【導(dǎo)讀】請你在圖中任意畫一條拋物線，問所畫的拋物線最多能經(jīng)過81個(gè)格點(diǎn)中的多少個(gè)？網(wǎng)格問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，反證法。建立如圖所示的坐標(biāo)系：設(shè)方格左下角為（0，0），沿著方格的邊建立直角坐標(biāo)系?？梢则?yàn)證，它能經(jīng)過8個(gè)格點(diǎn)：（0，6），（1，3），（2，1），個(gè)格點(diǎn)的橫坐標(biāo)都差1，考慮到拋物線的遞增或遞減趨勢，這5點(diǎn)的縱坐標(biāo)的極差不小于1+2+3+4=10，顯然。這5個(gè)格點(diǎn)不全在8×8網(wǎng)格之內(nèi)。由于此時(shí)D點(diǎn)橫坐標(biāo)最大，故點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為8?！連F⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM。因此，根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)，表示圖中的弦CD的長度，通過比較運(yùn)動的弦CD和與之垂直的直徑AB的大小關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)于正數(shù)x，∴根據(jù)垂徑定理和相交弦定理，得2CExy??

　　

【正文】 2 2 , 5 2 2?? ，使 △ QMA的面 積與 △ PMA的面積相等。 綜上所述，拋物線上存在點(diǎn) ? ?1Q 2 2 5 2 2?? ， ? ?2Q 2 2 , 5 2 2?? ，使 △ QMA 的面積與 △ PMA的面積相等。 【考點(diǎn)】 一、二次函數(shù)綜合題，平移問題， 待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)最值，同底等高三角形面積的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1）用待定系數(shù)法可求得 線段 OA所在直線的函數(shù)解析式。 （ 2） ① 根據(jù)點(diǎn) M 在 y=2x上可得相應(yīng)坐標(biāo)，即可用頂點(diǎn)式表示出相應(yīng)的二次函數(shù)解析式，求出當(dāng) x=2時(shí)的函數(shù)值即為點(diǎn) P 的坐標(biāo)。 ② PB的長，實(shí)際就是 P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因此可根據(jù)其縱坐標(biāo)的表達(dá)式來應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求 出 PB最短時(shí)，對應(yīng)的 m 的值。 （ 3）分 點(diǎn) Q 落在直線 OA 的下方和點(diǎn) Q 落在直線 OA 的上方兩種情況討論即可。 12.（ 2020年 浙江紹興 14 分） 定義一種變換：平移拋物線 F1得到拋物 線 F2，使 F2 經(jīng)過 F1 的頂點(diǎn) A．設(shè) F2 的對稱軸分別交 F1， F2 于點(diǎn) D， B，點(diǎn) C 是點(diǎn) A關(guān)于直線 BD 的對稱點(diǎn)． （ 1）如圖 1，若 F1： 2yx? ，經(jīng)過變換后，得到 F2： 2y x bx??，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 2， 0），則： ① b 的值等于 ▲ ； ② 四邊形 ABCD 為【 】 A、平行四邊形； B、矩形； C、菱形； D、正方形． （ 2）如圖 2，若 F1： 2y ax c??，經(jīng)過變換后，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 （ 2， c－ 1），求 △ ABD 的面積； （ 3）如圖 3，若 F1： 21 2 7y x x3 3 3? ? ?，經(jīng)過變換后， AC=2 3 ，點(diǎn) P 是直線 AC 上的動點(diǎn)，求點(diǎn) P 到點(diǎn) D的距離和到直線 AD 的距離之和的最小值． 【答案】 解：（ 1） ① － 2。 ② D。 （ 2） ∵ 在 F1： 2y ax c??中令 x=0 得 y=c， ∴ A（ 0， c）。 ∵ F2 的頂點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 2， c－ 1）， ∴ ? ?2y a x 2 c 1? ? ? ?。 ∵ A（ 0， c）在 F2 上， ∴ ? ?2c a 0 2 c 1? ? ? ?，得 1a 4? 。 ∵ F2 的對稱軸 x2? 交 F1于點(diǎn) D， ∴ 將 x2? 代入 F1 得 21y 2 c 1 c4? ? ? ? ?。 ∴ DB=? ? ? ?1 c c 1 =2? ? ? 。 ∴ABD 1S 2 2=22? ? ? ?。 （ 3）如圖，點(diǎn) C 在點(diǎn) A的右側(cè)， F1： ? ? 221 2 7 1y x x x 1 23 3 3 3? ? ? ? ? ? 頂點(diǎn)坐標(biāo)是 A（ 1， 2）， ∵ AC=2 3 ， ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (1 2 3 2)? ， 。 ∴ F2 的對稱軸為 x 1+ 3? 。 ∴ 可設(shè) F2 的解析式為 ? ?21y x 1 3 m3? ? ? ?。 ∵ F2 過點(diǎn) A（ 1， 2）， ∴ ? ?212 1 1 3 m3? ? ? ?，解得： m1? 。 ∴ F2 的解析式為 ? ?21y x 1 3 13? ? ? ?。 設(shè) AC 與 BD 交于點(diǎn) N， ∵ B (1 3 1)? ， ， ∴ D (1 3 3)? ， 。 ∴ NB=ND=1。 ∵ 點(diǎn) A與點(diǎn) C 關(guān)于直線 BD 對稱， ∴ AC⊥ DB，且 AN=NC。 ∴ 四邊形 ABCD 是菱形。 ∴ AC 是線段 BD 的垂直平分線。 ∵ 點(diǎn) P 在直線 AC 上， ∴ PD=PB。 作 PH⊥ AD 交 AD 于點(diǎn) H，則 PD+PH=PB+PH。 要使 PD+PH 最小，即要使 PB+PH 最小，此最小值是 點(diǎn) B 到 AD 的距離，即 △ ABD 邊 AD上的高 h。 ∵ DN=1， AN= 3 ， DB⊥ AC， ∴∠ DAN=30176。 ∴△ ABD 是等邊三角形。 ∴ 3h AD 32??。 ∴ 點(diǎn) P 到點(diǎn) D 的距離與到直線 AD 的距離之和的最小值為 3 。 當(dāng)點(diǎn) C 在點(diǎn) A的左側(cè)時(shí)，同理可得最小值為 3 。 綜上所述， 點(diǎn) P 到點(diǎn) D 的距離與到直線 AD 的距離之和的最小值為 3 。 【考點(diǎn)】 新定義，二次函數(shù)綜合題，平移、動點(diǎn)和軸對稱問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn) 的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，正方形、菱形和等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)（線段最短問題），分類 思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1） ① 將點(diǎn) C（ 2， 0）的坐標(biāo)代入拋物線 F2的解析式，得 b=－ 2。 ② 對四邊形 ABCD的對角線進(jìn)行分析，結(jié)合特殊四邊形的判定方法得四邊形 ABCD 是正方形。故選 D。 （ 2）由 2y ax c??經(jīng)過變換后點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ 2， c－ 1），根據(jù) A（ 0， c）在 F2上，可得 1a 4? ，即可表示出 △ ABD 的面積。 （ 3）分點(diǎn) C 在點(diǎn) A的左右側(cè)兩種情況討論。當(dāng)點(diǎn) C 在點(diǎn) A的右側(cè)時(shí)，求出 21 2 7y x x3 3 3? ? ?的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸，從而表示出 F2 的解析式，判斷出四邊形 ABCD 是菱形，要使 PD+PH 最小，即要使 PB+PH最小，進(jìn)而求出； 同理可得當(dāng)點(diǎn) C 在點(diǎn) A的左側(cè)時(shí)的情況。 13.（ 2020年 浙江舟山、嘉興 14分） 如圖，已知 A、 B是線段 MN 上的兩點(diǎn)， MN=4， MA=1， MB＞ 1．