【導(dǎo)讀】通過閱讀中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻。習(xí)時重算法的思想輕算法和程序的構(gòu)造。預(yù)測20xx年高考隊本講的考察是：以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值在5分左右，考察的熱點是算法實例和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識的結(jié)合題目。所得的商是兩個互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來。舉，直到找到公約數(shù)立即中斷列舉，得到的公約數(shù)便是最大公約數(shù)。④判斷余數(shù)r是否為0。我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中。少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。Ⅰ．任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。表示數(shù)據(jù)的位置，欲把一個新的數(shù)據(jù)8插入到上述序列中。確定數(shù)據(jù)“8”在原有序列中應(yīng)該占有的位置序號。據(jù)視為質(zhì)量輕的，大的數(shù)據(jù)視為質(zhì)量沉的。進位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值。符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進位制，簡稱n進制。

　　

【正文】 THEN y=－ 1 END IF PRINT y END 點評： 1．條件結(jié)構(gòu)的差異，造成程序執(zhí)行的不同。當(dāng)代入 x 的 數(shù)值時，“程序一”先判斷外層的條件，依次執(zhí)行不同的分支，才有可 能判斷內(nèi)層的條件；而“程序二”中執(zhí)行了對“ 條件 1”的判斷，同時也對“條件2”進行判斷，是按程序中條件語句的先后依次判斷所有的條件，滿足哪個條件就執(zhí)行哪個語句。 2． 條件語句的 嵌套可多于兩層，可以表達算法步驟中的多重限制條件。 題型 4：循環(huán)語句 例 7． 設(shè)計一個計算 1 3 5 7? 99 的算法，編寫算法程序。 解析： 算法如下： 第一步： s＝ 1； 第二步： i＝ 3； 第三步： s＝ s i； 第四步： i＝ i＋ 2； 第五步：如果 i≤ 99，那么轉(zhuǎn)到第三步； 第六步：輸出 s； 程序如下：（“ WHILE 型”循環(huán)語句） s＝ 1 i＝ 3 Y 開始 輸入 x x0? 輸出 1 Y N N 結(jié)束 x=0? 輸出 0 x0? 輸出－ 1 Y N 第 19 頁 共 23 頁 WHILE i＜＝ 99 s＝ s*i i＝ i＋ 2 WEND PRINT s END 點評：你能用“ UNTIL”型循環(huán)語句表示“典例 1”中的程序嗎？ 例 8． 編寫一個程序， 求 1!+2!+…+10! 的值 。 解析：這個問 題是求前 10 個正整數(shù) 的階乘之和，可以用 “ WHILE+ WHILE” 循環(huán) 嵌套語句格式 來實現(xiàn)。 程序結(jié)構(gòu) 要做到如下步驟： ①處理“ N!” 的值 ；（注：處理 N!值 的變量就是一個內(nèi)循環(huán)變量） ②累加“ N!” 的值 。（注：累加 N!值 的變量就是一個外循環(huán)變量） 顯然， 通過 10 次 循環(huán)可 分別 求出 1!、 2!、 … 、 10!的值， 并同時累加起來 , 可求得 S的值。而求 T=N!， 又可以用一個循環(huán) （內(nèi)循環(huán)） 來實現(xiàn) 。 程序為 : s=0 i=1 WHILE i=10 j=1 t=1 WHILE j=i t=t*j j=j+1 WEND s=s+t i=i+1 WEND PRINT s END 上面程序中哪個變量是內(nèi)循環(huán)變量，哪個變量是外循環(huán)變量 ？ （ 1）內(nèi)循環(huán)變量： j， t （ 2）外循環(huán)變量： s， i “典例 2”程序是一個的“ WHILE+WHILE”型 循環(huán)嵌套 語句格式 。這是 一個 比較好想的方法，但實際上對于求 n!，我們 也 可以根 據(jù)求出的 (n－ 1)!乘上 n 即 可得到，而無需重新從 1 再累乘到 n。 程序可改為： s=0 i=1 第 20 頁 共 23 頁 j=1 WHILE i=10 j=j*i s=s+j i=i+1 WEND PRINT s END 顯然第二個程序的效率要比第一個高得多。第一程序要進行 1+2+…+10=55 次循環(huán)，而第二程序進行 10 次循環(huán)。如題目中求的是 1?。?2！＋ … ＋ 1000！，則兩 個程序的效率區(qū)別更明顯。 點評： 解決具體的構(gòu)造循環(huán)語句的算法問題，要盡可能的少引入循環(huán)變量，否則較多的變量會使得設(shè)計程序比較麻煩，并且較多的變量會使得計算機占用大 量的系統(tǒng)資源，致使系統(tǒng)緩慢。另外，也盡可能使得循環(huán)嵌套的層數(shù)少，否則也浪費計算機的系統(tǒng)資源。 題型 5：實際應(yīng)用 例 9． 中國網(wǎng)通規(guī)定：撥打市內(nèi)電話時， 如果不超過 3 分鐘，則收取話費 元；如果通話時間超過 3 分鐘，則超出部分按每分鐘 元收取通話費，不足一分鐘按以一分鐘計算。設(shè)通話時間為 t（分鐘），通話費用 y（元），如何 設(shè)計一個程序，計算通話的費用。 