直線與圓的方程及應用-資料下載頁
2025-08-13 20:49本頁面
【導讀】往往與圓有關，涉及到方程，位置關系、定點、定值、定線等．圓與圓錐曲線的綜合考查，3x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－2＝0相切，則實數(shù)m＝________.若直線AB截⊙N所得弦長為4，求⊙N的標準方程；是否存在這樣的⊙N，使得⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為2，若存在，點，M是PQ的中點，l與直線m：x＋3y＋6＝0相交于點N.上一點，且|MD|＝45|PD|.在平面直角坐標系xOy中，已知定點A、B(4,0)，動點P與A、B兩點連線的斜率之積為－14.平分線上，且在y軸右側，圓M被y軸截得的弦長為3r.x－r22＋2＝r2.(10分)
【正文】 λ[(x0－ 4)2＋ (y0－ t)2]， ∴ x02＋ y02－ 2xx0－ 2yy0＋ x2＋ y2＝ λ(x02＋ y02－ 8x0－ 2y0t＋ 16＋ t2)， 將 x02＋ y02＝ 4 代入上式，則 － 2xx0－ 2yy0＋ x2＋ y2＋ 4＝－ 8λx0－ 2λy0t＋ (20＋ t2)λ， 由于 N 是圓 O 上任意一點，所以????? x－ 4λ， ①y＝ 4λ， ②x2＋ y2＋ 4＝ ?20＋ t2?λ， ③ 將 ①② 代入 ③ 得 (16＋ t2)λ2－ (20＋ t2)λ＋ 4＝ 0 ∴ (λ－ 1)[(16＋ t2)λ－ 4]＝ 0， ∵ λ≠ 1， ∴ λ＝ 416＋ t2， 即存在一個定點 Q(不同于點 M)，使得 對于圓 O 上的任意一點 N， 均有 MNNQ為定值，又 16＋ t2＝ 4λ代入 ③ 得 x2＋ y2＝ 4λ， 于是有 x2＋ y2＝ x，即 ?? ??x－ 12 2＋ y2＝ 14，故點 Q 在圓心為 ?? ??12， 0 ，半徑為 12的定圓上． 高考回顧 1. 1 解析：本題考查直線與圓的位置關系，屬容易題． 2. 10 2 解析：由題意 AC 為徑，設圓心為 F，則 FE⊥ BD，圓的標準方程為 (x－ 1)2＋(y－ 3)2＝ 10，故 F(1,3)，由此易得： AC＝ 2 10，又 kEF＝ 2，所以 BD的方程為 y＝－ 12x＋ 1，F(xiàn) 到 BD 的距離為|－ 12＋ 1－ 3|52＝ 5，由此得 BD＝ 2 5，所以四邊形 ABCD的面積為 12ACBD＝ 12 2 5 2 10＝ 10 2. 鳳凰 出版?zhèn)髅郊瘓F 版權所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號 B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： 3. 1 或 177 4. ??? ???－ 33 ， 33 解析：因為直線過定點 (0,3)且該點在圓上，設此點為 M，圓心 (2,3)到此直線距離為 d，所以由 4－ d2≥ ( 3)2 ≤ 1，又 d＝ |2k－ 3＋ 3|1＋ k2 ≤ 1， ∴ k2≤ 13， ∴ － 33≤ k≤ 33 . 5. 點撥：本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎知識，考查運算求解能力，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想． 解： (解法 1)(1) 依題意，點 P 的坐標為 (0， m)， 因為 MP⊥ l，所以 0－ m2－ 0 1＝－ 1， 解得 m＝ 2，即點 P 的坐標為 (0,2)， 從而圓的半徑 r＝ |MP|＝ ?2－ 0?2＋ ?0－ 2?2＝ 2 2， 故所求 圓的方程為 (x－ 2)2＋ y2＝ 8. (2) 因為直線 l的方程為 y＝ x＋ m 所以直線 l′ 的方程為 y＝－ x－ m. 由????? y＝－ x－ m，x2＝ 4y， 得 x2＋ 4x＋ 4m＝ 0， Δ＝ 42－ 4 4m＝ 16(1－ m)． ① 當 m＝ 1，即 Δ＝ 0 時，直線 l′ 與拋物線 C 相切． ② 當 m≠ 1，即 Δ≠ 0 時，直線 l′ 與拋物線 C 不相切． 綜上，當 m＝ 1時，直線 l′ 與拋物線 C 相切；當 m≠ 1時，直線 l′ 與拋物線 C 不相切． (解法 2)(1) 設所求圓的半徑為 r，則圓的方程可設為 (x－ 2)2＋ y2＝ r2， 依題意，所求圓與直線 l： x－ y＋ m＝ 0 相切于點 P(0， m)， 則????? 4＋ m2＝ r2，|2－ 0＋ m|2 ＝ r，解得 ??? m＝ 2，r＝ 2 2. 所以所求圓的方程為 (x－ 2)2＋ y2＝ 8. (2) 同解法 1. 6. 點撥： (1)動點 M 通過點 P 與已知圓相聯(lián)系，所以把點 P 的坐標用點 M 的坐標表示，然后代入已知圓的方程即可； (2)直線方程 和橢圓方程組成方程組，可以求解，也可以利用根與系數(shù)關系；結合兩點的距離公式計算． 解： (1) 設點 M 的坐標是 (x， y)， P 的坐標是 (xp， xp)， ∵ 點 D 是 P 在 x軸上投影， M 為 PD 上一點，且 |MD|＝ 45|PD|， 鳳凰 出版?zhèn)髅郊瘓F 版權所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號 B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： ∴ xp＝ x，且 yp＝ 54y， ∵ P 在圓 x2＋ y2＝ 25 上， ∴ x2＋ ?? ??54y 2＝ 25，整理得 x225＋y216＝ 1， 即 C 的方程是 x225＋y216＝ 1. (2) 過點 (3,0)且斜率為 45的直線方程是 y＝ 45(x－ 3)，設此直線與 C 的交點為 A(x1， y1)，B(x2， y2)， 將直線方程 y＝ 45(x－ 3)代入 C 的方程 x225＋y216＝ 1 得：x225＋?x－ 3?225 ＝ 1，化簡得 x2－ 3x－ 8＝ 0， ∴ x1＝ 3－ 412 ， x2＝ 3＋ 412 ， ∴ |AB|＝ ?x1－ x2?2＋ ?y1－ y2?2＝ ?? ??1＋ 1625 ?x1－ x2?2＝ 4125 41＝ 415 ，即所截線段的長度是 415 .
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