以 A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn) M，以 B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn) N，使 M、 N 兩點(diǎn)重合成一點(diǎn) C，構(gòu)成 △ ABC，設(shè) AB=x． （ 1）求 x的取值范圍； （ 2）若 △ ABC 為直角三角形，求 x的值； （ 3）探究： △ ABC 的最大面積？ 【答案】 解：（ 1） ∵ 在 △ ABC 中， AC=1， AB=x， BC=3－ x， ∴ 1 x 3 x1 3 x x? ? ??? ? ? ??，解得 1 x 2?? 。 （ 2） ① 若 AC 為斜邊，則 221 x (3 x)? ? ? ，即 2x 3x 4 0? ? ? ，無解 ； ② 若 AB 為斜邊，則 22x (3 x) 1? ? ? ，解得 5x 3? ，滿足 1 x 2?? ． ③ 若 BC 為斜邊，則 22(3 x) 1 x? ? ? ，解得 4x 3? ，滿足 1 x 2?? 。 綜上所述， 若 △ ABC 為直角三角形， 則 5x 3? 或 4x 3? 。 （ 3）在 △ ABC 中，作 CD AB? 于 D， 設(shè) CD h? ， △ ABC 的面積為 S，則 1S xh2? ． ① 若點(diǎn) D 在線段 AB 上， 則 2 2 21 h ( 3 x ) h x? ? ? ? ?， ∴ 2 2 2 2 2( 3 x ) h x 2x 1 h 1 h? ? ? ? ? ? ?， 即 2x 1 h 3x 4? ? ?。 ∴ 2 2 2x (1 h ) 9 x 2 4 x 1 6? ? ? ?，即 2 2 2x h 8 x 2 4 x 1 6? ? ? ?。 ∴ 2 2 2 2 21 3 1 4S x h 2 x 6 x 4 2 ( x ) x 24 2 2 3??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????。 當(dāng) 3x 2? 時(shí)（滿足 4 x23??）， 2 S 取最大值 12 ，從而 S 取最大值 22 。 ② 若點(diǎn) D 在線段 MA上， 則 2 2 2( 3 x ) h 1 h x? ? ? ? ?， 同理可得， 2 2 23 1 4S 2 x 6 x 4 2 ( x ) 1 x2 2 3??? ? ? ? ? ? ? ? ?????， ∵ 4332 ，∴當(dāng) 41x3 ? 時(shí)， 2S 隨 x的增大而增大。 ∴ 當(dāng) 4x 3? 時(shí)， 2S 取最大值 49 ，從而 S 取最大值 23 。 綜合 ①② ， ∵ 2232 ，∴ △ ABC 的最大面積為 22 。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，線 旋轉(zhuǎn) 問題， 三角形三邊關(guān)系 ，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1）因?yàn)樗?AB 或 x在 △ ABC 中，所以可利用三角形三邊之間的關(guān)系即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊進(jìn)行解答 。 （ 2）應(yīng)該分情況討論，因?yàn)椴恢涝谌切沃心囊粋€(gè)是作為斜邊存在的 ， 所以有三種情況，即： ①若 AC 為斜邊 ，② 若 AB 為斜邊， ③ 若 BC 為斜邊 ，分別求解即可。 （ 3）在 △ ABC 中， AB 的值固定不變，即可視為底邊不變，但是因?yàn)槿切涡螤畈还潭?，高在發(fā)生變化，所以造成面積不固定，需分情況進(jìn)行討論．具體分 ① 若點(diǎn) D在線段 AB 上， ② 若點(diǎn) D 在線段 MA上兩種情況 。 14.（ 2020年 浙江 麗水 12分） 已知直角坐標(biāo)系中菱形 ABCD 的位置如圖， C， D 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (4,0)， (0,3).現(xiàn)有兩動點(diǎn) P,Q 分別從 A,C 同時(shí)出發(fā)，點(diǎn) P 沿線段 AD 向終點(diǎn) D 運(yùn)動，點(diǎn) Q 沿折線 CBA向終點(diǎn) A 運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t 秒 . （ 1）填空：菱形 ABCD 的邊長是 ▲ 、 面積是 ▲ 、 高 BE 的長是 ▲ ； （ 2）探究下列問題： ① 若點(diǎn) P 的速度為每秒 1 個(gè)單位，點(diǎn) Q 的速度為每秒 2 個(gè)單位 .