【導讀】計算機控制仿真課程設計

　　

【正文】 指標以時域特征量給出時，采用根軌跡法進行校正比較方便。根軌跡法校正的優(yōu)點是根據(jù)根平面上閉環(huán)零、極點的分布位置，可直接估算系統(tǒng)的動態(tài)性能。 如果原系統(tǒng)動態(tài)性能不能滿足要求，則可采取串聯(lián)超前校正裝置進行校正。串聯(lián)超前校正的基本出發(fā)點，是先設置一對能滿足性能指標要求的共扼主導極點，稱為希望主導極點。由于原系統(tǒng)不滿足動態(tài)性能要求，希望主導極點自然不會在原系統(tǒng)的根軌跡上。使超前網(wǎng)絡的零點落在原系統(tǒng)主導實數(shù)極點 (坐標原點的極點除外 ) 附近，以構成偶極子，使已校正系統(tǒng)根軌跡形狀改變，向左移動，以增大系統(tǒng)的阻尼和帶寬，并使希望主導極點落在已校正系統(tǒng)的根軌跡上，從而滿足性能指標要求。 47 六 、單級倒立擺的最優(yōu)控制器設計 設計要求 某倒立單擺系統(tǒng)如圖 61 所示，其狀態(tài)方程已知。 圖 61 倒立單擺系統(tǒng)如示意圖 其中小車的質(zhì)量為 M=，倒立單擺的質(zhì)量為 m=，小車的摩擦系數(shù)為 b=，端點與倒立單擺質(zhì)心的距離為 l=，倒立單擺的慣量I=*m2，輸入量 u=F 是施加在小車上的外力，四個狀態(tài) 變量分別是小車的坐標 x， x 的一階導數(shù)，倒立單擺的垂直角度 Φ， Φ 的一階導數(shù)。輸出的被控量分別是小車的坐標 x 和倒立單擺的垂直角度 Φ。 試根據(jù)誤差指標 J 最優(yōu)意義下最優(yōu)的規(guī)則設計線性二次型最優(yōu)控制器，利用SIMULINK 搭建系統(tǒng)框圖進行仿真，滿足以下指標： 輸出量 x 和 Φ 的過渡過程時間小于 2s。 輸出量 x 的上升時間小于 。 輸出量 Φ 的超調(diào)量小于 20176。（ ）。 總體方案設計 LQR 最優(yōu)設計指設計出的狀態(tài)反饋控制器 K 要使二次型目標函數(shù) J 取最小值，而 K 由權矩陣 Q 和 R 唯一決定，通過對 Q、 R 的選擇，來達到最優(yōu)控制的目的，圖 62 所示為控制框圖。 48 圖 62 控制框圖 基本理論知識 最優(yōu)控制理論 設給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ： 二次型性能指標函數(shù)： 其中：加權陣 Q 和 R 是用來平衡狀態(tài)向量和輸入向量的權重， Q 是半正定實對稱常數(shù)矩陣， R 是正定實對稱常數(shù)矩陣。 根據(jù)極值原理，可以得出最優(yōu)控制律，即 ： 式中， K 為最優(yōu)反饋增益矩陣； P 為常值正定矩陣，必須滿足黎卡提（ Riccati）代數(shù)方程，即 ： 則最優(yōu)反饋增益 K 為： Q、 R 的選擇原則 由原理可 知，要求出最優(yōu)控制作用 u，除了求解 ARE 方程外，加權矩陣的選擇也是至關重要的。而 Q、 R 選擇無一般規(guī)律可循，一般取決于設計者的經(jīng)驗，49 常用的所謂試行錯誤法，即選擇不同的 Q、 R 代入計算比較結果而確定。有以下幾種原則： （ 1） Q、 R 都應是對稱矩陣， Q 為正半定矩陣， R 為正定矩陣。 （ 2） 通常選用 Q 和 R 為對角線矩陣，實際應用中，通常將 R 值固定，然后改變 Q 的數(shù)值，最優(yōu)控制的確定通常在經(jīng)過仿真或?qū)嶋H比較后得到。當控制輸入只有一個時， R 成為一個標量數(shù)（一般可直接選 ）。 （ 3） Q 的選擇不唯一。這表明當 得到的控制器相同時，可以有多種 Q 值的選擇，其中總有一個對角線形式的 Q。 