【導(dǎo)讀】集體，均已在文中以明確方式注明并表示感謝。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。至還造成了第二次的數(shù)學(xué)危機(jī)。實(shí)數(shù)完備性，又稱為實(shí)數(shù)連續(xù)性是微積分建立的基礎(chǔ)，是微積分。大廈堅(jiān)實(shí)的理論地基。校歷第2-4周（）：查閱題目相關(guān)資料，撰寫(xiě)并提交開(kāi)題報(bào)告；校歷第7-8周（）：熟悉實(shí)數(shù)完備性中的命題，并研究其性質(zhì)；校歷第9-10周（）：完整證明六個(gè)命題的等價(jià)性；校歷第11-12周（）：總結(jié)之前工作，整理論文思路，撰寫(xiě)論文大綱；校歷第15周（）：提交論文定稿并進(jìn)行畢設(shè)答辯。課題可以說(shuō)是對(duì)這部分內(nèi)容重要性的補(bǔ)充,很有必要.該課題的有利工具。行.在對(duì)實(shí)數(shù)完備性理解更深刻之后,研究它在整個(gè)微積分體系中的作用,并具體舉例說(shuō)明.作方案行之有效，計(jì)劃合理。

　　

【正文】 nnnn )( ??k ， 又得 )(0 ????? kxxkn。最后，由（ 5）式有 ? ? ? ? 0?????? nn xfxf ，在上式中令??k ，由 f 的連續(xù)性及數(shù) 列極限的保不等式性，得到 ? ? ? ? ? ? ? ? 000 l i m0 ????????? ?? kk nnk xfxfxfxf 。 19 這與 00?? 相矛盾 . 所以 f 在 ? ?ba, 上一致連續(xù)。 應(yīng)用 舉例 ]1[ 例 求下列數(shù)集的上、下確界，并依定義加以驗(yàn)證： （ 1） }2{ 2 ?? xxS ； （ 2） },!{ ???? NnnxxS ； 解 （ 1） 2sup ?S ， 2inf ??S ，下面依定義驗(yàn)證。 因 22?x ，等價(jià)于 22 ??? x ， 所以對(duì)任意的 Sx? ，有 2?x 且 2??x ， 即 2 、 2? 分別是 S 的上、下界。又對(duì)任意的正數(shù) ? ， 不妨設(shè) 22?? ， 于是存 在 220 ???x， 221 ????x， 使 0x ， Sx?1 ，使 ??? 20x ， ???? 21x ， 所 以由上下確界的定義 2sup ?S ， 2inf ??S （ 2） ???Ssup ， 1inf ?S ，下面依定義驗(yàn)證。 對(duì)任意的 Sx? ， ????x1 ，所以 1 是 S 的下界。因?yàn)閷?duì)任意的 0?M ，令 ? ? 1?? Mn ，則 Mn?! ，故 S 無(wú)上界，所以 ???Ssup ；對(duì)任意的正數(shù) ? ，存在 Sx ??? 1!11 ，使 ???11x ，所以 1inf ?S 。 例 設(shè) ??nx 為單調(diào)數(shù)列。證明：若 ??nx 存在聚點(diǎn)，則必是唯一的，且為 ??nx 的確界。 證 設(shè) ??nx 為遞增數(shù)列，設(shè) ? 為 ??nx 的聚點(diǎn)。下面證明 ? ?nxsup?? （ 1） ? 是 ??nx 的上界 .若不然， ? ?nN xx ?? ，使 Nx?? ，取 ?? ?? Nx0 ，由 ? ?nx的遞增性， ? ?0,??? 內(nèi)只含有 ??nx 中的有限項(xiàng) 121 , ?Nxxx ? .這與 ? 是 ??nx 的聚點(diǎn)矛盾 .從而 ? 是 ??nx 的上界。 2） ???a ，取 20 a????，則 ? ? ? ?nN xx ??? 0,??? ，使得 Nxa? 。 所以 ? ?nxsup?? .由確界的唯一性，聚點(diǎn)是唯一的。 例 證明：在 ? ?ba, 上的連續(xù)函數(shù) f 為一致連續(xù)的沖要條件是 ? ?0?af ，? ?0?bf 都存在。 證 （必要性）設(shè) f 在 ? ?ba, 上一致連續(xù)，則 ? ?baxx ,0,0 /// ?????? ?? 