 ． 2． 4 利用兩邊夾準(zhǔn)則求 二元 函數(shù) 的 極限 二元函數(shù)兩邊夾準(zhǔn)則和一元函數(shù)的夾逼準(zhǔn)則相似，但要注意求二元函數(shù)極限時(shí)是對(duì)兩個(gè)變量同時(shí)放縮 ． 例 5 求極限222 )sin(limyx yxyx ?????． 解 22222 1)s in (0yxyx yx ????， 又 01lim 22 ?????? yxyx， 故 綏化學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文 16 222 )sin(limyx yxyx ?????=0． 2． 5 運(yùn)用洛必達(dá)法則求二元函數(shù) 的 極限 例 6 求 ])()([ s inlim 22)0,0(),( xyxyyxyx ??． 解 由 第一章定理 7 洛必達(dá)法則可知 ])()([ s inlim 22)0,0(),( xyxyyxyx ?? ])2)(c o s ()2)([ c o s (2 1l i m 222222)0,0(),( yyxyxyyxxyxyxyyxxyyx ?????? ? 0)])([ c o s (lim23 22)0,0(),( ???? ? yxxyyxyx 2． 6 利用一些變形技巧求二元函數(shù)極限 對(duì)于求解某些某些二元函數(shù)的極限問(wèn)題， 類(lèi)似于一元函數(shù)， 可對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危纾悍肿踊蚍帜赣欣砘?，利用我們已知結(jié)論，如重要極限等，對(duì)其求解 ． 例 7 ? ? ? ? yxyyx)sin(lim0,0, ?． 解 ? ? ? ? ? ? ? ? 001)s i n (l i m)s i n (l i m 0,0,0,0, ????? ?? xxyxyy xyyxyx． 例 8 ? ? ? ? 22220,0, 321)31)(21(lim yx yxyx ?????． 解 原式? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?2 2 2 2, 0 , 0 2 2 2 21 2 1 3 1 1 2 1 3 1l im2 3 1 2 1 3 1xyx y x yx y x y?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?22, 0 , 0 22 2 2 2 216l im1 2 1 3 1 2 3 1 2 1 3 1xyxyxy x y x y???? ? ? ? ? ? ? 11022? ? ? ． 本文主要介紹了一元函數(shù)及二元函數(shù)極限的求解方法，對(duì)于三元及三元以上的函數(shù)極限也有類(lèi)似的求解方法，如利用三元函數(shù)的定義，定理求其極限，或者先對(duì)其進(jìn)行合理變形，利用我們已知的結(jié)論如重要極限等求其極限，這里不再敘述 ． 綏化學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文 17 結(jié) 論 至此 ， 本論文研究 了 一元函數(shù)和二元函數(shù)極限的計(jì)算方法 ， 針對(duì) 一元函數(shù)給出了使用洛必達(dá)法則 、兩邊夾定理、代換法 等求極限 的方法 ， 針對(duì)二元函數(shù)給出了利用二元函數(shù)極限的定義 ， 使用夾逼 準(zhǔn) 則 ， 變量替換化為已知極限以及化為一元函數(shù)等求極限的方法來(lái)求二元函數(shù) 的 極限 ． 函數(shù)極限的求法雖有一定的規(guī)律可循 ， 但決不能死搬套用 ， 本文通過(guò)具體的例子來(lái)求解函數(shù)極限 ， 并對(duì)各種方法分析比較 ， 初步得出了求函數(shù)極限的若干方法 ， 只有領(lǐng)悟題目的含義和掌握各種方法的精髓 ， 才能更好的掌握函數(shù)極限的求法 ． 綏化學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文 18 參考文獻(xiàn) [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 ， 數(shù)學(xué)分析 （上冊(cè)） [M]， 北京：高 等教育出版社， (2020)：189 [2] 夏濱 ， 利用洛比達(dá)法則求函數(shù)極限的方法與技巧探討 [J]， 現(xiàn)代企業(yè)教育， 2020 (04)：155156 [3] 曹建元 ， 等價(jià)無(wú)窮小在極限運(yùn)算中的應(yīng)用 [J]， 上海電機(jī)技術(shù)高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2020(02)： 7375 [4] 宗慧敏 ， 求函數(shù)極限的方法與技巧 [J]， 民營(yíng)科技， 2020(6)： 8889 [5] 金桂榮，沈沉 ， 關(guān)于二元函數(shù)定義的探討 [J]， 高等數(shù)學(xué)研究， 2020， 11(2)： 89 綏化學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文 19 致 謝 ??????????? ? ..
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