LQR 最優(yōu)控制器系統(tǒng)設計的 Matlab 實現(xiàn)方法 Matlab 控制系統(tǒng)工具箱提供了完整的解決線性二次型最優(yōu)控制問題的命令和算法，其中函數(shù) lqr( )可以直接求解二次型調(diào)節(jié)器問題，命令格式如下：[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)，其中 K 為最優(yōu)反饋增益矩陣， P 為 Riccati 方程的唯一正定解， E 為 ABK 的特征值。 詳細設計 已知倒立擺模型為 其中小車的質(zhì)量為 M=，倒立單擺的質(zhì)量為 m=， 小車的摩擦系數(shù)為 b=，端點與倒立單擺質(zhì)心的距離為 l=，倒立單擺的慣量I=*m2，輸入量 u=F 是施加在小車上的外力，四個狀態(tài)變量分別是小車的坐標 x， x 的一階導數(shù)，倒立單擺的垂直角度 Φ， Φ 的一階導數(shù)。輸出的被控量分別是小車的坐標 x 和倒立單擺的垂直角度 Φ。 由以上數(shù)據(jù)可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下： 50 （ 1）分析原系統(tǒng)的開環(huán)階躍響應。 首先求開環(huán)系統(tǒng)的特征值，判斷其穩(wěn)定性。然后根據(jù)系統(tǒng)的階躍響應曲線分析當前的運動情況與期望性能指標之間的差距，確定校正手段，編程如下： %系統(tǒng)狀態(tài)方程 A=[0 1 0 0。0 0。0 0 0 1。0 0]。 B=[0。 。0。 ]。C=[1 0 0 0。0 0 1 0]。D=[0]。 %求解系統(tǒng)的特征值 p=eig(A) t=0::1。 %階躍響應 step(A,B,C,D,1,t) 系統(tǒng)的特征值 p = 0 系統(tǒng)有一個位于右半平面的極點，故不穩(wěn)定。系統(tǒng)的階躍響應曲線如圖 63所示，上圖是小 車坐標 x 的階躍響應曲線，下圖是倒立擺的垂直角度 Φ 的階躍響應曲線，所以必須加入校正裝置。 51 圖 63 開環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線 （ 2）線性二次型最優(yōu)控制器的設計 設計線性二次型最優(yōu)控制器的設計的關鍵是選擇加權矩陣 Q。一般來說， Q選擇的越大，系統(tǒng)達到穩(wěn)定所需要的時間越短。首先選擇 ， R=1，然后根據(jù)實際情況調(diào)節(jié)。編程如下： %Q 和 R 矩陣的選擇 m=1。n=1 Q=[m 0 0 0。0 0 0 0。0 0 n 0。0 0 0 0]。R=[1]。 %求解線性二次型最優(yōu)狀態(tài) [k,p,e]=lqr(A,B,Q,R) %求解系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程 Ac=[(AB*k)]。Bc=B。Cc=C。Dc=D。 %輸出系統(tǒng)階躍響應 T=0::10。 U=ones(size(T))。 [Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T)。 y1=Y(:,1)。y2=Y(:,2)。 plot(T,y1,39。r:39。,T,y2)。 title(39。Inverted Pendulum LQ Step Response39。)。 xlabel(39。時間（ sec） 39。)。 52 ylabel(39。響應 39。)。 grid。 legend(39。小車位移 39。,39。擺桿傾角 39。) 結果為： k = p = e = + + 此時求得的線性二次型最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為： 其響應曲線如圖 64 所示 ： 53 圖 64 m= n=1 時 階躍響應曲線 從圖 64 可以看出，超調(diào)量基本滿足要求，但穩(wěn)定值與系統(tǒng)期望值相差太大（小車坐標的響應曲線穩(wěn)態(tài)值為負值）；另一方面過渡時間和上升時間都很大，必須重新校正。校正方法就是加大加權矩陣 Q 的值。 