求函數(shù)極限的若干方法畢業(yè)設(shè)計論文-展示頁
2024-09-09 10:17本頁面
【正文】 ex xx?? ??． 解 首先將下列初等函數(shù)化成馬克勞林公式 ? ?24 5cos 1 2 ! 24xxx o x? ? ? ?， 22xe? = ? ?24 51 28xx ox? ? ? ， ? ?5sin x x o x?? ， 代入得 ? ?4420 s inc oslim2xxex xx?? ??= ? ?? ?? ?4 4540 51112lim12xx x o xx o x?? ? ???． 注：在應(yīng)用馬克勞林公式時 ， 要用相同冪次數(shù)的 x 來代換 ， 這樣函數(shù)才能化繁為簡 ． （ 2） 利用等價無窮小代換法求函數(shù)極限 當(dāng) 0?x 時，有下列常用 的一組等價無窮?。?xx~sin ， xx~tan ， xx ~arcsin ，? ? xx ~1ln ? ， xex ~1? ， xcos1? ~ 22x ， axax ln~1? ， ? ? xx ?? ~11 ?? ， nxxn ~11 ?? ． 例 9 求極 限 ? ?? ?xx xxx ??? 1lnsin c os1lim 20． 解 這個函數(shù)極限用洛比達(dá)法則求較復(fù)雜 ， 直接用等價無窮小替換，代入得 ? ?? ?xx xxx ??? 1lnsinc os1lim 20= 2121lim220 ???? xxxxx． 注：只有當(dāng)因式相乘或相除時才能用等價無窮小代換，若相加或相減時不能隨意代換，否則，可能得出錯誤的結(jié)論 ． 1． 4 利用一些變形技巧求函數(shù)極限 對于連續(xù)函數(shù)，在應(yīng)用某些法則時，往往需要先對函數(shù)做一些變形，采用怎樣的變形，要根據(jù)具體的函數(shù)確定，常用的變形方法有分子分母有理化法，添加中介元素法及通分法 等 ． （ 1） 分子分母有理化法 綏化學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文 11 對于帶根式的函數(shù)，我們通常將帶根式的那一部分進(jìn)行有理化，消去根號，再 進(jìn)行 求解 ． 例 10 求極限xx xx ???? 11 3lim0． 解 當(dāng) 0x? 時， 1 1 , 1 1 , 1 1 0x x x x? ? ? ? ? ? ? ?． 將分母有理化 xx xx ???? 11 3lim0 = ? ?? ?? ?xxxx xxxx ?????? ???? 1111 113lim 0 = ? ?xxx ???? 11lim23 0= 223? =3． （ 2） 添加中介元素法 有時在函數(shù)式中添加一些中介元素，將函數(shù)式進(jìn)行合理變形，再利用一些常見的函數(shù)極限，例如： 1sinlim0 ?? xxx， exxx ??????? ???11lim 等 ， 可以使求解函數(shù)極限變得易如反掌 ． 例 11 求極限 xxx 3sinsinlim0?． 分析 利用 1sinlim0 ?? xxx， 添加中介元素 x ． 解 xxx 3sinsinlim0? = 3133s ins inlim3133 3s ins inlim 00 ??????xxxxxx xxx xxx． 當(dāng)然，對于此題添加中介元素 法 不是唯一的方法， 由于其滿足洛比達(dá)法則，因此用洛比達(dá)法則求解也是比較方便的，由此可以看出，對于一道題的解法是不唯一的，做題的時候要具體問題具體分析，選擇最恰當(dāng)簡潔的方法進(jìn)行求解 ． （ 3） 通分法 對于 ??? 型極限的 求解通常將分母進(jìn)行通分，以消去分母中的零因子，從而解出函數(shù) 的 極限 ． 例 12 求極限 ?????? ???? 31 1 31 1lim xxx． 解析 當(dāng) 1?x 時， ??????31 1,1 1 xx， 這是 ??? 型極限 ． 將分母通分，劃綏化學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文 12 去分母中的零因子 ． 解 ?????? ???? 31 1 311lim xxx = 23331 13lim 11x xxxx????? ??????? = 321 12lim xxxx ????= ? ?? ?? ?? ?21 11 12lim xxx xxx ??? ??? = ? ?21 1 2lim xxxx ?? ???= 1? ． 注：要根據(jù)函數(shù)極限的特征，運用合適的變形技巧 ． 1． 5 用兩邊夾定理求函數(shù)的極限 例 13 證明： exx ??????? ??? 11lim． 證明 先證 ???x 情況 ． 對 x? 1，有 ??x ≤ x ?? 1?x ，從而 ?? 111 ?? x x11? ≤ ??x11? ， 由冪函數(shù)（底 數(shù)大于 1）嚴(yán)格增加，有 ? ? ? ?xx ???????? ?? 111 xx?????? ?11 ? ? ? ? 111 ????????? ? xx ． 又因為 ? ? ? ? ennnx nnnnxx ??????? ??????? ???????? ?????????? ? ????????? 1111lim11lim11lim 11， ? ?? ?ennnxnnnnxx????????? ????????? ??????????? ??????????111111lim111lim111lim1， 于是， 有 exx ??????? ???? 11lim ． 綏化學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文 13 再證 ???x 情況 ． 當(dāng) x 0 時，設(shè) yx ?? ． ???x ? ???y ， 有 eyyy yyx yyyyyyxx ????????? ?????????? ??????????? ?????????? ???????? ? ?????????????? 111111l i m1l i m11l i m11l i m 1， 于是 exx ??????? ??? 11lim ． 二元函數(shù)是一元函數(shù)的延伸，因此它保留著一元函數(shù)的許多性質(zhì)，求一元函數(shù)極限的許多方 法也適用于二元函數(shù)極限 ， 下面來看二元函數(shù)極限的 求 法 ． 第 2 節(jié) 二元函數(shù)極限的計算方法 函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容 ， 一元函數(shù)與二元函數(shù)既有聯(lián)系又有區(qū)別 ， 當(dāng)然二元函數(shù)極限的求解比一元函數(shù)的極限要復(fù)雜的多 ， 本 節(jié)將 重點研究在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上推廣到二元函數(shù)極限的求解方法 ． 2． 1 利用定義求二元函數(shù)極限 例 1 用定義驗證：? ? ? ?? ? 3lim 221,1, ???? yxyxyx． 解 ? ? ? ? ? ?1113 2222 ????????? xyyxyxyx = ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?111111 ????????? yyxyyxx = ? ?? ? ? ?? ? 21112111 ????????????? yyyxxyyyxx ， 限定 0?? ，則 .11,11 ???? yx 從而 53113111 ????????????? yxyxyx ， 431312 ???????? yyy ． 故 ? ?1151415322 ??????????? yxyxyxyx ． 綏化學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文 14 設(shè) ? 為任意正數(shù) ， 取 ?
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