本科畢業(yè)論文三元域上矩陣空間的保冪映射-全文預(yù)覽
【正文】 文獻(xiàn)[17]中探討了三元域上全矩陣空間，對(duì)稱矩陣空間，上三角矩陣上的保冪映射并分別得到了在這幾個(gè)空間上的保冪映射所具有的性質(zhì)定理，但其中有兩個(gè)定理并未給出證明，本節(jié)將分三個(gè)方面列出這三個(gè)定理，并對(duì)其中為證明的定理給出自己的證明. 設(shè)，且為上保冪映射，則存在可逆陣，使得對(duì)任意的有或.本定理原文中已有證明，故不具體證明，證明過(guò)程參考文獻(xiàn)[17]本節(jié)將刻畫三元域上對(duì)稱矩陣空間的保冪映射，證明下面的定理. 設(shè)，且為上保冪映射，則存在可逆陣，使得對(duì)任意的有或，其中為中某個(gè)非零元素.，[4]和[15]中引理15和79的證明.引理 設(shè)，如果[其中為所有從到的滿足如下條件的映射中的集合:（ 這里表示上的冪等元全體構(gòu)成的偏序集，下同）]則是單射；是是齊次的，即. 設(shè)，和均為從到的齊次映射，且，則存在可逆陣使得對(duì)任意的，和都有. 設(shè)，且如果其中，和均為從到的齊次映射，且，則其中和均為從到的齊次映射，且， 基于前面的準(zhǔn)備， 設(shè)，且，則存在可逆陣，使得對(duì)任意的有. . ，則存在可逆陣使得，（下同）. 證明 類似于文獻(xiàn)[15]中命題1的證明. ■ ，則存在可逆陣使得，. 證明 ，存在可逆陣使得且所帶來(lái)的相似變換保持不動(dòng).令.其中和均為從到的齊次映射，且.當(dāng)時(shí)，令，于是，命題得證. ■ ，如果且對(duì)有，則存在可逆陣使得，.證明 步驟1 存在可逆陣使得其中和均為從到的齊次映射，且.且?guī)?lái)的相似變換保持上面的結(jié)果.令其中和均為從到的齊次映射，且. 當(dāng)時(shí)，由帶來(lái)的相似變換保持和不動(dòng)，且令其中和均為從到的齊次映射，且.即. 步驟2 對(duì)，存在可逆陣使得，和均為從到的齊次映射，且.令其中和均為從到的齊次映射，且.當(dāng)時(shí)，令，由帶來(lái)的相似變換保持不動(dòng)，且其中和均為從到的齊次映射，且.即.其中和均為從到的齊次映射，且.步驟3 由步驟2知其中，均為從到的齊次映射，且由的保冪性可得.再由，（的齊次性，命題得證. ■ 設(shè)，如果且對(duì)有，則存在可逆陣使得，.證明 只需證明對(duì)任意的存在可逆陣使得且對(duì)任意的有我們對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí)，且由帶來(lái)的相似變換保持上面的結(jié)果.當(dāng)時(shí)，且由帶來(lái)的相似變換保持上面的結(jié)果.由的齊次性，不失一般性我們可設(shè)當(dāng)時(shí)，其中和均為從到的齊次映射，且.同理，.假設(shè)式當(dāng)時(shí)均成立，則由的齊次性，只需證明，其中..其中和均為從到的齊次映射，且. 結(jié)合的齊次性經(jīng)計(jì)算得從而當(dāng)時(shí)式也成立. ■ 本節(jié)將刻畫三元域上對(duì)稱矩陣空間的保冪映射，證明下面的定理. 設(shè)，且為上保冪映射，則存在可逆陣，使
電大資料相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1