【正文】 ?1122 , baba ? ， 且 )(21222 abab ???。 最后使用區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理 證 假設(shè)定理的結(jié)不成立，則不能用 H 中有限個開區(qū)間來覆蓋 ? ?ba, 。 ?????? nnn ab??，故有 ???39。 ???? nab nn?? 。? 也滿足 , . . .2,1,39。 下面證明滿足 , . . .2,1, ??? nba nn ? 的 ? 是唯一的 。 同理，遞減有界數(shù)列 ??nb 也有極限，并按區(qū)間套的條件（ ii）有 ??? ???? nnnn ab limlim ，且 ,...2,1, ?? nbn ? 。 同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且 其 極限 即 為它的下確界 。 另一方面，由于 a 是 數(shù)列 ??na 的一個上界，故對一切 na 都有 ???? aaan 。 . 事實上， 任給 0?? ，按上確界 的 定義，存在數(shù)列 ??na 中的 某 一項 Na 使得 Naa ??? 。 由 確界原理，數(shù)列 ??na 有 上確界， 記為 ? ?naa sup? 。 同理可證 ： 若 S 為非空有下界數(shù)集 ， 則必存在下確界 。 結(jié)合上式得 ?????? ?????? 22 。 其次， 對任何 0?? ， 由 )(01 ??? nn 及 (2)式 ， 對充分大的 n 同時有 21??n ， 2??? ??n 。 于是 ， 對任給的 0?? ， 存在 0?N ， 使得當 Nmn ?, 時有 ??? ?? nm 由柯西收斂準則 ， 數(shù)列 ??n? 收斂 . 記 ?? ??? nnlim (2) 現(xiàn)在證明 ? 就是 S 的上確界 。 分別取 n1?? ， ,....2,1?n ， 則對每一個正整數(shù) n ， 存在相應(yīng)的 n? ， 使得 n? 為 S 的上界 ,而 nn 1?? 不是 S 的上界 ， 故存在 S??? ， 使得 nn 1??? ?? (1) 又對正整數(shù) m ， m? 是 S 的上界 ， 故有 ?? ??m . 結(jié)合 (1)式得 nmn 1???? ； 同理有 mnm 1????。 對認給的 0?? ，存在 0?K ， 當 Kkmn ?, 時，同時有 2???mn aa（柯西條件） 2???AaKn （ Aaknk ???lim） 12 因此當取 ? ?Kknm k ??? 時，得到 ??? ???????? 22AaaaAakk nnnn 這就證明了 Aann ???lim。 令 }1, . . . ,m a x { 121 ?? ?NN aaaaM ，則對一切正整數(shù) n 均有 Man ? 。 先證明 ??na 是有界的 .為此， 取 1?? ，則存在正 整數(shù) N ，當 1??Nm 及 Nn? 時，有 11 ?? ?Nn aa 。 于是按 定義 8″，存在 ??na 的一個收斂子列（以 ? 為其極限）。若 ??na 中有無限多個相等的項，則由這些 項組成的子列是一個常數(shù)列，而常數(shù)列總是收斂的。 因此，在 ? ?ba, 中至少有一點是 S 的聚點。，使得覆蓋了 H ，從而也覆蓋了 S 。 ?? ? ，則 H 是 ? ?ba, 的一個開覆蓋，據(jù)有限覆蓋定理， H中存在有限個鄰域 ? ?1。 內(nèi)至多包含 S 的有限多個點 。 11 3 實數(shù)完備性的循環(huán)證明及應(yīng)用 實數(shù)完備性定理的循環(huán)證明 ]8[ 首先使用有限覆蓋定理證明聚點定理 ]7[ 證 設(shè) S 為直 線上的有界無限點集 . 于是存在 ba, 使 ? ?baS ,? 。 從而證得必存在屬于 H 的有限個開區(qū)間能覆蓋 ? ?ba, 。 于是，由區(qū)間套定理的推論，當 n 充分大時有 ? ? ),(, ???nn ba 。 由區(qū)間套定理，存在唯一的一點 ? ? ,...2,1, ?? nba nn? 。取出這樣一個子區(qū)間，記為 ? ?22,ba ，則 ? ? ? ?1122 , baba ? ， 10 且 )(21222 abab ???。