冪零矩陣跡的特征-全文預(yù)覽
【正文】 2 10112 2 0B??????? 解 容易驗證 AB BA? ， A 的特征多項式為 23 0 01 3 1 ( 1 ) ( 3 )2 0 1EA?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???. 所以 1 1?? ， 233???? . 對 1 1?? ，由 1232 0 01 2 1 02 0 0xxx?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ?，得 1 0x? ， 2312xx?? ， 從而 基礎(chǔ)解系為 1012?????????????， 而111 2 1 0 00 1 1 1 12 2 0 2 2B ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?，定理 1 中的 ? ?1L?? 為 11? 矩陣，于是1??? ， 于是 公共特征向量為 1 1 1102ccc??????? ? ?????， 其中 1c 為任一不為零的常數(shù) 對 233????，由 1230 0 01 0 1 02 0 2xxx? ?? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ??? ?? ?，得 13xx? ， 從而 基礎(chǔ)解系為 1101????????????，2010????????????， 而 1 1 21 2 1 1 20 1 1 0 1 22 2 0 1 2B ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 2 1 21 2 1 0 20 1 1 1 1 22 2 0 0 2B ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 由 命題 1 可知 2211L ???????， 22 011L ?? ???? ? ? ?， 從而有 ( 3) 0????， 對 0?? ， 122 2 01 1 0cc?? ??? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ???，得 21cc?? ， 于是 公共特征向量為 1 1 2()c? ? ???，即111ccc???????????， 其中 1c 為任意不為零的常數(shù) . 對 3?? ， 121 2 01 2 0cc? ??? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ???，得 122cc? ， 于是 公共特征向量為 2 1 2(2 )c? ? ???，即22222ccc??????????， 其中 2c 為任意不為零的常數(shù) . 于是所有 公共特征向量的形式為： 02kk???????????， kkk???????????， 22kkk?????????? k 為任意不為零的常數(shù) . 4 逆命題 設(shè) C 為 n 階矩陣，且 tr 0C? ，則必存在 n 階矩陣 A 與 B ，使 AB BA C?? 證明 若 tr 0C? ， 則 C 一定相似于一個主對角元全是零的方陣 .證明為參考文獻(xiàn) [12]定理 1 的證明，在此略 .下證必 存在 n 階矩陣 A 與 B ，使 AB BA C?? 分 兩種情況討論： （ 1）若 C 是主對角元全是零的方陣，即 ()ijCc? ， 0iic? ， 1,2, ,in? .取12nA???????????? 12, , , n? ? ? 兩兩互異 .取 ? ?ijBb? ，其中 ijijijcb ??? ? （ ij? ），而 iib ( 1,2, , )in? 任意，可驗證 AB BA C??. （ 2）對任何 tr 0C? 的 n 階矩陣 C ，由引理存在可逆陣 P ，使 1PCP? 為一個主對角元全是零的方陣 .由（ 1）所證，存在 n 階矩陣 1A 與 1B ，使 1
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