只要 20 ??? /// xx ，就有 ? ? ? ? ??? /// xfxf （ 6） 取 21 ???，則 ? ? ? ?baaaxx , 1/// ????? ，有（ 6）式成立 .由柯西準(zhǔn)則， ? ?0?af 存在。同理 ? ?0?bf 也存在。 例 設(shè) f 定義在 ? ?ba, 上。證明：若對(duì) ? ?ba, 內(nèi)任一收斂數(shù)列 ??nx ，極限? ?nn xf??lim 都存在，則 f 在 ? ?ba, 上一致連續(xù)。 證 假設(shè) f 在 ? ?ba, 上不一致連續(xù)，則 00??? ，對(duì) 0?? ，總存在 ? ?baxx , /// ? ，盡管 ??? /// xx ，但有 ? ? ? ? 0/// ??? xfxf 。 令 n1?? ，與它相應(yīng)的兩點(diǎn)記為 ? ?baxx nn , /// ? ，盡管 ??? /// nn xx ，但有 ? ? ? ? 0/// ??? nn xfxf （ 7） 當(dāng) n 取遍所有正整數(shù)時(shí)，得數(shù)列 ? ?? ? ? ?baxx nn , /// ? ，由致密性定理，存在 ??/nx 的收斂子列 ??/knx，設(shè)0/lim xx knk ???。 又 ? ???????????? kxxxxxxnxx kkkkkk nnnnknn 01 0////0/////，即0//lim xx knk ??? 由（ 7）式有 ? ? ? ? 0/// ???kk nn xfxf，令 ??k ，得 ? ? ? ?0/// limlim0 ???? ???? kk nknk xfxf。 這與 00?? 相矛盾 . 所以 f 在 ? ?ba, 上一致連續(xù)。 例 設(shè)函數(shù) )(xf 定義在 ? ?ba, 上 , ? ?bax ,0?? ,極限 )(lim0 xfxx?都存在。證明)(xf 在 ? ?ba, 上有界。 分析 函數(shù) f 在每點(diǎn) ? ?bax ,? 處由函數(shù)極限的局部有界性 , )。( xxU ?? ,在其中 f 有界 ,于是 ? ?? ?baxxUH x ,),。( ?? ? 成為 ? ?ba, 的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋。然后可用有限覆蓋定理得結(jié)論成立。讀者從本例中可以了解如何應(yīng)用有限覆蓋定理。另外 ,本例可應(yīng)用致密性定理 ,通過(guò)反證法來(lái)證明。 證 因?yàn)?)(xf 在 ? ?ba, 上 每 點(diǎn) 存 在 極 限 , 由 函 數(shù) 極 限 的 局 部 有 界 性 , ? ?bax ,0?? , )。( xxU ?? 與 0?xM ,使得 xx MtfxUt ??? )(),。( ? 。所有這種鄰域的集合 ? ?? ?baxxUH x ,)。( ?? ? 成為 ? ?ba, 的一個(gè)開(kāi)覆蓋 。 由有限覆蓋定理 ,存在 ? ?ba, 的有限開(kāi)覆蓋 。 若取 ixMniM max1 ??? ,則因 H~ 覆蓋了 ? ?ba, ,對(duì) ? ?ba, 中每一 x ,它必屬于 H~ 中某一鄰域? ?xkkxU ?。 , 于是 f(x)163。Mxk 163。M。 21 例 若函數(shù) )(xf 在 ? ?ba, 上無(wú)界 ,則必存在 ? ?ba, 上某點(diǎn) ,使得 )(xf 在該點(diǎn)的任 意領(lǐng)域內(nèi)無(wú)界。 證 用反證法 ,若 ? ?bax ,?? ,存在 0?x? ,使得 )(xf 在 )。( xxU ? 中有界 ,則令 ? ?? ?baxxUH x ,)。( ?? ? , 它成為 ? ?ba, 的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋由有限覆蓋定理 ,存在 ? ? HkixUH ixi ???? 1)。(* ? 為 ? ?ba, 的有限開(kāi)覆蓋。由于 )(xf 在每上 )。(ixixU ?內(nèi)有界 ,因此 )(xf 在 ? ?ba, 上有界 ,這與 )(xf 在 ? ?ba, 上的無(wú)界性相矛盾。 