怎樣求數(shù)列極限-資料下載頁(yè)
2025-05-12 02:25本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】幫助尋找數(shù)列極限的求法。略作淺談并舉例說(shuō)明。na的極限存在，記為Aa. A的代數(shù)方程，解之即得該數(shù)列的極限。用數(shù)學(xué)歸納法證明：aak?na為單調(diào)減函數(shù)且有下界。.則數(shù)列}{nc收斂，且ac. 當(dāng)變形，從而達(dá)到求其極限的目的，這種方法靈活，有相當(dāng)?shù)募记尚浴?
【正文】 。如果能判定此極限是收斂的，則有 0lim ??? ann，雖然這一辦法只能判斷以零為極限的 數(shù)列，但是由于級(jí)數(shù)收斂性的方法比較多 ，因此在有些場(chǎng)合使用這種方法仍是非常有效的。 例 1：計(jì)算 nnnnn!lim2??? 。 解： 由 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值收斂法： ??nlim aann1?=??nlim !)!1( 2)1(211nnnnnn nn ????? ?? =??nlim )1(2 ?? nn n =??nlim)11(2nn?= e21, 因此 ????1!2n nnnn 收斂，從而知 nnnnn!lim2???=0. 例 2：已知)()2()1( ! naaa na n ????? ? )1(?a ，計(jì)算??nlim an。 解： 由華東師范大學(xué)版數(shù)學(xué)分析下冊(cè)第 15 頁(yè)介紹的拉貝判別法（極限形式）： 設(shè) ?un 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且極限 rn uunnn ?????? )1(lim1存在，則（ 1）當(dāng) 1?r 時(shí)，級(jí)數(shù) 13 ?un 收斂；（ 2）當(dāng) 1?r 時(shí)，級(jí)數(shù) ?un 發(fā)散。 故 用級(jí)數(shù)的拉貝判別法：??nlim )1( 1annn ???=??nlim 111l i m1 ??????? ?? annaaan na n，故級(jí)數(shù) ???1n na收斂，從而得：??nlim an=0 利用斯篤茲（ Stolz）公式求數(shù)列極限 對(duì)在數(shù)列 {xn}與 { yn}之間有一定關(guān)系的商的極限，我們可以用斯篤茲公式，即： 若 {xn}與 { yn}滿足 （ 1） yynn ??1 （ ?,2,1?n ） ； （ 2） ????? ynnlim； （ 3） ??nlim yy xxnnnn ????11 =l ； 則有：??nlim yxnn = ??nlim yy xxnnnn ????11 =l 。 推論 1 ：若??nlim xn存在（有限或 ?? ） ，則其算術(shù)平均值數(shù)列??nlim xxxx nnnn ?????? lim)( 21 ? 。 推論 2： 若 0?xn ，??nlim xn存在（有限或 ?? ），則其幾何平均值數(shù)列n nxxx ?21? ),2,1( ??n 極限存在，且 xxxx nnn nn ???? ?? limlim 21 ? 。 舉例說(shuō)明： 例 求 ??nlim nnkkkk1][ )12(31????? ? 解： 令 )12(31 ????? na kkkn ? ， nb kn 1?? 利用 斯篤茲定理得： 14 1l i ml i ml i m 2)1()12(11 ???????? ????????? kkkkknnnnnnnnn nnnbb aaba 例 2：求極限 nnn 2lnlim?? 解： 令 ,lnnxn? nyn 2? 由斯篤茲定理有， nyy xx nnnnnnnnnnn 211 lnl i m0121lnl i ml i m ???????? ??????? ∴ nnn 2lnlim??=0 在學(xué)習(xí)數(shù)列極限的理論時(shí)，只有不斷總結(jié)，不斷 完善知識(shí)理論，才能在解題思路中有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)新。本文總結(jié)的 10 種求數(shù)列極限的方法是有限的，還有更多更好的解題方法和思路需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和總結(jié)。 15 參考文獻(xiàn) ： [1]劉書(shū)田等編 .《微積分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與解題方法》 [M]. 高等教育出版社 ,2020 [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析（上、下） [M].高等教育出版社， 2020 [3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 .微積分 [M].高等教育出版社， 2020 [4]費(fèi)定暉等 [5].吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解 [M].山東科學(xué)技術(shù)出版社，2020 [5]劉玉蓮，傅沛仁 .數(shù)學(xué)分析講義 . 高等教育出版社 ,2020 [6]裴禮文 .數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法 [M]. 高等教育出版社， 2020 [7]錢吉林等主編，數(shù)學(xué)分析題解精粹，崇文書(shū)局， 2020 [8]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（上、下），高等教育出版社， 2020 [9]周林 .高等數(shù)學(xué)中數(shù)列極限的幾種求法 .湖北廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)， 2020:159— 160 [10]卜憲敏 .數(shù)列極限的計(jì)算 .中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊， 2020 [11]李松 .數(shù)列極限的求法探討 .自然科學(xué)學(xué)科研究， 2020:88— 89 [12]塔懷鎖 .數(shù)列極限的幾種特殊求解方法 .北京工業(yè)職業(yè) 技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2020:72— 74.
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