本科畢業(yè)論文-正定矩陣的性質(zhì)及推廣-資料下載頁
2025-08-24 17:14本頁面
【導(dǎo)讀】了進(jìn)一步的推廣，得到了廣義正定矩陣的一些性質(zhì)，并給出了相應(yīng)的證明.1n階實(shí)對稱矩陣A稱為正定的，如果對?稱A為正定矩陣,這種正定矩陣的全體記作lP.,都有正對角矩陣。1,5,設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣，則下列命題等價(jià)。A的正慣性指數(shù)為n，負(fù)慣性指數(shù)為0；8存在正定矩陣Q，使2AQ?所有與A合同的矩陣是正定矩陣；A的特征值都大于0；存在對角元素全大于零的上??下三角矩陣T，使TATT?作非退化線性替換YBX?是正定矩陣等價(jià)于TPAP是正定矩陣，，需先證明一個(gè)引理.，則A可以分解成AQT?是A的列向量，因?yàn)?A?線性無關(guān)，可作為n維線性空間的一組基，將其化為標(biāo)準(zhǔn)正交基，令。是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，令
【正文】 ??3 對 ? DAP? ，存在正對角矩陣 D ，使 0TX DAX ? ，顯然 SDP? ，所以 SAP??，所以 D SPP??； ??4 對 ? SAP??， 存在 S ? SP ,使得 0TX SAX ? ，當(dāng)然 lSP? ，所以 LAP??，所以 SLPP??? ； 洛陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 16 ??5 對 ?LAP??， 存在 S ? lP ,使得 0TX SAX ? ，因?yàn)?lDPP? ，所以 DSP? ，所以 DAP??，所以LDPP???. 6 廣義正定矩陣的一些性質(zhì) 定理 若 ?DAP，則 A ? 0 . 證明 因?yàn)?DAP? ，則存在正對角矩陣 D ，使 TX DAX ? 0 ，所以 DA lP? ，所以DA ? 0 ，因?yàn)?D ? 0 ，所以 A ? 0 . 定理 SAP??、 LAP??、 DAP??都有 A ? 0 . 其證明方法都類似于定理 ，在這里就不再一一寫出 . 定理 ? ? SSA P B P?? ? ?等 價(jià) 于， ?lCP， 使 或??A BC A CB. 證明 必要性 因?yàn)?SAP??,所以 SDP?? ,使 TX DAX 0? 則 lDAP? ， 1 SDP?? , 令 C =DA ,B = 1D? , 所以 A = 1D? DA =BC SBP? ， lCP? ， 或者，將 0?DAXXT 改寫為 ? ? ? ?1TDX AD DX? ? 0 , 令 C = 1AD? ? lP ,B =D ? SP , 所以 洛陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 17 A = 1AD? D =CB . 充分性 不妨設(shè) ? SBP? , lCP? ，使 A BC? ，則 C = 1BA? ，因?yàn)?lCP? ,所以對 ? 1nXR?? 0? ， 有 TXCX ? 0 ,即 1TX B AX? ? 0 ,因?yàn)?1B? SP? ,所以SAP??. 定理 說明，對稱正定矩陣和實(shí)正定矩陣之積為廣義實(shí)正定矩陣，這也可作為廣義正定矩陣的定義和判定定理 . 定理 ? ? 設(shè) A? SP?,則存在正交矩陣 Q ，使得 T DQ AQ P? . 證明 因?yàn)?A? SP?，所以存在 SSP? , 使得 lSA P? ，因?yàn)?SSP? ，所以存在正交矩陣 Q ，使 TQSQ 為正對角矩陣，又 TQSAQ= TQSQ TQAQ ， 因?yàn)?TQSAQ lP? ，所以對 ? 1nXR?? 0? ，有 TTX Q SAQX ? 0 ,即 ? ?? ?T T TX Q SQ Q AQ X? 0 , 因?yàn)?TQSQ 為正對角矩陣，所以 T DQ AQ P? . 7 結(jié)束語 通過本文的寫作，使我對正定矩陣有了更加深入的認(rèn)識，并且利用正定矩陣解決了代數(shù)中的一些問題 . 在此基礎(chǔ)上，將正定矩陣作了進(jìn)一步的 推廣，得到了廣義正定矩陣 . 8 致謝 本論文在選題及寫作過程中得到黃盛老師的悉心指導(dǎo)，黃老師多次詢問寫作進(jìn)程，并為我指點(diǎn)迷津，幫助我開拓研究思路，精心點(diǎn)撥、熱忱鼓勵(lì) . 黃老師一絲不茍的作風(fēng)，嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的態(tài)度，踏踏實(shí)實(shí)的精神，深深地感染和激勵(lì)著我 . 正是由于他在百忙之中多次審閱全文，對細(xì)節(jié)進(jìn)行修改，并為本文的撰寫提供了許多中肯而且寶貴的意見，本文才得以成型 . 在此對黃老師表示由衷的感謝！ 同時(shí)，也感謝大學(xué)里各位老師的教導(dǎo)以及班級同學(xué)的幫助和支持！ 洛陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 18 參考文獻(xiàn) [1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組 . 高等代數(shù) [M]. 第三版 . 北京：高等教育出版社， 2020: 162226. [2]戴澤儉，凌燈榮，夏徐林 . 關(guān)于正定矩陣的進(jìn)一步推廣 [J]. 安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2020,12（ 2）： 2324. [3]佟文廷 . 廣義正定矩陣 [J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào) , 1984(27): 810810. [4]夏長富．鉅陣正定性的進(jìn)一步推廣 [J]．?dāng)?shù)學(xué)研究與評論 , 1988, 8(4)： 499504. [5]吳亞敏 . 正定矩陣的性質(zhì) [J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 , 2020: 110111. [6]錢吉林 . 高等代數(shù)題解精粹 [M]. 第二版 . 北京：中央民族大學(xué)出版社， 2020: 112224. [7]岳貴鑫 . 正定矩陣及其應(yīng)用 [J]. 遼寧省交通高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào) ,2020,10(5): 3033. [8]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 數(shù)學(xué)分析 [M]. 第三版 . 北京：高等教育出版社 , 2020: 136139. [9]薛蓉華 . 二次型性質(zhì)的若干應(yīng)用 [J]. 福建工程學(xué)院學(xué)報(bào) , 2020, 9(3): 273275. [10]何春羚 . 關(guān)于廣義正定矩陣性質(zhì)的討論 [J]. 重慶 文理學(xué)院學(xué)報(bào)， 2020, 26(4): 1517. [11]沈光星 . 廣義正定矩陣及其性質(zhì) [J]. 高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào) , 2020（ 2）： 186192. [12]史秀英 . 正定矩陣的等價(jià)命題及其應(yīng)用 [J]. 赤峰教育學(xué)院學(xué)報(bào) , 2020, 2: 4446. 洛陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 19 The Properties of Positive Definite Matrix and Promotion LI Junxia College of Mathematics Science No： 080414076 Tutor: HUANG Sheng Abstract: Positive definite matrices is a kind of more important and widespread matrix, as a kind of special matrix, of course, there are many different properties with other matrix, this paper gives some properties of positive definite matrix. Secondly, given the positive definite matrix inequalities in proof, let the function extreme value, polynomial of factoring deposition specific application on the positive definite matrix was further promotion, get some properties of the generalized positive definite matrix, and the correspondi ng proof. Key words: positive definite matrix。 generalized positive definite matrix。 positive diagonal matrix。 real symmetric matrice
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