當(dāng)點(diǎn) Q 在線段 BA 上時(shí)，求 △ APQ 的 面積 S 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式，以及 S 的最大值； ② 若點(diǎn) P 的速度為每秒 1 個(gè)單位，點(diǎn) Q 的速度變?yōu)槊棵?k個(gè)單位，在運(yùn)動過程中 ,任何時(shí)刻都有相應(yīng)的 k值，使得 △ APQ 沿它的一邊翻折，翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形 .請?zhí)骄慨?dāng) t=4 秒時(shí)的情形，并求出 k 的值 . 【答案】 解：（ 1） 5； 24； 245 。 （ 2） ① 由題意，得 AP=t， AQ=10－ 2t， 如圖 1，過點(diǎn) Q 作 QG⊥ AD，垂足為 G， 由 QG∥ BE 得： △ AQG∽△ ABE， ∴ QG QABE BA? 。 ∴ QG= 48 48t5 25? 。 ∴ 21 2 4 2 4S A P Q G t t2 2 5 5? ? ? ? ?(52 ≤t≤5)。 ∵ 222 4 2 4 2 4 5S t t ( t ) 62 5 5 2 5 2? ? ? ? ? ? ?(52 ≤t≤5)， ∴ 當(dāng) t=52 時(shí)， S 最大值為 6。 ② 要使 △ APQ 沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，只需 △ APQ 為等腰三角形即可。 當(dāng) t=4 秒時(shí)， ∵ 點(diǎn) P 的速度為每秒 1個(gè)單位， ∴ AP=4 .。 以下分兩種情況討論 : 第一種情況：當(dāng)點(diǎn) Q 在 CB 上時(shí) , ∵ PQ≥BEPA， ∴ 只存在點(diǎn) Q1，使 Q1A=Q1P。 如圖 2，過點(diǎn) Q1 作 Q1M⊥ AP，垂足為點(diǎn) M， Q1M 交 AC 于點(diǎn) F，則 AM= 1AP 22 ?。 由 △ AMF∽△ AOD∽△ CQ1F，得： 11QFFM O D 3AM C Q AO 4? ? ?, ∴ 3FM2? 。 ∴11 33Q F M Q FM 10? ? ?。 ∴ CQ1=14QF3=225。 ∴11 t APk t CQ? ?? , ∴ 1CQ 11k AP 10??。 第二種情況：當(dāng)點(diǎn) Q 在 BA上時(shí)，存在兩點(diǎn) Q2， Q3，分別使 A P= A Q2， PA=PQ3， i）若 AP=AQ2，如圖 3， CB+BQ2=10－ 4=6， ∴21 t APk t CB BQ? ???， ∴ 2CB BQ 3k AP 2???。 ii）若 PA=PQ3，如圖 4，過點(diǎn) P 作 PN⊥ AB，垂足為 N， 由 △ ANP∽△ AEB，得 AN APAE AB? 。 ∵ AE= 227AB BE 5?? , ∴ AN＝ 2825 。 ∴ AQ3=2AN=5625 , ∴ BC+BQ3=10－ 56 19425 25? 。 ∴31 t APk t CB BQ? ???.∴ 3CB BQ 97k AP 50???。 綜上所述，當(dāng) t= 4 秒，以所得的等腰三角形 APQ沿底邊翻折，翻折后得到菱形的 k值為 1110或 32 或 9750 。 【考點(diǎn)】 雙動點(diǎn)和折疊問題，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1）已知 C， D的坐標(biāo)，可在 Rt△ COD 中用勾股定理求出 CD 的長即菱形的邊長．菱形的面積就是4 個(gè) Rt△ COD 的面積． BE 的長可用菱形的面積和菱形的邊長來求得。 （ 2） ① 求 △ APQ 的面積關(guān)鍵是求出底邊 AP 上的高，過 Q 作 QG⊥ AD 于 G，那么 QG就是 △ APQ的 高，可根據(jù)相似三角形 △ AQG 和 △ ABE 來求出 QG的長，然后根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法即可得出關(guān)于 S，t 的函數(shù)關(guān)系式．然后根據(jù)得出的函數(shù)的性質(zhì)即可得出 S 的最大值，以及對應(yīng)的 t 的值。 ② 若要使 △ APQ