【導讀】請你寫出其它符合條件的點P的坐標▲．。（0，0），，。動點問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的應用。①當M在第二象限，運動到時，ON=1，MN=1，∵MN⊥x軸，∴由ON=MN可知，（0，0）是符合條件的P點；若MN為斜邊時，則NP=MP，∠MNP=45°，設點M，則OP=ON，而OP=12MN，，這方程無解，所以這時不存在符合條件的P點。的一個動點,以AB為直徑作⊙O，過點P的切線交AD于點F，切點為E。延長DC，F(xiàn)P相交于點G，連結(jié)OE并延長交直線DC于H(如圖乙)。△EFO∽△EHG（其對應關(guān)系是E?如果存在，試求此時的BP的長；如果不存在，∴AF、BP都是⊙O的切線。又∵PF是⊙O的切線，∴EF=FA，PE=PB?！郣t△AOF∽Rt△EOF?！摺螮OF=∠AOF，∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF?！嗳酎cE在DC上，不存在直線EF將四邊形PBCD的周長和面積同時平分。∴BE=12－x，PF=25－y。

　　

【正文】 3）， ∴ QC= 543 33?? 。 ∴ 在 Rt△ CDQ 中，根據(jù)勾股定理，得 2222 54CD D Q Q C 133? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?。 ∴ D（ 1， 3）。 （ 3） ① PQ能與 AC 平行。理由如下： 若 PQ∥ AC，如圖，則 OP OAOQ OC?，即 6 t 62 3t 3? ??。 ∴ 14t 9? 。 ∵ 70t3?? ， ∴ 當 14t 9? 時， PQ∥ AC。 ② PE不能與 AC 垂直。理由如下： 若 PE⊥ AC，延長 QE 交 OA于 F，如圖， 則 QF∥ CA， ∴ QF OQAC OC? ， ∵ OA=6， OC=3， ∴ AC=35。 ∴ QF 6 t335 ??，即 2QF 5(t )3??。 ∴ ? ? ? ? ? ?2 2 2 2E F Q F Q E Q F O Q 5 t t 5 1 t 5 1 5 1 t3 3 3 3? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?。 又 ∵ Rt△ EPF∽ Rt△ OCA， ∴ PE OCEF OA? 。即? ?6 t 32 65 1 t 3? ?????????。 解得： t≈。 ∵ 70t3?? ， ∴ 不存在 t，使 PE⊥ AC。 【考點】 雙動點和折疊問題，勾股定理，平行的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，反證法的應用。 【分析】 （ 1）點 Q 運動的時間比點 P 多 23 秒，所以運動的路程也多出了 23 。 （ 2）利用翻折得到的線段長，再利用勾股定理可求得點 D的橫坐標，縱坐標和點 C 的縱坐標相等。 教育網(wǎng) （ 3）當平行的時候，所截得的線段對應成比例，即可求得時間值．當垂直的時候也要找到一組平行線，得到對應線段成比例看是否在相應的范圍內(nèi)。 16.（ 2020年 浙江湖州 12分） 已知：在矩形 AOBC 中， OB=4， OA=3．分別以 OB， OA所在直線為 x軸和 y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系． F是邊 BC上 的一個動點（不與 B， C 重合），過 F點的反比例函數(shù) ky x?（ k＞ 0）的圖象與 AC 邊交于點 E． （ 1）求證： △ AOE 與 △ BOF 的面積相等； （ 2）記 OEF ECFS S S??? － ，求當 k 為何值時， S 有最大值，最大值為多少？ （ 3）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點 F，使得將 △ CEF 沿 EF 對折后， C 點恰好落在 OB 上？若存在，求出點 F的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】 解 ：（ 1）證明：設 E（ x1， y1）， F（ x2， y2）， △ AOE 與 △ FOB 的面積分別為 S1， S2， ∵ E 點、 F 點在反比例函數(shù) ky x? （ k＞ 0）的圖象上， ∴1212kky , yxx??。 ∴1 1 1 2 2 21 1 1 1S x y k S x y k2 2 2 2? ? ? ? ? ?。 ∴ S1=S2，即 △ AOE 與 △ FOB 的面積相等。 （ 2）由題意知 E， F 兩點坐標分別為 kkE 3 F 434? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ， ， ， ∴E C F 1 1 k kS E C C F 4 32 2 3 4? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?。 ∴E O F A O B C A O E B O F E C F E C F E C F11S S S S S 1 2 k k S 1 2 k S22? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?矩 形。 ∴O E F E C F E C F 1 k kS S S 1 2 k 2 S 1 2 k 2 4 32 3 4? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?－。 教育網(wǎng) ∴ ? ? 2211S k k k 6 31 2 1 2? ? ? ? ? ? ?。 ∴ 當 k=6 時， S 有最大值， S 最大值 =3。 （ 3）存在。 設存在這樣的點 F，將 △ CEF 沿 EF 對折后， C 點恰好落在 OB 邊上的 M 點， 過點 E 作 EN⊥ OB，垂足為 N， 由題意得： EN=AO=3， EM=EC= k4 3? ， MF=CF= k34? ， ∵∠ EMN+∠ FMB=∠ FMB+∠ MFB=90176。， ∴∠ EMN=∠ MFB。 又 ∵∠ ENM=∠ MBF=90176。， ∴△ EMN∽△ MFB。 ∴ EN EMMB MF? ，即k433kMB 34???。 ∴ 9MB4? 。 ∵ 2 2 2MB BF MF??， ∴ 2 2 29 k k34 4 4? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 。解得 21k 8? 。 ∴ k 21BF 4 32?? 。 ∴ 存在符合條件的點 F，它的坐標為（ 4， 2132 ）。 【考點】 反比例函數(shù)綜合題，動點和折疊問題，二次函數(shù)最值，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理， 【分析】 （ 1）分別用點 E， F 的坐標表示出 △ AOE 與 △ FOB 的面積，進行比較。 （ 2）應分別用矩形面積和能用圖中的點表示出的三角形的面積表示出所求的面積，利用二次函數(shù)求出最 值即可。 （ 3）點 F 的橫坐標已有，與點 B 的橫坐標相同，利用折疊以及相似求得點 F 的縱坐標。 17.（ 2020年 浙江湖州 5分） 對于二次函數(shù) 2y ax bx c? ? ? ，如果當 x取任意整數(shù)時，函數(shù)值 y都是整數(shù)，那么我們把該函數(shù)的圖象叫做整點拋物線（例如： 2y x 2x 2? ? ? ）． （ 1）請你寫出一個二次項系數(shù)的絕對值小于 1 的整點拋物線的解析式 ．（不必證明） （ 2）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖诙雾椣禂?shù)的絕對值小于 12 的整點拋物線？若存在，請寫出其中一條拋物線的解析 教育網(wǎng) 式；若不存在，請說明理由． 【答案】 解：（ 1）如： 221 1 1 1y x x y x x2 2 2 2? ? ? ? ?， 等等（答案不唯一）。 （ 2）不存在。理由如下： 假設存在符合條件的拋物線，則對于拋物線 2y ax bx c? ? ? ， 當 x=0 時 y=c，當 x=1 時 y=a+b+c， 由整點拋物線定義知： c 為整數(shù)， a+b+c 為整數(shù)， ∴ a+b 必為整數(shù)。 又當 x=2 時， ? ?y 4 a 2 b c 2 a 2 a b c? ? ? ? ? ? ?是整數(shù)， ∴ 2a 必為整數(shù)，從而 a 應為 12 的整數(shù)倍。 ∴ 1a 2? 。 ∴ 不存在二次項系數(shù)的絕對值小于 12 的整點拋物線。 【考點】 新定義，二次函數(shù)綜合題，反證法的應用。 【分析】 （ 1） a 和 b 要么同時為整數(shù)，要么同時是分母為 2 的分數(shù)。 （ 2）利用反證法證明．假設存在符合條件的拋物線，則對于拋物線 2y ax bx c? ? ? ， ① 當 x=0 時 y=c，當 x=1 時 y=a+b+c，由整點拋物線定義推知 a+b 必為整數(shù)； ② 當 x=2 時， ? ?y 4 a 2 b c 2 a 2 a b c? ? ? ? ? ? ?是整數(shù)， 所以 a 應為 12 的整數(shù)倍；綜合 ①② 即可得到答案。 18.（ 2020年 浙江 麗水 14分） 如圖，在平面直角坐標系中，已知點 A坐標為（ 2， 4），直線 x2? 與 x 軸 相交于點 B，連結(jié) OA，拋物線 2yx? 從點 O 沿 OA方向平移，與直線 x2? 交于點 P，頂點 M 到 A點時 停止移動． （ 1）求線段 OA所在直線的函數(shù)解析式； （ 2）設拋物線頂點 M 的橫坐標為 m, ① 用 m 的代數(shù)式表示點 P 的坐標； ② 當 m 為何值時，線段 PB 最短； （ 3）當線段 PB最短時，相應的拋物線上是否存在點 Q，使 △ QMA的面積與 △ PMA的面積相等，若存在， 教育網(wǎng) 請求出點 Q 的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】 解：（ 1）設 OA所在直線的函數(shù)解析式為 y kx? ， ∵ 點 A坐標為（ 2， 4）， ∴ 2k 4? , k2? 