解析： 算法分析： 數(shù)學(xué)模型實際上為： y 關(guān)于 t 的分段函數(shù)。 關(guān)系是如下： ?????????????????),3(),1]3([),3(),3()30(,ZtttZtttty 其中 [t－ 3]表示取不大于 t－ 3 的整 數(shù)部分。 算法步驟如下： 第一步：輸入通話時間 t； 第二步：如果 t≤ 3，那么 y = ；否則判斷 t∈ Z 是否成立，若成立執(zhí)行 y= + (t－ 3)；否則執(zhí)行 y = +（ [t－ 3]+1）。 第三步：輸出通話費用 c 。 算法程序如下： INPUT “請輸入通話時間：”； t IF t=3 THEN y= ELSE IF INT(t)=t THEN 第 21 頁 共 23 頁 y=+*(t－ 3) ELSE y=+*(INT(t－ 3)+1) END IF END IF PRINT “通話費用為：”； y END 點評：實際應(yīng)用問題，在高考中是一個熱點。如何將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵，最后還要用算法步驟和程序進行表達。如： 中國網(wǎng)通通話費的規(guī)定在數(shù)學(xué)中就是通話時間到通話費用的分段函數(shù)。日常生活中的分段函數(shù)問題還有很多：出租車的計費問題、個人所得稅問題、銀行利率問題等等。 例 10． 編寫程序，計算數(shù)列 {an}的前 20 項的和。（其中數(shù)列的前幾項分別為 1， 1， 2，3， 5， 8，??） 解析：這是“ Fibonacci 數(shù)列”的典型特征，從第三項起每一項都是它前兩項的和，即 21 ?? ?? nnn aaa 。 程序如下： a=1 b=1 s=0 i=3 WHILE i=20 s=s+a+b t=a a=b b=b+t i=i+1 WEND PRINT s END 點評： 1． 計數(shù)變量的作用一般是統(tǒng)計循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)，改變循環(huán)條件的取值，為結(jié)束循環(huán)作準(zhǔn)備。譬如：計算等差、等比數(shù)列的前 n 項的和， n 就是計數(shù)變量的臨界值，在當(dāng)型結(jié)構(gòu)中“小于等于 n”維持循環(huán)，而在直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)中“大于 n”跳出循環(huán)。 2．累加變量是最終的輸出結(jié)果。每進入一次循環(huán)體隨著計數(shù)變量改變而改變。累加變 量的初始值通常為 0。 五．思維總結(jié) 在設(shè)計算法的過程中，解決問題的基本思想常常很簡單、很清楚，但表述參與運算的數(shù)值的頻頻變換卻很麻煩。為了解決這個問題，需要在程序中引入變量。前面通過對第 22 頁 共 23 頁 函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，我們就已經(jīng)了解變量的含義：在研究問題的過程中可以取代不同數(shù)值的量稱為變量。 程序中一些重要的函數(shù)也很有用處，如取平方根函數(shù) SQR(x)=|x|，取絕對值函數(shù) ABS（ x） =??? ?? ? 0, 0, xxxx。 變量與函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)里面最重要的和最基本的概念，在算法的設(shè)計里面仍然發(fā)揮著重要的和最基本的作 用，它們會使得算法的表達變得非常整潔、清楚。 1．賦值語句在程序運行時給變量賦值；“ =”的右側(cè)必須是表達式，左側(cè)必須是變量；一個語句只能給一個變量賦值；有計算功能；將一個變量的值賦給另一個變量時，前一個變量的值保持不變；可先后給一個變量賦多個不同的值，但變量的取值只與最后一次賦值有關(guān)。 2． 條件語句的主要功能是來實現(xiàn)算法中的條件結(jié)構(gòu)。 因為人們對計算機運算的要求不僅僅是一些簡單的代數(shù)運算，而是經(jīng)常需要計算機按照條件進行分析、比較、判斷，并且按照判斷后的不同情況進行不同的操作和處理。如果是要解決像“判斷一個數(shù) 的正負(fù)”、“比較數(shù)之間的大小”，“對一組數(shù)進行排序”、“求分段函數(shù)的函數(shù)值”等很多問題，計算機就需要用到條件語句。 3． 學(xué)習(xí)了循環(huán)語句的兩種格式，我們來挖掘一下應(yīng)用循環(huán)語句編寫程序的“條件三要素”。 第一、循環(huán)語句中的變量一般需要進行一定的初始化操作。 請看我們用 WHILE 循環(huán)實現(xiàn) 1 到 100 累加 為例，做一下說明 ： “ 1+2+?? +100” 部分程序如下： sum = 0 i =1 WHILE i = 100 sum = sum+ i i=i+1 WEND 這段程序中，循環(huán)的條件是“ i = 100” ； 因此，一開始 i 肯定需要一個確定的值。前面的 “ i = 0” 這一 個語句 ，在聲明變量 i 的同時，也為 i 賦了初始值 “ 1” 。這樣，條件 i = 100 得以成立（因為 i 為 1，所以 條件“ i = 100” 當(dāng)然成立）。 第二、循環(huán)語句在循環(huán)的過程中需要有“結(jié)束”的機會。 程序中最忌“死循環(huán)”。所謂的“死循環(huán)”就是指該循環(huán)條件永遠(yuǎn)成立，沒有跳出循環(huán)體的機會。 第三、在循環(huán)中要改變循環(huán)條件的成立因素 程序每執(zhí)行一次循環(huán)體，循環(huán)條件中涉及到的變量就會發(fā)生改變，正在步步逼近滿足跳出循環(huán)體的條件。 第 23 頁 共 23 頁