【正文】 首先，要感謝的是馬曉玨馬老師，在完。從三月份到現(xiàn)在，從開始零零碎碎對(duì)課題資料的搜集，了解到后來(lái)的認(rèn)真閱讀，這近三個(gè)月的時(shí)間我終于完成了這篇論文。復(fù)旦大學(xué)的蘇步青教授說(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)的理論是美妙的，引人入勝；數(shù)學(xué)的方法是精巧的，豐富多彩；但學(xué)好數(shù)學(xué)卻必須付出艱辛的勞動(dòng)！”讓我們悉心于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究，盡情的享受數(shù)學(xué)之美吧！ 25 致謝 時(shí)光飛逝，四年豐富多彩的大學(xué)生活也已經(jīng)接近尾聲。 實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)基本定理是彼此等價(jià)的，因此對(duì)同一個(gè)有關(guān)問題都是有效的，但是由于各個(gè)基本定理的內(nèi)容是不一樣的，因此所作出的證明也可以很不相同。而我所做的工作就是“站在巨人的肩膀上”。因此不難證明本題中的條件不僅是充分的 ,而且是必要的 ,于是函數(shù)在有限區(qū)間上一致連續(xù)的充分條件是對(duì) I 上任何 ??nx ， ? ?)( nxf 也是柯西列。( 2211 knknnnnn xfxfxfxfxfxf 23 不是柯西列 ,這與假設(shè)相矛盾。39。(),39。(),39。39。()39。但因?yàn)?0)39。,39。,39。39。,39。 這樣 ,數(shù)列 ?? ,39。 ???? kxx knkn , 于是 ???? knxk 39。39。 39。39。 由致密性定理 ,對(duì)有界數(shù)列 ? ? ? ? ? ? 。()39。 ??? ， 但 0)39。,39。39。 證 用反證法 . 若 f 在 I 上不一致連續(xù)函數(shù) , 于是 ? ?,39。再由 Sb sup? ,可知 f 在 ]2,( ??ba 中有界 ,于是 f 在 ? ?ba, 上有 界。 再證函數(shù) f 在 ? ?ba, 上有界。 現(xiàn)用反證法證明 b?? 。 證 設(shè) ? fxS? 在 ? ?xa, 上有界 , ??bax ,(? 。因?yàn)橛?f 在點(diǎn) a 的局部有界性 ,可知 S 是非空數(shù)集 ,且以 b 為上界 ,由確界原理 ,存在 Ssup 。 例 試用確界原理證明 :若函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù) ,則 f 在 ? ?ba, 上有界。 對(duì) 2?k 的有限情形可類似地證明。 f (a * ) 163。( 21 21 xx xUxUV ?,故 Va??* ,使 2*1 aaa ?? 。( 222 xxUa ?? , 且因 22 ??? ?? )。(11 xxU ?中遞增 , 故)()( 21 afaf ? ；若 )。(112 xxUa ??, 則因 )。(21 21 xx xUxU ??就能覆蓋 ? ?21,aa , 且設(shè) 21 xx? 。(* ?為 ? ?21,aa 的有限開覆蓋 ,為敘述方便起見 ,不妨設(shè)由 )。 證 baaaaa ???? 2121 , ,證明 ? ?,).()( 2121 aaxafaf ??? 由所設(shè)條件 0?? x? ,使 f 在 ),( xx xx ?? ?? 內(nèi)遞增 ,故 ? ?? ?21 ,)。( ixixUx ?? , 于是 cxfxf i ?? 2 )()( 。( ?? ? ， 它是 ? ?ba, 的一個(gè)無(wú)限開覆蓋，由有限開覆蓋定理，存在 ? ? HkixUH ixi ???? 1)。( xfxf ? 。(39。c 。(ixixU ?內(nèi)有界 ,因此 )(xf 在 ? ?ba, 上有界 ,這與 )(xf 在 ? ?ba, 上的無(wú)界性相矛盾。(* ? 為 ? ?ba, 的有限開覆蓋。( xxU ? 中有界 ,則令 ? ?? ?baxxUH x ,)。 21 例 若函數(shù) )(xf 在 ? ?ba, 上無(wú)界 ,則必存在 ? ?ba, 上某點(diǎn) ,使得 )(xf 在該點(diǎn)的任 意領(lǐng)域內(nèi)無(wú)界。Mxk 163。 若取 ixMniM max1 ??? ,則因 H~ 覆蓋了 ? ?ba, ,對(duì) ? ?ba, 中每一 x ,它必屬于 H~ 中某一鄰域? ?xkkxU ?。( ?? ? 成為 ? ?ba, 的一個(gè)開覆蓋 。( ? 。 證 因?yàn)?)(xf 在 ? ?ba, 上 每 點(diǎn) 存 在 極 限 , 由 函 數(shù) 極 限 的 局 部 有 界 性 , ? ?bax ,0?? , )。讀者從本例中可以了解如何應(yīng)用有限覆蓋定理。