記此子區(qū)間為 ? ?11,ba ，則 ? ? ? ?baba , 11 ? 且 )(2111 abab ???。 ]2[ 證 （論反證）假設(shè)定理的結(jié)不成立，則不能用 H 中有限個開區(qū)間來覆蓋 ? ?ba, 。 于是按 定義 8″，存在 ??nx 的一個收斂子列（以 ? 為其極限）。 ]2[ 證 設(shè) ??nx 為有界數(shù)列 .若 ??nx 中有無限多個相等的項，則由這些項組成的 子列是一個常數(shù)列，而常數(shù)列總是收斂的。U 內(nèi)含有 S 中無窮多個點，按定義 8? 為 S 的一個聚點。 由區(qū)間套定理的推論，對任給的 0?? ，存在 0?N ,當 Nn? 時? ? ? ??? 。 將此等分子區(qū)間的手續(xù)無限地進行下去，得到一個區(qū)間列 ? ?? ?nn ba , ，它滿足 ? ? ? ? ,...2,1, 11 ?? ?? nbaba nnnn ， )(02 1 ????? ? nMab nnn ， 即 ? ?? ?nn ba , 是區(qū)間套，且其中每一個閉區(qū)間都含有 S 中無窮多個點。 現(xiàn)將 ? ?11,ba 等分為兩個子區(qū)間 . 因 S 為無限點集，故兩個子區(qū)間中至少有 一個含有 S 中無窮多個點，記此子區(qū)間為 ? ?22,ba ，則 ? ? ? ?2211 , baba ? 且 Mabab ???? )(211122。 魏爾斯特拉斯聚點定理及其證明 聚點定理 實數(shù)軸上的任意有界無限點集必有聚點。, Ubaa nnn ?? ，所以 ?? ??na 。 .......... 這樣就得到一列閉區(qū)間 ? ?? ?kk ba , ，滿足 （ i） ? ? ? ? ,...2,1, 11 ?? ?? kbaba kkkk ； （ ii） ?????? kab kkk ,02 1 1 ； （ iii）對 ????k ，當 kNn? 時， ? ?kkna ?? ,? . 由區(qū)間套定理，存在惟一的 ? ?kk ??? ,? 。 顯然有 ? ? ? ?2211 , ???? ? ， 2122 ????，并且當 2Nn? 時， ? ?22,???na 。 Na??Na ??Nax 8 令 21?? ，存在正整數(shù) 1N ，當 1Nn? 時， ?????? ??? 21,21 11 NNn aaa， 取 ? ? ?????? ??? 21,21, 1111 NN aa??。 (充分性 )由題設(shè)， 對任給的 0?? ，存在正整數(shù) N ，當 Nn? 時， ??? Nn aa 。 柯西收斂準則及其證明 柯西收斂準則 數(shù)列 ??na 收斂的充要條件是：對任給的 0?? ，存在正整數(shù) N 使得當 Nmn ?, 時有 ??? mn aa 。 由極限的保號性 , 對于任意正數(shù) ? , 存在 正整數(shù) N, 當 Nn? 時， 有 na???? ， ????nb ，即 ???? ????? nn ba ， 這就是說 ? ? ? ???。, Uba nn ? 。例如對于 開區(qū)間列 ?????? ?????? n1,0 , 顯然 ? 是不存在的。 。 ???? nab nn?? . 由區(qū)間套的條件（ ii）得 ? ? 0lim39。? 也滿足 , . . .2,1,39。 ]2[ 證 由定義 7 的條件 （ i） 可知 , 數(shù)列 ??na 為 遞增有界數(shù)列 , 依單調(diào)有界定 理， ??na 有極限 ? ，且有 ,...2,1, ?? nan ? . 同理，遞減有界數(shù)列 ??nb 也有極限，并按區(qū)間套的條件（ ii）有 ??? ???? nnnn ab limlim ，且 ,...2,1, ?? nbn ? . 7 綜上，可得 , . . .2,1, ??? nba nn ? . 下面證明滿足 , . . .2,1, ??? nba nn ? 的 ? 是唯一的 。 同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且 其 極限 即 為它的下確界 。 