取 m， n 分別為以下值進行仿真 m 10 50 110 200 500 110 1000 4000 …… n 10 60 110 210 510 500 110 110 …… 圖 65 m=10。n=10 圖 66 m=50。n=60 54 圖 67 m=110。n=110 圖 68 m=200。n=210 圖 69 m=500。n=510 圖 610 m=500。n=110 圖 611 m=110。n=500 圖 612 m=1000。n=110 55 圖 613 m=4000。n=110 圖 614 m=4500。n=110 通過多次修改數(shù)據(jù)后仿真，當 m=4500， y=110 時效果比較理想。此時狀態(tài)反饋矩陣 k =（ ）。階躍響應如圖 615 所示 圖 615 m=4500、 n=110 時 階躍響應曲線 分析當 m=4500， n=110 時，系統(tǒng)的上升時 間，調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量，編程如下： %Q 和 R 矩陣的選擇 m=4500。n=110。 Q=[m 0 0 0。0 0 0 0。0 0 n 0。0 0 0 0]。R=[1]。 %求解線性二次型最優(yōu)狀態(tài) [k,p,e]=lqr(A,B,Q,R) 56 %求解系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程 Ac=[(AB*k)]。Bc=B。Cc=C。Dc=D。 %輸出系統(tǒng)階躍響應 step(Ac,Bc,Cc,Dc) 得到以下結果： 輸出量 X 的上升時間 ，調(diào)節(jié)時間 ，超調(diào)量 %； 輸出量 Φ 的上升時間 *10^16s，調(diào)節(jié)時間 ，超調(diào)量 。 階躍響應曲線如圖 616 所示： 圖 616 階躍響應曲線 從圖 616 可知，系統(tǒng)響應的快速性得到了明顯改善，上升時間和調(diào)節(jié)時間以及超調(diào)量都滿足最初設計要求。 綜上所述，基于最小值原理的線性二次型最優(yōu)控制，通過求解代數(shù) Riccati方程，得到的狀態(tài)反饋矩陣 K，可以使系統(tǒng)的各種狀態(tài)獲得漸進穩(wěn)定特性。它的不足之處在于，加權矩陣 Q、 R 的值與系統(tǒng)響應性能之間的關系是定性的，往往不能一次得到滿意的結果，需要多次調(diào)整它們的值得到滿意的系統(tǒng)響應性能。 調(diào)試 Simulink 仿真 用 Simulink 進行仿真，框圖如圖 617 所示。 57 圖 617 仿真框圖 運行結果如圖 618 所示，其中紫色線代表擺桿傾角，黃色線代表小車位移。 圖 618 示波器運行結果 設計總結 58 這道題目幫助我們了解并掌握了 LQR 設計方法。對 LQR 設計中的加權矩陣Q 和 R 的選擇的過程，是一個嘗試的過程。通過大膽合理的多次嘗試，我們不斷改變矩陣中的元素值，最終得到了合理的矩陣，在滿足系統(tǒng)的性能指標要求的同時，也明了了系統(tǒng)的動態(tài)響應與兩個加權矩陣之間的關系。 當 Q 不變而 R 減小 時，倒立擺系統(tǒng)的調(diào)整時間與超調(diào)量減小，上升時間與穩(wěn)態(tài)誤差增大；當 R不變而 Q 變大時，調(diào)整時間與超調(diào)量減小，擺桿的角度變化也同時減小，但上升時間與穩(wěn)態(tài)誤差卻同時增大。當然，當 Q 和 R 的變化與上述兩種情況相反時，結論恰好相反。實驗結果表明了該規(guī)律的有效性與實用性，同時也顯示出了 LQR控制器較好的魯棒性與動態(tài)性能。在實際的控制系統(tǒng)設計中， Q 和 R 的選擇應該很據(jù)上述規(guī)律進行選擇，但是也要注意與實際情況相結合，這樣得到的矩陣才是合理科學的。 參考文獻 [1] 楊國安 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