( ?? ? 成為 ? ?ba, 的一個(gè)無(wú)限開覆蓋。 分析 函數(shù) f 在每點(diǎn) ? ?bax ,? 處由函數(shù)極限的局部有界性 , )。 例 設(shè)函數(shù) )(xf 定義在 ? ?ba, 上 , ? ?bax ,0?? ,極限 )(lim0 xfxx?都存在。 又 ? ???????????? kxxxxxxnxx kkkkkk nnnnknn 01 0////0/////，即0//lim xx knk ??? 由（ 7）式有 ? ? ? ? 0/// ???kk nn xfxf，令 ??k ，得 ? ? ? ?0/// limlim0 ???? ???? kk nknk xfxf。 證 假設(shè) f 在 ? ?ba, 上不一致連續(xù)，則 00??? ，對(duì) 0?? ，總存在 ? ?baxx , /// ? ，盡管 ??? /// xx ，但有 ? ? ? ? 0/// ??? xfxf 。 例 設(shè) f 定義在 ? ?ba, 上。 證 （必要性）設(shè) f 在 ? ?ba, 上一致連續(xù)，則 ? ?baxx ,0,0 /// ?????? ?? 只要 20 ??? /// xx ，就有 ? ? ? ? ??? /// xfxf （ 6） 取 21 ???，則 ? ? ? ?baaaxx , 1/// ????? ，有（ 6）式成立 .由柯西準(zhǔn)則， ? ?0?af 存在。 所以 ? ?nxsup?? .由確界的唯一性，聚點(diǎn)是唯一的。下面證明 ? ?nxsup?? （ 1） ? 是 ??nx 的上界 .若不然， ? ?nN xx ?? ，使 Nx?? ，取 ?? ?? Nx0 ，由 ? ?nx的遞增性， ? ?0,??? 內(nèi)只含有 ??nx 中的有限項(xiàng) 121 , ?Nxxx ? .這與 ? 是 ??nx 的聚點(diǎn)矛盾 .從而 ? 是 ??nx 的上界。證明：若 ??nx 存在聚點(diǎn)，則必是唯一的，且為 ??nx 的確界。因?yàn)閷?duì)任意的 0?M ，令 ? ? 1?? Mn ，則 Mn?! ，故 S 無(wú)上界，所以 ???Ssup ；對(duì)任意的正數(shù) ? ，存在 Sx ??? 1!11 ，使 ???11x ，所以 1inf ?S 。又對(duì)任意的正數(shù) ? ， 不妨設(shè) 22?? ， 于是存 在 220 ???x， 221 ????x， 使 0x ， Sx?1 ，使 ??? 20x ， ???? 21x ， 所 以由上下確界的定義 2sup ?S ， 2inf ??S （ 2） ???Ssup ， 1inf ?S ，下面依定義驗(yàn)證。 應(yīng)用 舉例 ]1[ 例 求下列數(shù)集的上、下確界，并依定義加以驗(yàn)證： （ 1） }2{ 2 ?? xxS ； （ 2） },!{ ???? NnnxxS ； 解 （ 1） 2sup ?S ， 2inf ??S ，下面依定義驗(yàn)證。最后，由（ 5）式有 ? ? ? ? 0?????? nn xfxf ，在上式中令??k ，由 f 的連續(xù)性及數(shù) 列極限的保不等式性，得到 ? ? ? ? ? ? ? ? 000 l i m0 ????????? ?? kk nnk xfxfxfxf 。由致密性定理，存在 }{nx? 的收斂子列 }{knx?，設(shè) )](,[0 ????? kbaxxkn。倘若 f 在 ? ?ba, 上不一致連續(xù)，則存在某 00?? ，對(duì)任何 0?? ，都存在相應(yīng)的兩點(diǎn) x? ， ? ?bax ,??? ，盡管 ?????? xx ， 有 ? ? ? ? 0?????? xfxf 。所以 f 在 ? ?ba, 上一致連續(xù)。此時(shí)有 iiiiii xxxxxx ????? ???????????????? 222， 故由（ 4）式同時(shí)有 ? ? ? ? 2???? ixfxf 和 ? ? ? ? 2???? ixfxf 。 對(duì)任何 x? ， ? ?bax ,??? ， ?????? xx ， x? 必屬于 *H 中某開區(qū)間，設(shè) )2。 證 （應(yīng)用有限覆蓋定理由 f 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上的連續(xù)性，任給 0?? ，對(duì)每 一點(diǎn) ),( bax? ，都存在 0?x? ，使得當(dāng) ? ?xxUx ?。 因此，方程 ? ? 0?xf 在 ),( ba 內(nèi)至少有一實(shí)根 。內(nèi)不變號(hào)，由此推得 ??xf 在 ? ?jxjnj xUU ?。 ?? ),...,3,2( nj ? 。不妨設(shè)其中任意兩個(gè)鄰域無(wú)包含關(guān)系（否則，去掉 被 包 含 鄰 域 仍 能 覆 蓋 ? ?ba, ）， 于 是 ? ?1。