實(shí)數(shù)完備性定理及應(yīng)用研究(參考版)
2025-06-22 23:16本頁(yè)面
【正文】 但因?yàn)?使得 不是柯西列,這與假設(shè)相矛盾.注1 如何應(yīng)用反證法證明結(jié)論是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn),掌握好基本概念的否定說(shuō)法的正面陳述是其中的關(guān)鍵.注2 不難證明本題中的條件不僅是充分的,而且是必要的,于是函數(shù)在有限區(qū)間上一致連續(xù)的充分條件是對(duì)I上任何，也是柯西列.6 結(jié)束語(yǔ) 關(guān)于實(shí)數(shù)完備性的六大基本定理是彼此等價(jià)的，因此對(duì)同一個(gè)有關(guān)問題都有效. 但是又由于各個(gè)基本定理的內(nèi)容和角度都不一樣，因此所作出的證明可以很不相同. 即使同一個(gè)基本定理，也可能有不同的方法，即使方法相同還可以有不同的細(xì)節(jié). 我們認(rèn)為，其中的新發(fā)現(xiàn)是無(wú)窮盡的，發(fā)現(xiàn)的精彩是無(wú)窮盡的. “數(shù)學(xué)的理論是美妙的，引人入勝；數(shù)學(xué)的方法是精巧的，豐富多彩！”讓我們悉心于數(shù)學(xué)研究，盡情的享受數(shù)學(xué)之美吧！參考文獻(xiàn) [1] [M].科學(xué)教育出版社,2002(第二版）. [2] [M].高等教育出版社，2001 . [3] [M].陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1984. [4] 孫書榮. 實(shí)數(shù)完備性基本定理的相互證明[J]. 濟(jì)南大學(xué)學(xué)報(bào)(綜合版), 1995, (04). [5] 錢吉林．?dāng)?shù)學(xué)分析題解精粹[M]．武漢：崇文書局，2003.[6] 張靜. 實(shí)數(shù)系的連續(xù)性和完備性的若干等價(jià)定理[J].北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2009,(02).[7] 馮孔榮. 用有限復(fù)蓋定理直接證明關(guān)于實(shí)數(shù)的其它幾個(gè)定理［J］. 恩施師專學(xué)報(bào)， 1982，(02).[8] 莊陵,唐賢倫,王東,張金榮. 實(shí)數(shù)系完備性基本定理的循環(huán)證明[J]. 重慶 工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2006, (03) . [9] 劉永建,唐國(guó)吉. 實(shí)數(shù)完備性定理的循環(huán)證明及其教學(xué)注記[J]. 時(shí)代教育(教育教學(xué)版), 2009, (01). [10] 孫書榮. 實(shí)數(shù)完備性基本定理的相互證明[J]. 濟(jì)南大學(xué)學(xué)報(bào)(綜合版), 1995, (04) [1] WuLiangSen . Pure solution mathematical analysis exercises [M]. Science education press, 2002 (second edition). [2] East China normal university mathematics Ed. [j] .Mathematical analysis of higher education press, 2001. [3] ZhengXianZu. Mathematical analysis [M]. Shaanxi science and technology press, 1984. [4] SunShuRong. Real pleteness basic theorems of mutual proof [J]. Journal of jinan university (prehensive edition), 1995, (4). [5] QianJiLin .Tijie pithy mathematical analysis [M].wuhan: chongwen inc., 2003. [6] Zhang jing. Real continuity and pleteness of some equivalence theorem of [J]. Journal of Beijing union university (natural science edition), 2009, (02). [7] FengKongRong .With limited cover theorem directly prove other several theorems about real [J]. Journal of enshi college, 1982, (02). [8] ZhuangLing, ZhangJinRong ,TangXianLun, Wang dong. Real department pleteness. The cycle of the basic theorem proved [J]. Journal of chongqing industry and merce university (natural science edition), 2006, (03). [9] LiuYongJian, TangGuoJi. Real pleteness theorem and its teaching notes circulating proof [J] education (education teaching edition times, (01, 2009). [10] SunShuRong. Real pleteness basic theorems of mutual proof [J]. Journal of jinan university (prehensive edition), 1995, (4). 。由有限覆蓋定理,存在的有限開覆蓋若取,則因覆蓋了,對(duì)中每一,它必屬于中某一鄰域, 于是 例6 若函數(shù)在上無(wú)界,則必存在上某點(diǎn),使得在該點(diǎn)的任意領(lǐng)域內(nèi)無(wú)界.證 用反證法,若,存在,使得在中有界,則令,它成為的一個(gè)無(wú)限開覆蓋由有限覆蓋定理,存在,因此 在上有界,這與在上的無(wú)界性相矛盾.例7 設(shè)在上連續(xù),:必存在,使得對(duì)任何,滿足 證 ,因?yàn)?由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性,于是,.現(xiàn)令，它是的一個(gè)無(wú)限開覆蓋，由有限開覆蓋定理，存在為的有限開覆蓋,取 ,某個(gè)（）,使,于是 .例8 設(shè)函數(shù)對(duì)任何內(nèi)的,存在 ,使得在內(nèi)遞增試證在整個(gè)內(nèi)亦遞增.證 ,證明由所設(shè)條件,使在內(nèi)遞增,故 是后個(gè)無(wú)限開覆蓋,由有限覆蓋定理,存在為的有限開
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