另一方面， 由 于 a 是 數(shù)列 ??na 的一個上界，故對一切 na 都 有 ???? aaan 。 事實上， 任給 0?? ，按 上確界 的 定義，存在數(shù)列 ??na 中的 某 一項 Na 使得 Naa ??? 。 單調(diào)有界定理及其證明 單調(diào)有界定理 在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限 . ]2[ 證 設(shè) ??na 為有上界的遞增數(shù)列 . 由 確界原理 知 ，數(shù)列 ??na 含 上確界， 寫作? ?naa sup? 。 ????k ， 即得到 39。 使 ka ??39。a?? 倘若結(jié)論（ i）不成立，即存在 Sx? 使 ??x ，則可找到 x 的 k 位不足近似 kx ， 6 使 ?? kkx ? ?knnnn ?21. k101 ， 從而得 kknnnnx 101. 21 ?? ?， 但這與不等式 )1( 相矛盾．于是（ i）得證。為此只需證明： （ i） 對一切 Sx? 有 ??x ； （ ii） 對任何 ??? ，存在 S?39。 ?2 存在 Sa?0 ,使 na?0 . 對半開區(qū)間 ? ?1, ?nn 作 10等分 ,分點為 9.,2.,1. nnn ? ,則存在 ,2,1,0 9,? 中的 一個數(shù) 1n ,使得 )1 對于任何 Sx? 有 101.1 ?? nnx； )2 存在 Sa?1 ，使 11 .nna ? 再對半開區(qū)間 )101.,.[11 ?nnnn作 10等分，則存在 9,2,1,0 ? 中的一個數(shù) 2n 使得 )1 對于任何 Sx? 有 ?x221 101. ?nnn )2 存在 Sa?2 ，使 .. 212 nnna ? 繼續(xù)不斷地 10等分在前一步驟中所得到的半開區(qū)間，可知對任何存在 9,2,1,0 ? 中的 — 個數(shù) kn ，使得 )1 對于任何 Sx? 有 kknnnnx 101. 21 ?? ? )2 存在 Sak? ，使 .. 21 kk nnnna ?? 將上述步驟無限地進行下去，得到實數(shù) .. 21 ?? knnnn?? 。 為敘述的方便起見，不妨設(shè) S 含有非負數(shù)。 5 2 實數(shù)完備性定理的證明 ]10[ 確界原理及其證明 確界原理 設(shè) S 為非空數(shù)集．若 S 有上界，則 S 必有上確界；若 S 有下界，則 S 必有下確界。 4 開覆蓋定義 ]2[ 定義 設(shè) S 為數(shù)軸上的點集， H 為開區(qū)間的集合（即 H 的每一個元素都是形如 ),( ?? 的開區(qū)間）。?? ； .......... 這樣就得到一列 ? ? Sxn ? 。1 ???? ； 取?????? ?? ?? 12 ,21mi n x， ? ? SUx ?22 。 下面簡單敘述一下這三個定義的等價性： 定義 ? 定義 ? 由定義直接得到 定義 ? ? 定義 ″ 對任給的 0?? ，由 ? ? ???? ?SU ?。 ， 則稱 ? 為的 S 一個聚點。 定義 ? 設(shè) S 為實數(shù)集 R 上的非空點集 , R?? 。若對于任意正數(shù) ? ,在 ? ???。 區(qū)間套定義 ]2[ 3 定義 若閉區(qū)間序列 ? ?? ?nn ba , 具有如下性質(zhì)： （ i） ? ? ? ? ,...2,1, 11 ?? ?? nbaba nnnn ； （ ii） ? ? 0lim ???? nnn ab， 則稱 ? ?? ?nn ba , 為閉區(qū)間套，簡稱區(qū)間套。 定義 若數(shù)列 ??na 的各項滿足關(guān)系式 ? ?11 ?? ?? nnnn aaaa ，則稱 ??na為 遞增（遞減）數(shù)列。 定義 設(shè) ??na 為數(shù)列， a 為定數(shù)。 因此，統(tǒng)稱上確界與下確界為確界。 定義 設(shè) S 是 187。 定義 設(shè) S 是 187。L )，則 S 稱為有上界 (下界 )的數(shù)集，數(shù) M(L) 稱為 S 的一個上界(下界 )。若存在數(shù) M(L) ，使得對一切 Sx? ，都有 x163。 2 1 預(yù)備知識 確界定義 ]2[