柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)-資料下載頁(yè)
2025-08-11 18:22本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】函數(shù)在C內(nèi)部任何一點(diǎn)的值,用它在邊界上的值表示出來(lái)。定理柯西積分公式如果在區(qū)域內(nèi)處處解析，簡(jiǎn)單閉曲線,而且它的內(nèi)部完全含于。高階導(dǎo)數(shù)公式的作用,不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),求得另一個(gè)，從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)。若與是區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)且滿足方程。=，=-，則稱為的共軛調(diào)和函數(shù)。例1已知調(diào)和函數(shù)??
【正文】 所以 得 令復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 查看原題 2 2 2 22 2 2 2( 5 ) , , a r c ta n ( )()( ) 0 , ( ) ,u x x yC R v d y xx x y x y xv y v u yxx x y x y x yx x C C?????? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ???由 條 件 有故 又所 以 為 實(shí) 常 數(shù)22a r c t a n1( ) l n( ) ( a r c t a n )20 ( ) l n ,( ) l n ( )yvCxyf z x y i Cxy f x x i Cf z z i C f z L nz i C??? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?于 是令 得故復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 查看原題 222220 ( ) 2 ( ) 2( ) ( ) 2( 0) 0 , ( ) ( 1 )xzzzzy f x ix e f z izef z f z dz ize dz ie Cf C i f z i e??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???令 ， 得 , 所 以于 是由 即 有2 2 2 22 2 2 2( 6) 2 sin 2 2 c os 22 sin 2 2 c os 2x y x yxx y x yyu x e x y e x yu y e x y x e x y????? ??? ? ? ?有 導(dǎo) 數(shù) 公 式 ， 得 ：2 2 2 22 2 2 2( ) 2 si n 2 2 c o s 2( 2 si n 2 2 c o s 2 )x y x yx y x yf z x e x y e x yi y e x y x e x y????? ??? ? ?復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 2222( 1 ) ( ) ( 4 ) 2 ( ) 。( 2 ) 2u v x y x x y y x yu v x y x y? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?()f z u i v??例 6 設(shè) 滿足下列關(guān)系，求解析函數(shù) ,uv()f z u iv v uuv??解 ： （ 1 ） 因 為 ， 是 的 共 軛 調(diào) 和 函 數(shù) ， 所 以先 求 出 ， 的 一 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 。復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 2()6 ( ) 3 ( )xv v dx g yx y dx g y x y g y??? ? ? ???故? ? 22224 ( 2 4 ) ( ) 2 ,( ) ( 4 ) ( ) ( 4 2 ) 2 ,xxxyu v u v x x y y x y x yu v x x y y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?,x x y yC R u v v u? ? ? ?由 條 件 ， 并 將 兩 式 相 加 得xyvyxv xy 6,233 22 ????復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 3 2 3323 2 2 3( ) 2 3 2 , ( ) 3 2( ) 3 2 ( 3 2 )g y y y C v x y y y Cu u v v x x y x Cf z x x y x C i x y y y C? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?于 是,2)(,0 3 iCCxxxfy ????? 得令).1(2)( 3 ???? iCzzzf所以2 2 223 39。( ) 3 3 239。( ) 3 2 ,vx g x x yyg y y?? ? ? ? ??? ? ? ?由復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform .22)( ,22))(2(xyRCyyyyyRCxxxuuxyvuvuuuyxvuvu?????????????????xuyu xy 2,2 ???解方程，得：)()(2 2 xgyxgy dyu ?????? ?于是CxyuCxxgxxgxu ???????????? 222)(2)(39。又有復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform Cxyxyyxcyxvuuv ??????????? 2)()( 2222故)2()( 22 CxyiCyxzf ?????所以iCCxxfy ???? 2)(,0 得令)1()( 2 iCzzf ???即
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