【導(dǎo)讀】收斂的充要條件是：部分和數(shù)列??nS有界，即存在某正數(shù)M，對一。達(dá)朗貝爾判別法設(shè)nu?為正項(xiàng)級數(shù)，且存在某正整數(shù)0N及常數(shù)q. 比式判別法的極限形式若nu?

　　

【正文】 1v + 2v +… + nv +… ??2 是兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù) ， 若 limnn nu lv?? ? ??3 則 (i)當(dāng) 0l ?? 時(shí) ， 級數(shù) ??1 、 ??2 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ； (ii)當(dāng) l =0 且級數(shù) ??2 收斂時(shí) ， 級數(shù) ??1 也收斂 ； (iii)當(dāng) l =?? 且級數(shù) ??2 發(fā)散時(shí) ， 級數(shù) ??1 也發(fā)散 在上面的定理中我們令 nv = 1kn， 則定理 1， 就演變成了如下： 定理 ??62 對于正項(xiàng)級數(shù)1 nn u???， 若 lim 0nn nu m?? ??或 limnn nu?? ??， 那么級數(shù)1 nn u???發(fā)散 ；如果有 k1 使得 lim knn nu???存在 ， 則級數(shù)1 nn u???收斂 下面對定理 2 進(jìn)行推廣 ， 以定理的形式敘述如下： 定理 3 設(shè)0 nn a???為正項(xiàng)級數(shù) ， 令 ? ?00nnnf n a???????， 0a? ， ??fn為當(dāng) x=n 時(shí)由某一函數(shù) ??fx所確定的值 ， ??fx連 且 續(xù)有直到 m階的有限導(dǎo)數(shù)： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1l i m l i m l i m l i m 0mx x x xf x f x f x f x?? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? 如果對 ??fx的 m階導(dǎo)數(shù) ? ?? ?mfx存在一冪函數(shù) ? ?0kmxk? ? ， 使得 ， ? ?? ?lim mkmx x f x s??? ?， 0 s? ??? 那么 當(dāng) 1k? 時(shí) ， 級數(shù)0 nn a???收斂 ， 當(dāng) 1k? 時(shí) ， 級數(shù)0 nn a???發(fā)散 證明：運(yùn)用羅必塔法則 m次可得 ， ? ? ? ?1l i m l i m1xxkkf x f xkxx? ? ? ??????? ? ? ?? ? ? ? ? ?l im 1 1 1mmxkmfxp p p mx???? ? ? ? ? 第 16 頁 共 18頁 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文用紙 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?l i m 1 1 1mkmmxx f xp p p m???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1msp p p m? ? ? ? ? 由于 ? ?11kn kNn?? ??當(dāng) 1k? 時(shí)收斂 ， 當(dāng) 1k? 發(fā)散 ， 則由定理 1， ? ?11kn kNn?? ??和級數(shù)1 nn a???同收斂 ， 所以當(dāng) 1k? 時(shí) ， 級數(shù)0 nn a???收斂 ， 當(dāng) 1k? 時(shí) ， 級數(shù)0 nn a???發(fā)散 證明完畢 3． 2 應(yīng)用 舉例 例 1 討論級數(shù)1 1 cosn n??????????? 是否收斂 解： 令 ? ? 1 cosfx x??? ， 則 ? ?2 sinfx xx??? ??， 存在 3x ， 使得 ? ? ? ? ? ?21l im l immkmxxx f x x f x??? ? ? ? ??2322s inl im s in l imxx xx xxx???? ??? ? ????? ? ? ? ????? 由于這里 21k??， 所以級數(shù)1 1 cosn x??????????? 收斂 例 2 判斷級數(shù)1 lnnaa n?????????? 是否收斂 解： 令 ? ? 1 cosfx x??? 則 ? ?? ?211 1afx a x x xa x ??? ? ? ? ??? ????， 存在 2x ， 使得 ? ?? ? ? ?11l im l immkmxxx f x x f x??? ? ? ? ?? ? ?2 1l i m 11x x xx????? ? ? ?????? 因?yàn)?1k? ， 所以級數(shù)1 lnnaa n?????????? 