冪零矩陣跡的特征-資料下載頁(yè)
2025-08-11 12:31本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】摘要：2020年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題（第3題）：設(shè)V是復(fù)數(shù)域上向量空間，,fg是V上的線性變換，且滿足fggff??，那么f的所有特征值均為0，并且。矩陣，在矩陣中討論特殊情況即ABBA?，求證A和B有公共特征向量，并且求。，證明存在正整數(shù)k，使得kf是零變換．（2020年蘇。f是冪零矩陣，易知例1與例2本質(zhì)上是屬。復(fù)雜的生成子空間，證明它們?cè)诰€性變換f下不變，最后利用fggf?命題2[2,3]若,AB都是復(fù)數(shù)域上的n階方陣，滿足rank()1ABBA??特征向量的具體形式，而這些在理論與應(yīng)用上都是很有用的[4].從以上諸例及相關(guān)結(jié)論上看，對(duì)線性變換,fg而言，關(guān)于hfggf??的討論有重要的意義.在有限維線性空間中，可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣ABBA?的線性變換,fg，不僅證明,fg之間存在公。具有如下基本性質(zhì)：。證明反證法假設(shè)ABBAE??性質(zhì)3設(shè)A，B是n階矩陣，令CABBA??，且C同A，B可交換，求證：。,即2C與A可交換.同理可證kC. ...,21互不相等，所以。，所以上式只有零解，所以C的特征值全為零.
【正文】 階矩陣 1A 與 1B ，使 11 1 1 1A B B A P CP??? 于是，有 1 1 1 11 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )P A P P B P P B P P A P C? ? ? ???，令 11PAP A? ? ， 11P P B? ? ，則 AB BA C??.命題得證 . 5 一個(gè)反例 命題 1中對(duì)復(fù)數(shù)域的要求是必需的，而在文獻(xiàn) [2]中 P261卻有如下一道習(xí)題： 習(xí)題 [2] 設(shè)矩陣 A 與 B 可交換，試證：如果 A 有特征向量，則 ,AB一定有公共特征向量 . 在文獻(xiàn) [3]中對(duì)該習(xí)題作出了如下解答： 解 [3] 設(shè) ,AB是兩個(gè)可交換的矩陣，系數(shù)在數(shù)域 P 中，并設(shè)其階數(shù)為 n . ,AB可看成 n 維線性空間 nP 的線性變換 ,AB在基 12(1 , 0 , , 0 ) , (0 , 1 , , 0 ) , ,???? (0,0, ,1)n? ? 下的矩陣，從 ,AB可交換可推出 ,AB可交換 .如果 A 有特征向量，則 A 有特征值 0? .在 A 對(duì)于 0? 的特征子空間中， ,AB有公共特征向量 ? ， ? 也是矩陣 ,AB的公共特征向量 . 上述結(jié)論不真 .事實(shí)上，在實(shí)數(shù)域 R 上，取 AE? ，令 B 是在實(shí)數(shù)域 R 沒有特征值的任一方陣（這種矩陣是存在的，參見下例），則 AE? 與 B 可交換， AE?有特征向量，但 B 沒有特征向量 . 例 1 在實(shí)數(shù)域 R 上， AE? （單位陣）， 0110B ????????，則 AB BA? ， A 有特征值 1，從而有特征向量，但 B 在實(shí)數(shù)域 R 上沒有特征值，自然沒有特征向量 . 6 進(jìn)一步的討論 結(jié)論 1 若 AB BA? ，且 A 有 n 個(gè)互不相同的特征值，則 ? 可逆陣 P 使得 1100 nP AP?????????? ， 11 00 nP B P??????????. 結(jié)論 2 已知 A B AB?? ，則 （ 1） 1不是 A 的特征值，也不是 B 的特征值； （ 2） 若 B 相似于對(duì)角陣，則 A 也相 似于對(duì)角陣，且可同時(shí)相似于對(duì)角陣 . 結(jié)論 3 若 A B AB?? ， ,AB至少有一個(gè)可以對(duì)角化， 則 （ 1） B 一定能表成 A 的多項(xiàng)式 . （ 2） A 每一個(gè)特征向量都是 B 的特征向量 . （ 3） ,AB至少有一個(gè)公共特征向量 . 結(jié)論 4 若 A B AB?? ， A 可對(duì)角化，則 ,AB有 n 個(gè)公共特征向量，且它們線性無(wú)關(guān) . [參考文獻(xiàn) ] [1] 屠伯塤 .線性代數(shù)方法導(dǎo)引 [M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社， 1986. [2] Laffey T J .Simultangularization of matriceslow rank cases and the nonderogetory case[J].Lin and Multilin .Alg ,1978 ,6(4):289305. [3] Choi M P ,Lourie C ,Radjavi mutators and invariant subspaces[J].Lin and ,1981,10(4):329340. [4] 胡付高 .矩陣的弱相似性及其應(yīng)用 [J].信陽(yáng)師范學(xué)院報(bào) (自然科學(xué)版 ),2020,16(1):46. [5] 王萼芳 .高等代數(shù)教程（下冊(cè)） [M].北京 : 清華大學(xué)出版社， 1997. [6] 王萼芳 .高等代數(shù)輔導(dǎo)與習(xí)題解答 [M].北京 :清華大學(xué)出版社， 1997. [7] 屠伯塤，徐誠(chéng)浩 ,王芬 .高等代數(shù) [M].上海 :上?？茖W(xué)出版社 ,1987. [8] 王萼芳 ,石生明 .高等代數(shù) [M].北京 :高等教育出版社 ,1987. [9] 朱靖紅，朱永生 .矩陣對(duì)角化的相關(guān)問(wèn)題 [J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)， 2020， 28（ 3）： 383384. [10] 陳紹剛 .矩陣對(duì)角化的弱可逆矩陣刻畫 [J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)， 2020， 35（ 9） 164166. [11] 姜曉艷 .化方陣為相似對(duì)角陣的一個(gè)判別條件 [J].遼寧師專學(xué)報(bào)， 2020， 6（ 2） 2,29. [12] 紹逸民 .跡為零的矩陣的性質(zhì) [J].沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)， 2020， 26（ 4） 12. [13] 王萼芳等 .高等代數(shù)（第三版） [M].高等教育出版社 致 謝 在寫論文的過(guò)程中，謝謝百忙之中的胡付高老師抽出寶貴的時(shí)間來(lái)指導(dǎo)，在此衷心感謝胡 老師的悉心 指導(dǎo) ！
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