例 設(shè) f 在 ? ?ba, 上連續(xù) ,對(duì)任何 ? ? 0)(, ?? xfbax .試用有限覆蓋定理證明 :一定存在 0?c ,使得對(duì)任何 ? ?bax ,? ,滿足 f(x)179。c 。 證 ? ?bax ,?? , 因?yàn)?0)(?xf , 由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性 , 于是,0??x? )。(39。,0 xx xUx ?? ???? , 2 )()39。( xfxf ? ?，F(xiàn)令 ? ?? ?baxxUH x ,)。( ?? ? ， 它是 ? ?ba, 的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋，由有限開(kāi)覆蓋定理，存在 ? ? HkixUH ixi ???? 1)。(* ? 為 ? ?ba, 的有限開(kāi)覆蓋 ,取 ,02 )(m in1 ???????? ?? iki xfc ? ?bax ,?? ,? 某個(gè)（ ki??1 ） ,使 )。( ixixUx ?? , 于是 cxfxf i ?? 2 )()( 。 例 設(shè)函數(shù) f 對(duì)任何 ),( ba 內(nèi)的 x ,存在 0?x? ,使得 f 在 ),( xx xx ?? ?? 內(nèi)遞增試證 f 在整個(gè) ),( ba 內(nèi)亦遞增。 證 baaaaa ???? 2121 , ,證明 ? ?,).()( 2121 aaxafaf ??? 由所設(shè)條件 0?? x? ,使 f 在 ),( xx xx ?? ?? 內(nèi)遞增 ,故 ? ?? ?21 ,)。( aaxxUH x ?? ? 是 ? ?21,aa 后個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋 ,由有限覆蓋定理 ,存在 ? ? HkixUHixi ???? 1)。(* ?為 ? ?21,aa 的有限開(kāi)覆蓋 ,為敘述方便起見(jiàn) ,不妨設(shè)由 )。(),。(21 21 xx xUxU ??就能覆蓋 ? ?21,aa , 且設(shè) 21 xx? 。 若 )。(112 xxUa ??, 則因 )。(111 xxUa ??, f 在 )。(11 xxU ?中遞增 , 故)()( 21 afaf ? ；若 )。( 112 xxUa ?? , 則 )。( 222 xxUa ?? , 且因 22 ??? ?? )。()。( 21 21 xx xUxUV ?,故 Va??* ,使 2*1 aaa ?? 。于是又有 f (a1 ) 163。 f (a * ) 163。 f (a2 )。 對(duì) 2?k 的有限情形可類似地證明。由此可見(jiàn) , )(xf 在 ),( ba 上遞增。 例 試用確界原理證明 :若函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù) ,則 f 在 ? ?ba, 上有界。 分析 設(shè) ? fxS? 在 ? ?xa, 上有界 , ??bax ,(? 。因?yàn)橛?f 在點(diǎn) a 的局部有界性 ,可知 S 是非空數(shù)集 ,且以 b 為上界 ,由確界原理 ,存在 Ssup 。關(guān)鍵在于證明 Sb sup? ,并證 Sb? ,以使 ? ?baS ,? ,即 f 在 ? ?ba, 上有界。 證 設(shè) ? fxS? 在 ? ?xa, 上有界 , ??bax ,(? 。 由分析可知 ,S 為非空有上界數(shù)集 ,于是由確界原理 ,存在 Ssup?? 。 現(xiàn)用反證法證明 b?? 。 若 b?? ,由連續(xù)函數(shù)的局部有界性， 00??? ,使 )(xf 在 ),( 00 ???? ?? 內(nèi)有界 ,即 ? ?1????nnt tbabx ,使 Sx?0 ,而這與 Ssup?? 相矛盾 ,所以 b?? 。 再證函數(shù) f 在 ? ?ba, 上有界。因?yàn)?f 在點(diǎn) b 處連續(xù) ,于是 00??? , f 在?bb ,( ?? 上有界 。