1 xxU ?， ....，? ?nxnxU ?。{ baxxUH x ?? ? ，則 H 是 ? ?ba, 的一個(gè) 開覆蓋，據(jù)有限覆蓋定理， H 中必存在有限個(gè)鄰域能夠覆蓋 ? ?ba, 。 ??? 上與點(diǎn) x 處的函數(shù)值 ??xf 同號(hào)。 證 （應(yīng) 用有限覆蓋定理） 設(shè) ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)， ??af 與 ??bf 異 號(hào)，現(xiàn)證明方程 ? ? 0?xf 在 ),( ba 內(nèi)至少有一實(shí)根。但這與? ?nn ba, 選取時(shí)應(yīng)滿足的 ? ? 0?nag 相矛盾，故必有 ? ? 00 ?xg 。而由區(qū) 17 間套定理的推論，當(dāng) n 充分大時(shí)有 ? ? ? ??。 由區(qū)間套定理，存在點(diǎn) ? ?nn bax ,0 ? ， ,...2,1?n .下證 ? ? 00 ?xg .倘若 ? ? 00 ?xg ，不妨設(shè) ? ? 00 ?xg ,則由局部保號(hào)性，存在 ? ??。 再?gòu)膮^(qū)間 ? ?11,ba 出發(fā)，重復(fù)上述過(guò)程，得到：或者在 ? ?11,ba 的中點(diǎn) 1c 上有 ? ? 01 ?cg ，或者有閉區(qū)間 ? ?22,ba ，滿足 ? ? 02 ?ag ， ? ? 02 ?bg ， 且 ? ? ? ?1122 , baba ? ， )(21222 abab ??? 。 將 ? ?ba, 等分為兩個(gè)子區(qū)間 ? ?ca, 與 ? ?bc, . 若 ?? 0?cg ，則 c 即為所求；若 ?? 0?cg ，則當(dāng) ?? 0?cg 時(shí)記 ? ? ? ?caba , 11 ? ，當(dāng) ?? 0?cg 記 ? ? ? ?bcba , 11 ? 。但 這與 Ex inf0 ? 相矛盾，故必有 ? ? 00 ?xg 。 下證 ? ? 00 ?xg . 倘若 ? ? 00 ?xg ，不妨設(shè) ? ? 00 ?xg ,則又由局部保號(hào)性，存在 ? ??。 顯然 E 為非空有界數(shù)集（ ],[ baE? 且 Eb? ）， 故由確界原理， E 有下確界，記 Ex inf0 ? 。于是定理的結(jié)論轉(zhuǎn)化為：存在 16 ),(0 bax ? ，使得 ? ? 00 ?xg .這個(gè)簡(jiǎn)化的情形稱為根的存在性定理。若 ? 為介于 ??af 與 ??bf 之間的任何實(shí)數(shù)（ ? ? ? ?bfaf ?? ? 或 ? ? ? ?bfaf ?? ? ），則存在 ),(0 bax ? ， 使得 ? ? ??0xf 。 同理可證 f 在 ? ?ba, 上有最小值。 易見函數(shù) g 在 ? ?ba, 上連續(xù)，故 g 在 ? ?ba, 上有上界 . 設(shè) G 是 g 的一個(gè)上界，則 ? ? ? ? GxfMxg ???? 10 ， ? ?bax ,? 。 證 （應(yīng)用確界原理）由于已證得 f 在 ? ?ba, 上有界，故由確界原理， f 的值域 ? ?? ?baf , 有上確界，記為 M .以下我們證明：存在 ? ?ba,?? ，使得 ? ? Mf ?? 。所以 f 在 ? ?ba, 上有上界 . 類似地可證 f 在 ? ?ba, 上有下界 . 從而 f 在 ? ?ba, 上有界。 由 bxakn ??及數(shù)列極限的保不等式性， ? ?ba,?? . 利用 f 在點(diǎn) ? 處連續(xù)，推得 ?????? )()(lim ?fxf knk 。這就證得 f 在 ? ?ba, 上有界。 令iki MM ??? 1max，則對(duì)任何 ? ?bax ,? ， x 必屬于某 ? ?iixU ?。* ??? ? 覆蓋了 ? ?ba, ，且存在正數(shù) 1M ， 2M ， … ， kM ，使得對(duì)一切 ? ? ? ?baxUx ii ,。 ???? ?? ，顯然 H 是 ? ?b, 的一個(gè)無(wú)限開覆蓋。 ???? ? 。 證 （應(yīng)用有限覆蓋定理）由連續(xù)函數(shù)的局部有界性，對(duì)每一點(diǎn) ? ?bax ,?? ，都存在鄰域 ? ?xxU ???。 從而證得必存在屬于 H 的有限個(gè)開區(qū)間能覆蓋 ? ?ba, 。 于是，由區(qū)間套定理的推論，當(dāng) n 充分大時(shí)有 ? ? ),(, ???nn ba 。 由區(qū)間套定理，存在唯一的一點(diǎn) ? ? ,...2,1, ?? nba nn? 。 再將 ? ?11,ba 等分為兩個(gè)子區(qū)間，同樣，其中 至少有一個(gè)子區(qū)間不能用 H 中有 限個(gè)開區(qū)間來(lái)覆蓋 . 取出這樣一個(gè)子區(qū)間，記 為 ? ?22,ba ，則 ? ? ?