。 ∴ OA所在直線的函數(shù)解析式為 y 2x? 。 （ 2） ①∵ 頂點 M 的橫坐標為 m，且在線段 OA上移動， ∴ y 2m? （ 0≤m ≤2）。 ∴ 頂點 M 的坐標為 (m ,2m )。 ∴ 拋物線函數(shù)解析式為 2y (x m) 2m? ? ? 。 ∴ 當 x2? 時， 2y (2 m) 2m? ? ? 2m 2m 4? ? ? （ 0≤m ≤2）。 ∴ 的 P 坐標是（ 2， 2m 2m 4??）。 ②∵ PB= 2m 2m 4??= 2(m 1) 3??， 又 ∵ 0≤m ≤2， ∴ 當 m1? 時， PB最短。 （ 3）存在。 當線段 PB最短時，此時拋物線的解析式為 ? ?2y x 1 2? ? ? ， 假設在拋物線上存在點 Q，使 QMA PMASS??? ， 設點 Q 的坐標為（ x ， 2x 2x 3??）， ① 當點 Q落在直線 OA的下方時，過 P 作直線 PC∥ AO，交 y 軸于點 C， ∵ PB=3， AB=4， ∴ AP=1。 ∴ OC=1。 ∴ C 點的坐標是（ 0， 1? ）。 教育網(wǎng) ∵ 點 P 的坐標是（ 2， 3）， ∴ 直線 PC的函數(shù)解析式為 y 2x 1??。 ∵ QMA PMASS??? ， ∴ 點 Q 落在直線 y 2x 1??上。 ∴ 2x 2x 3 2x 1? ? ? ?。 解得 12x x 2??，即點 Q（ 2， 3）。 ∴ 點 Q 與點 P 重合。 ∴ 此時拋物線上不存在點 Q，使 △ QMA的面積與 △ PMA的面積相等。 ② 當點 Q落在直線 OA的上方時，作點 P 關(guān)于點 A的對稱稱點 D，過 D 作直線 DE//AO， 交 y 軸于點 E， ∵ AP=1， ∴ EO=DA=1。 ∴ E、 D 的坐標分別是（ 0， 1），（ 2， 5）。 ∴ 直線 DE 函數(shù)解析式為 y 2x 1??. ∵ QMA PMASS??? ， ∴ 點 Q 落在直線 y 2x 1??上。 ∴ 2x 2x 3 2x 1? ? ? ?，解得： 1x 2 2?? ， 2x 2 2?? 。 代入 y 2x 1??，得 1y 5 2 2?? ， 2y 5 2 2?? 。 ∴ 此時拋物線上存在點 ? ?1Q 2 2 5 2 2?? ， ? ?2Q 2 2 , 5 2 2?? ，使 △ QMA的面 積與 △ PMA的面積相等。 綜上所述，拋物線上存在點 ? ?1Q 2 2 5 2 2?? ， ? ?2Q 2 2 , 5 2 2?? ，使 △ QMA 的面積與 △ PMA的面積相等。 【考點】 一、二次函數(shù)綜合題，平移問題， 待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)最值，同底等高三角形面積的性質(zhì)，分類思想的應用。 【分析】 （ 1）用待定系 數(shù)法可求得 線段 OA所在直線的函數(shù)解析式。 （ 2） ① 根據(jù)點 M 在 y=2x上可得相應坐標，即可用頂點式表示出相應的二次函數(shù)解析式，求出當 x=2時的函數(shù)值即為點 P 的坐標。 ② PB的長，實際就是 P 點的縱坐標，因此可根據(jù)其縱坐標的表達式來應用二次函數(shù)最值原理求出 PB最短時，對應的 m 的值。 （ 3）分 點 Q 落在直線 OA 的下方和點 Q 落在直線 OA 的上方兩種情況討論即可。 教育網(wǎng) 19.（ 2020年 浙江寧波 12分） 如圖 1，在平面直角坐標系中， O為坐標原點，點 A的坐標為（－ 8， 0），直線BC 經(jīng)過點 B（－ 8， 6）， C（ 0， 6）， 將四邊形 OABC 繞點 O按順時針方向旋轉(zhuǎn) α度得到四邊形 OA′B′C′，此時 OA′、 B′C′分別與直線 BC 相交于 P、 Q． （ 1）四邊形 OABC 的形狀是 ，當 90?? 176。 時， BPBQ的值是 ； （ 2） ① 如圖 2，當四邊形 OA′B′C′的頂點 B′落在 y 軸正半軸時，求 BPBQ的值； ② 如圖 3，當四邊形 OA′B′C′的頂點 B′落在直線 BC 上時，求 OPB39?！?的面積． （ 3）在四邊形 OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當 0 180?? ? 176。 時，是否存在這樣的點 P 和點 Q，使 BP Q12 B? ？若存在，請直接寫出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】 解：（ 1）矩形； 47 ， （ 2） ① 如圖 2， ∵∠ POC=∠ B′OA′， ∠ PCO=∠ OA′B′=90176。， ∴△ COP∽△ A′OB′。 ∴ CP OCAB OA?? ? ? 。 ∵ A′B′=AB=6， OC=6， OA′=OA=8， ∴ CP 668? ， CP=92 。 ∵ BC=OA=8， ∴ BP=B