再由 Sb sup? ,可知 f 在 ]2,( ??ba 中有界 ,于是 f 在 ? ?ba, 上有 界。 例 設(shè) )(xf 為定義在限區(qū)間 I 上的函數(shù) ,對(duì) I 內(nèi)任何柯西列 ??nx ,? ?nxf( 也是柯西列 .試證 f 是 I 上的一致連續(xù)函數(shù)。 證 用反證法 . 若 f 在 I 上不一致連續(xù)函數(shù) , 于是 ? ?,39。,00 nx??? ? ? nxxIx nnn 139。39。39。,39。39。 ??? ， 但 0)39。39。()39。( ??? nn xfxf 。 由致密性定理 ,對(duì)有界數(shù)列 ? ? ? ? ? ? 。,39。39。,39。 39。lim ???? ?? knxknknn xxx 因?yàn)? )(039。39。39。 ???? kxx knkn , 于是 ???? knxk 39。lim 。 這樣 ,數(shù)列 ?? ,39。39。,39。,39。39。,39。,39。39。,39。 2211 knknnnnn xxxxxx 也收斂于 ? ,因而是柯西列 。但因?yàn)?0)39。39。()39。( ??? knkn xfxf ,使得 ?? ),39。39。(),39。(),39。39。(),39。(),39。39。(),39。( 2211 knknnnnn xfxfxfxfxfxf 23 不是柯西列 ,這與假設(shè)相矛盾。 注 ： 如何應(yīng)用反證法證 明結(jié)論是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn) ,掌握好 基本概念的否定說(shuō)法的正面陳述是其中的關(guān)鍵。因此不難證明本題中的條件不僅是充分的 ,而且是必要的 ,于是函數(shù)在有限區(qū)間上一致連續(xù)的充分條件是對(duì) I 上任何 ??nx ， ? ?)( nxf 也是柯西列。 24 結(jié)論 《實(shí)數(shù)完備性研究及應(yīng)用》這篇論文并不能稱得上是一篇具有創(chuàng)新性的論文，前人對(duì)于此項(xiàng)方面的研究已經(jīng)積累到了一定水平。而我所做的工作就是“站在巨人的肩膀上”。我雖然沒(méi)有進(jìn)行知識(shí)的創(chuàng)新，但是我對(duì)搜集到的資料記性了細(xì)致的 分析和編排，完成了這篇論文。 實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)基本定理是彼此等價(jià)的，因此對(duì)同一個(gè)有關(guān)問(wèn)題都是有效的，但是由于各個(gè)基本定理的內(nèi)容是不一樣的，因此所作出的證明也可以很不相同。即使同一個(gè)基本定理，也可能有不同的方法，即使方法相同還可以有不同的細(xì)節(jié)。復(fù)旦大學(xué)的蘇步青教授說(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)的理論是美妙的，引人入勝；數(shù)學(xué)的方法是精巧的，豐富多彩；但學(xué)好數(shù)學(xué)卻必須付出艱辛的勞動(dòng)！”讓我們悉心于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究，盡情的享受數(shù)學(xué)之美吧！ 25 致謝 時(shí)光飛逝，四年豐富多彩的大學(xué)生活也已經(jīng)接近尾聲。這四年的大學(xué)學(xué)習(xí)生活走得并不那么輕松，但在 我看來(lái)，這個(gè)過(guò)程就好比是一場(chǎng)遠(yuǎn)足旅行，即使過(guò)程辛苦疲憊，但心里也覺(jué)得心滿意足。從三月份到現(xiàn)在，從開(kāi)始零零碎碎對(duì)課題資料的搜集，了解到后來(lái)的認(rèn)真閱讀，這近三個(gè)月的時(shí)間我終于完成了這篇論文。畢業(yè)設(shè)計(jì)論文即將完成，在這個(gè)令人激動(dòng)的時(shí)刻，我要向那些幫助過(guò)我的人表達(dá)衷心的感謝。首先，要感謝的是馬曉玨馬老