實數(shù)完備性定理及應(yīng)用研究-預(yù)覽頁
【正文】 有，. 令，則對任何，必屬于某可以推出. 這就證得在上有界.（應(yīng)用致密性定理）倘若在上無上界，則對任何正整數(shù)，存在，使得. 依次取，則得到數(shù)列. 由致密性定理，它收斂子列，記. 由及數(shù)列極限的保不等式性，. 利用在點處連續(xù)，推得 . （1）另一方面，由的選取方法又有，這與（1）式相矛盾 . 所以在上有上界. 類似地可證在上有下界.從而在上有界. 最大、最小值定理 定理 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有最大值和最小值. 證 （應(yīng)用確界原理）由于已證得在上有界，故由確界原理，的值域有上確界，：存在，使得. 倘若不然，對一切都有. 令 ， .易見函數(shù)在上連續(xù)，故在上有上界. 設(shè)是的一個上界，則 ，. 從而推得 ， 但這與為的上確界（最小上界）相矛盾. 所以必存在，使，即在上有最大值. 同理可證在上有最小值. 介值性定理 定理 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且. 若為介于與之間的任何實數(shù)（或），則存在，使得. 證 （應(yīng)用確界原理） 不妨設(shè). 令，則也是上的連續(xù)函數(shù)，且，. 于是定理的結(jié)論轉(zhuǎn)化為：存在，. 記. 顯然為非空有界數(shù)集（且），故由確界原理，有下確界，記. 因，由連續(xù)函數(shù)的局保號型，存在,使得在內(nèi)，在內(nèi)，由此易見，即. 下證. 倘若，不妨設(shè),則又由局部保號性，存在（），使得其內(nèi)，特別有. 但這與相矛盾，故必有. （應(yīng)用區(qū)間套定理） 同上述證法，我們把問題轉(zhuǎn)化為證明根的存在性定理，即若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則存在使. 將等分為兩個子區(qū)間與. 若，則即為所求；若，則當時記，當記. 于是有，且 ， . 再從區(qū)間出發(fā)，重復(fù)上述過程，得到：或者在 的中點上有，或者有閉區(qū)間，滿足，且 ， . 將上述過程不斷地進行下去，可能出現(xiàn)兩種情形：（1）在某一區(qū)間的中點上有，則即為所求；（2）在任一區(qū)間的上均有，則得到閉區(qū)間列，滿足，且 ， .由區(qū)間套定理，存在點，.，不妨設(shè),則由局部保號性，存在，使在其內(nèi)有. 而由區(qū)間套定理的推論，當充分大時有，因而有. 但這與選取時應(yīng)滿足的相矛盾，故必有. 一致連續(xù)性定理 定理 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù). 證 （應(yīng)用有限覆蓋定理由在閉區(qū)間上的連續(xù)性，任給，對每一點，都存在，使得當時有 . （1） 考慮開區(qū)間集合 ，顯然是的一個開覆蓋. 由有限覆蓋定理，存在的一個有限子集 覆蓋了. 記 .對任何，必屬于中某開區(qū)間，設(shè)，即. 此時有 ，故由（1）式同時有 和 .由此得 . 所以在上一致連續(xù). （應(yīng)用致密性定理） 用反證法. 倘若在上不一致連續(xù)，則存在某，對任何，都存在相應(yīng)的兩點，盡管，有 . 令（為正整數(shù)），與它相應(yīng)的兩點記為，盡管，但有 （2）當取遍所有正整數(shù)時，得到數(shù)列與. 由致密性定理，存在的收斂子列，設(shè). 同時有，又得 . 最后，由（2）式有 ，在上式中令，由的連續(xù)性及數(shù)列極限的保不等式性，得到 .這與相矛盾. 所以在上一致連續(xù). 根的存在定理 定理 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且與異號（即），則至少存在一點，使得，即方程在內(nèi)至少有一個根. 證 （應(yīng)用有限覆蓋定理） 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)， 與異號，現(xiàn)證明方程在內(nèi)至少有一實根.假定方程在內(nèi)無實根，則對每一點，有，據(jù)的連續(xù)性，存在正數(shù)，使得在上與點處的函數(shù)值同號. 令 ，則是的一個開覆蓋，據(jù)有限覆蓋定理，：，（否則，去掉被包含鄰 域仍能覆蓋），于是 . 而在每個內(nèi)不變號，由此推得在內(nèi)不變號，這與題設(shè)，異號矛盾. 因此，方程在內(nèi)至少有一實根.例1 求下列數(shù)集的上、下確界，并依定義加以驗證： （1） ； （2）；解 （1），下面依定義驗證. 因，等價于，所以對任意的，有 且，即、分別是的上、下界. 又對任意的正數(shù)，不妨設(shè)，于是存在，使，使，所以由上下確界的定義， （2），下面依定義驗證. 對任意的，所以1是的下界. 因為對任意的，令，則，故無上界，所以；對任意的正數(shù)，存在，使，所以.例2 ：若存在聚點，則必是唯一的，且為的確界.證 設(shè)為遞增數(shù)列，1），使，取，由的遞增性，.2），取，則，使得.，聚點是唯一的.例3 證明：在上的連續(xù)函數(shù)為一致連續(xù)的沖要條件是 ， 都存在.證 （必要性）設(shè)在上一致連續(xù)，則 只要 ，就有 （1）取，則，有（1），.（充分性）令， 在上一致連續(xù)，所以在上一致連續(xù).例4 ：若對內(nèi)任一收斂數(shù)列，極限都存在，則在上一致連續(xù).證 假設(shè)在上不一致連續(xù)，則，對，總存在，盡管，但有.令，與它相應(yīng)的兩點記為，盡管，但有 （1）當取遍所有正整數(shù)時，得數(shù)列，由致密性定理，存在的收斂子列，設(shè).又，即由（1）式有，令，得 . 這與相矛盾. 所以在上一致連續(xù).例5 設(shè)函數(shù)定義在上, ,上有界.分析 函數(shù)在每點處由函數(shù)極限的局部有界性,在其中有界,于是成為的一個無限開覆蓋. ,本例可應(yīng)用致密性定理,通過反證法來證明.證 因為在上每點存在極限,由函數(shù)極限的局部有界性, ,與,
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