發(fā)散 第 17 頁 共 18頁 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文用紙 4 結(jié)束語 文中列舉的 幾種 推廣的 正項(xiàng)級數(shù)收斂判別法 ， 解決了某些題 目 用達(dá)朗貝爾 判別 法失效的問題 ， 同時(shí) 也簡化了一些題目的求解步驟 ， 這是有利的方面 ； 但是在判斷條件是否適合利用這些推廣的時(shí)候 ， 會帶來一些煩瑣的計(jì)算和證明所以在 判別 正項(xiàng)級數(shù)收斂 時(shí) ,要認(rèn)真分析 題目 ， 找出最簡潔的 判別 方法 致謝 感謝我的導(dǎo)師 宋文青 副 教授宋老師成 為我的畢業(yè)論文的導(dǎo)師那天起 ， 她就 告訴我如何搜集材料 ； 告訴我如何快捷地找到相關(guān)論文 ； 告訴我學(xué)校的 哪個(gè) 網(wǎng)站有本專業(yè)碩士、博士論文 ； 還定期的和我聯(lián)系論文的進(jìn)度情況和定期指導(dǎo)我的論文怎么寫才好 本論文的完成 ，離不開 她 的悉心知道和孜孜不倦地教誨 感謝我的班主任 張穎 老師 ， 在大學(xué)四年中給予我無微不至的照顧幫助使我在大學(xué)四年中不段的成長 在論文即將完成之際 ， 我的心情無法平靜 ， 從開始進(jìn)入課題到論文順利完成 ， 有多少可敬的師長、同學(xué)、朋友給了我無言的幫助 ， 在這里請接受我最誠摯的謝意！ 第 18 頁 共 18頁 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文用紙 參考文獻(xiàn) [1]華東 師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 ． 數(shù)學(xué)分析 (下 ) (第三版 ) [M]． 北京 :高等教育出版社 ,2020 [2]徐春 ． 正項(xiàng)級數(shù)斂散性的一種判別法 [J]． 四川輕化工學(xué)院學(xué)報(bào) ,2020． 6 [3]吳慧伶 ． 正項(xiàng)級數(shù)收斂性判別的一個(gè)推廣 [J]． 麗水學(xué)院學(xué)報(bào) ,2020． 10 [4]楊鐘玄 ． 正項(xiàng)級數(shù)收斂性的又一新判別法 [J]． 貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào) ,2020． 11 [5]唐仁獻(xiàn) ． 正項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法新探 [J]． 零陵學(xué)院學(xué)報(bào) ,2020． 9 [6]馬爾邁 ． 關(guān)于正項(xiàng)級數(shù)比值判別法的一個(gè)推廣 [J]． 浙江海洋學(xué)院學(xué)報(bào) 2020． 12 [7]張莉 ． 關(guān)于正 項(xiàng)級數(shù)收斂性判別的一個(gè)推廣 [J]． 華中師范大學(xué)學(xué)報(bào) ,2020． 12 [8]陳杰 ． 正項(xiàng)級數(shù)的一個(gè)新的判斂法 [J]． 寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào) ,2020． 4 [9]李密 ． 正項(xiàng)級數(shù)的一個(gè)新的判斂法 [J]． 金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào) ,2020． 3 [10]孫勇 ． 正項(xiàng)級數(shù)判別斂散新法探索 [J]． 開封大學(xué)學(xué)報(bào) ,2020． 12 [11]James W． Daniel。ummation of Series of Positive Terms by Condensation Transformations[J]。 Mathematics of Computation。 Vol． 23, No． 105 (Jan． , 1969), pp． 9196 [12]Jack P． Tull, David Rearick。 A Convergence Criterion for Positive Series[J]。 The American Mathematical Monthly, Vol． 71, No． 3 (Mar． , 1964), pp． 294295 [13]Markus M252。llera,? , Dierk Schleicher,? How to add a noninteger number of terms, and how to produce unusual infinite summations[J]， Germany School of Engineering and Science,2020． 10． 7 [14]Erik M． Altman *, Bruce D． Burns *， Streak biases in decision making: data and a memory model Action editor: Christian Schunn[J]， Department of Psychology, Michigan State University, East Lansing, MI 48824, USA； 2020． 12． 6